Número e

O número  é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. 

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial () e como a súa inversa o logaritmo en base  chamado logaritmo natural (). 

É o único número positivo  tal que o gráfico da función  ten unha pendente de 1 cando .

Por outra parte se temos a área baixo a curva  entre  e ; daquela o número  sería o valor de  para o cal esta área é igual a 1. 

O número  tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier. Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos. Extract of page 166

O número  ten unha grande importancia na matemática, xunto con 0, 1,  e . Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler  e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante , a constante  é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de  é :
2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
 Definicións 
O número  é o límite

unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita


É o número positivo único  tal que a gráfica da función  ten unha pendente de 1 en .

Temos tamén que 

onde  é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación . De feito a función exponencial natural escríbese tanto  como  (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base  pódese definir como a función inversa da función  Como  temos que  A ecuación  implica, polo tanto, que  é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base ) sen especificar a base  e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano .

O número  tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:


Para outras caracterizacións, consulte .
Historia
As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante  aparece como un límite dunha sucesión

onde  representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo,  para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra  de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.

A notación coa letra , de 1728,  é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de las matemáticas, Hayka impreso en España

Euler demostrou que  é a suma da serie infinita

onde  é o factorial de .

Propiedades

 Cálculo 
A principal motivación para introducir o número , particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:





A maiores, a familia de funcións

onde  é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial



 Desigualdades 
En primeiro lugar podemos ver que

para todos os  reais positivos.

Tamén temos a desigualdade

para todo número real , dándose a igualdade se e só se . 

 Funcións de tipo exponential 
O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función


Este máximo ocorre precisamente en . (Pódese comprobar que a derivada de  é cero só para ese valor de ).

Do mesmo xeito,  é onde se produce o mínimo global para a función

 Teoría de números 
O número real  é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass,  é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873. |page=41}}

O número  é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é .

Un [[
Lista de problemas sen solucionar en matemáticas|problema sen solucionar]] ata agora é a cuestión de se os números  e  son ou non alxébricamente independentes.

 Números complexos 
A función exponencial  pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo  de , úsase habitualmente para ampliar a definición de  aos números complexos: 



que se cumpre para todo complexo . O caso especial con  é a identidade de Euler:



A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo,


E empregando as leis para a exponenciación,

para calquera número enteiro , que é a formula de De Moivre.

As expresións de  e  en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor:

A expresión

ás veces abréviase como .

 Resumo 
 O número  é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
 O logaritmo natural de   é 1.
 É a base dos logaritmos neperianos ou naturais ( ou ).
 É a base da función exponencial ( ou ).
 A identidade de Euler relaciona ao número  co valor imaxinario, , π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".
 .
  .
 É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica. 
 Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): 
  P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974

 Representacións 
Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número  represéntase como a fracción continua simple infinita:

Como produto infinito:


Como serie infinita:
,

Vexamos algunha serie máis:

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial

o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión


Aplicando o teorema do binomio

que tende a  segundo  tende a . (O termo  é o -ésimo factorial descendente de ).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas, 

 .

Notas

 Véxase tamén 

 Bibliografía 

 for another stochastic representation

 Outros artigos 
 Medida de irracionalidade
 Fracción continua xeneralizada
 Aproximación de Stirling
 Constante matemática

 Ligazóns externas 
 10 000 díxitos do número e 
 Aproximações de   no Wolfram MathWorld
 Primeiros usos de símbolos para constantes  13 de xaneiro de 2008
 A história de  , por Robin Wilson no Gresham College, 28 de febreiro de 2007 (download disponíbel do áudio e vídeo)

Categoría:Teoría de números