Teoría de números

A teoría de números é a rama da matemática pura que se ocupaba inicialmente do estudo dos números enteiros e dos problemas aritméticos relacionados coa multiplicación e a división de enteiros. É chamada ás veces "A Raíña das Matemáticas" debido ó seu papel fundacional da disciplina. 

Os teóricos dos números estudan os números primos así como as propiedades de obxectos construídos a partir dos enteiros (como os números racionais) ou definidos como xeneralización destes (como os números enteiros alxébricos).

A simplicidade dos enunciados e a fácil accesibilidade á maioría dos problemas da teoría de números fan que sexa moi atractiva. En contraposición, outra peculiaridade é a dificultade na resolución dos problemas. Por exemplo, hai máis de 2.300 anos Euclides conxecturou que hai infinitos números primos xemelgos, conxectura que aínda está sen demostrar.

Problemas concretos da teoría de números chegaron a ser fonte de importantes ramas independentes da matemática. Entre estas están: a teoría de números primos e as teorías relacionadas da función zeta e das series de Dirichlet, a teoría das ecuacións diofantianas, a teoría aditiva dos números, a teoría métrica dos números, a teoría dos números alxébricos e transcendentes, a teoría alxébrica dos números, a teoría das aproximacións diofantianas, a teoría probabilística dos números, e a xeometría dos números. Algúns exemplos son: unha fonte da teoría analítica dos números foi o problema da distribución dos números primos en series de números naturais e o problema de representar números naturais como sumas de termos dunha forma particular. A resolución de ecuacións diofantianas, e en particular o Último Teorema de Fermat, foi a orixe da teoría alxébrica dos números. O problema de construír un círculo de área unitaria só co uso da regra sen graduar e o compás (Cuadratura do círculo) levou a cuestións acerca da natureza aritmética do número π e, en consecuencia, á creación da teoría de números alxébricos e transcendentes.

Todas as ramas e teorías numéricas mencionadas están interconectadas, complementándose e enriquecéndose mutuamente.

 Teoría de números ou Aritmética 
A Teoría de números foi chamada "Aritmética" ata que a comezos do século XX foi impoñéndose a denominación actualXa en 1921 T.L. Heath tivo que explicar: "Por aritmética Platón entendía, non aritmética no noso sentido, senón a ciencia que considera os números en si mesmos, noutras palabras, o que nos entendemos por Teoría de números" ()..

A xente común usa a palabra "aritmética" para referirse ás "operacións elementais". Tamén adquiriu outros significados en lóxica matemática (e.g. aritmética de Peano), e na ciencia da computación (e.g. punto decimal flotante, que en inglés dise floating point arithmetic).

O uso do termo "aritmética" para referirse á "teoría de números" volveu gañar terreo na segunda metade do século XX, en gran parte debido á influencia dos matemáticos franceses.Véxase, e.g.  En 1952, Harold Davenport aínda tiña que aclarar que a Teoría de números era para el a "Aritmética Superior". No limiar do libro An Introduction to the Theory of Numbers (1938), os seus autores Hardy e Wright escribiron: "Nunha ocasión suxerimos cambia-lo título por An introduction to arithmetic, máis novelesco e, en certos aspectos, máis apropiado; mais foi sinalado que este título podería levar a confusión acerca do contido do libro" ()..

Entre tanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados como as funcións aritméticas, a aritmética de curvas elípticas ou o teorema fundamental da aritmética. En particular, prefírese o adxectivo "aritmético" a "teórico dos números".

 Historia 
 Orixes 
 Albores da aritmética 
dereita|miniatura|A táboa Plimpton 322.
O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de arxila, a coñecida como Plimpton 322, achada en Larsa (Mesopotamia) e datada no arredor do 1800 a.C. Contén unha listaxe de ternas pitagóricas, ou sexa, enteiros a, b, c tales que a2+b2=c2. A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados, o que fai pensar que non foron obtidos pola forza bruta. Na parte superior da primeira columna pódese ler: O takiltum da diagonal que foi subtraído tal que a largura.... O significado de termo talkitum non está claro. Robson prefire a interpretación "Ao cadrado da diagonal se lle quita 1 de tal xeito que aparece o lado curto..." .

A disposición da táboa suxire. Outras fontes dan a fórmula moderna . Van der Waerden dá tanto a fórmula moderna coma a que equivale á forma preferida por Robson . que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, á identidade:

que está implícita nos exercicios rutineiros dos antigos babilonios. Se foi utilizado algún outro métodoNeugebauer  discute a táboa en detalle e menciona de paso o Método de Euclides en notación moderna ., as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas por , presumibelmente para un uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.

Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a astronomía, esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares. Hai controversia ao respecto. O artigo de Robson está escrito dun xeito polémico  coa idea de que "quizais [...] hai que baixar a Plimpton 322 do seu pedestal" ; ao mesmo tempo, establece a conclusión de que [...] a cuestión "como foi construída a táboa?" non ten a mesma resposta que a pregunta "para que tipo de problemas foi feita a táboa?" A primeira pode respostarse máis satisfactoriamente por pares recíprocos, como foi primeiramente suxerido hai médio século, e a segunda por algunha clase de problemas de triángulos rectángulos .
Robson apunta a idea de que o escriba que gravou a Plimpton 322 (quen tiña que "traballar para toda a vida", e non tería pertencido a unha "acomodada clase media") podería estar motivado pola súa propia "curiosidade ociosa" a falta dun "mercado para as novas matemáticas" ..

Mentres que a teoría de números babilonia, ou o que sobreviviu da súa matemática que se pode chamar así, consiste neste simple e notable fragmento, a álxebra deste pobo (no sentido que a palabra "álxebra" ten no ensino secundario) estaba excepcionalmente desenvolvida. As últimas fontes neoplatónicasIámblico na "Vida de Pitágoras", citado en . Véxase tamén a "Vida de Pitágoras" de Porfirio en . Van der Waerden  sostén que Tales coñecía as matemáticas babilonias. sosteñen que Pitágoras aprendeu matemáticas dos babilonios. Fontes máis temperásHeródoto (II. 81) e Isócrates ("Busiris" 28), citados en . Sobre Tales, véxase Eudemo ap. Proclo, 65.7, citado en . Proclo usaba unha obra, hoxe perdida, de Eudemo de Rodas, o "Catálogo de Xeómetras". Ver tamén a introdución de  sobre a fiabilidade de Proclo. sosteñen que Tales e Pitágoras estudaron en Exipto.

Euclides IX 21—34 é moi probabelmente pitagórico, citado en .; é un material moi simple ("impar por par é par", "se un número impar divide a un número par entón tamén divide á metade deste"), pero é todo o que se necesita para probar que  é irracional. Os místicos pitagóricos dábanlle moita importancia aos pares e impares. O descubrimento de que  é irracional atribúese aos pitagóricos temperás (anteriores a Teodoro)Platón en Teeteto, citado en : "Teodoro escribiu para nós algo acerca das raíces, coma as raíces de tres ou cinco, amosando que son inconmensurábeis pola unidade".. A revelación (en termos modernos) de que hai números irracionais, semella ter provocada a primeira crise fundacional na historia das matemáticas; a súa proba ou a súa divulgación atribúese ás veces a Hipaso, quen foi expulsado ou apartado da seita pitagórica. É só aquí onde podemos comezar a falar dunha división clara e concisa entre números (enteiros e racionais, os suxeitos da aritmética) e lonxitudes (números reais, sexan racionais ou non).

A tradición pitagórica fala tamén dos chamados números poligonais ou dos números figurados. Mentres que os números cadrados, cúbicos etc., son vistos agora coma máis naturais cós triangulares, pentagonais etc., o estudo das sumas dos números triangulares e pentagonais acreditou unha morea de froitos durante os inicios da idade moderna (do século XVII ao XIX).

Coñecemos material aritmético impreciso do antigo Exipto ou as fontes védicas, aínda que hai algunha álxebra en ambas. O teorema chinés do resto aparece como un exercicioSun Zi, Suan Ching, capítulo 3, problema 26. Pódese consultar en , que contén unha tradución completa do Suan Ching. Véxase tamén a discusión en . na obra de Sun Zi, Suan Ching, tamén coñecida como A matemática clásica de Sun Zi, escrita en data descoñecida entre os anos 220 e 473A data do texto foi acoutada entre os anos 220–420 (Yan Dunjie) ou entre os anos 280–473 (Wang Ling) a través de evidencias internas (sistemas de taxación asumidos no texto). Véxase .. Hai un importante paso glosado na solución de Sun ZiCapítulo 3, problema 26 do Suan Ching de Sun Zi en :[26] Agora hai un número descoñecido de obxectos. Se os xuntamos por tríos, sobran dúas; se os agrupamos de cinco en cinco, sobran 3; e se as contamos de sete en sete, sobran 2. Achar o número de obxectos. Resposta: 23.
Método: Se facemos tríos e sobran dúas, poñamos 140. Se contamos de cinco en cinco e sobran 3, poñamos 63. Se os xuntamos de sete en sete e hai un resto de 2, poñamos 30. Sumemos os tres para obter 233, e restándo 210 temos a resposta. Se contamos por tríos e hai un resto de 1, poñamos 70. Se contamos de cinco en cinco e hai un resto de 1, poñamos 21. Se contamos de sete en sete e hai un resto de 1, poñamos 15. Cando [un número] excede de 106, o resultado obtense restándolle 105.: é o problema que foi resolto posteriormente por Aryabhata mediante o método que el chamou kuttaka (véxase embaixo).

Hai tamén algún misticismo numérico nas matemáticas chinesasVéxase, e.g., o capítulo 3, problema 36 do Suan Ching de Sun Zi en :[36] Agora hai unha muller preñada cuxa idade é 29. Se o período de xestación é de 9 meses, determinar o sexo da criatura. Resposta: Masculino.
Método: Poñamos 49, sumémoslle o período de xestación e restémoslle a idade. Do resto, tomemos 1 representando o ceo, 2 a terra, 3 o home, 4 as catro estacións, 5 as cinco fases, 6 os seis tons das gaitas, 7 as sete estrelas [do Carro], 8 os oito ventos, e 9 as nove divisións [de China baixo Yu o Grande]. Se o resto é impar, [o sexo] é masculino e se o resto é impar, [o sexo] é feminino.
Este é o derradeiro problema no, de feito, tratado de Sun Zi., pero, a diferenza dos pitagóricos, semella que non levan a ningures. Ao igual cos números perfectos dos pitagóricos,os cadrados máxicos chineses pasaron da superstición ao entretemento.

 Grecia clásica e o inicio do período helenístico 
Á parte duns poucos fragmentos, as matemáticas da Grecia clásica son coñecidas a través dos relatos de contemporáneos non matemáticos ou polos traballos dos inicios do período helenístico. No caso da teoría de números isto significa, na maior parte, Platón e Euclides, respectivamente.

Platón tiña un grande interese polas matemáticas, e distinguía claramente entre aritmética e cálculo (por aritmética entendía, en parte, teorizar sobre os números, máis cos significados que aritmética e teoría de números chegaron a ter posteriormente). Grazas a un dos diálogos de Platón, Teeteto, sabemos que Teodoro probou que  son irracionais. Teeteto foi, coma Platón, un discípulo de Teodoro; traballou na diferenciación das diferentes clases de inconmensurábeis, e deste xeito pode dicirse que foi un dos pioneiros no estudo dos sistemas numéricos (Pappus describe o Libro X dos Elementos de Euclides como amplamente baseado na obra de Teeteto).

Euclides adicou parte dos seus Elementos aos números primos e á divisibilidade, tópicos que pertenzen sen ningunha dúbida á teoría de números e son básicos dentro dela (Libros VII ao IX dos Elementos). En particular deu un algoritmo para o cálculo do máximo común divisor de dous números (algoritmo de Euclides; prop. VII.2 dos Elementos) e a primeira demostración da infinitude dos primos (prop. IX.20 dos Elementos).

No 1773, Lessing publicou un epigrama que achara nun manuscrito durante o seu traballo como libreiro; afirmaba ser unha carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes. O problema propuña o que chegou a ser coñecido como o problema bovino de Arquímedes. A súa solución, que non aparece no manuscrito, require resolver unha ecuación cadrática indeterminada, a cal se reduce á que máis tarde sería nomeada erroneamente ecuación de Pell. Ata onde sabemos, este tipo de ecuacións foron resoltas con éxito pola matemática india. Descoñécese se Arquímedes tiña un método de resolución.

 Diofanto 
dereita|miniatura|150px|Tradución do grego ao latín da Arithmetica de Diofanto, feita en 1621 por Bachet.
Coñécese pouco da vida de Diofanto; probabelmente viviu no século III a.C, isto é, arredor de cincocentos anos antes que Euclides. Dos trece libros da Arithmetica de Diofanto, sobreviven seis no grego orixinal e catro máis na tradución ao árabe. A Arithmetica é unha colección de problemas resoltos onde a tarefa é invariabelmente achar as solucións racionais dun sistema de ecuacións polinómicas, xeralmente da forma  ou . De aí ven que, hoxe en día, se lle chamen ecuacións diofantianas a aquelas ecuacións polinómicas nas que se buscan as solucións racionais ou enteiras.

Hai que dicir que Diofanto estudou puntos racionais (isto é, puntos cuxas coordenadas son racionais) en curvas e variedades alxébricas; porén, a diferenza dos gregos do período clásico, quen fixeron o que agora chamariamos álxebra básica en termos xeométricos, Diofanto fixo o que agora chamariamos xeometría alxébrica básica en termos puramente alxébricos. Na linguaxe moderna, o que Diofanto fixo foi achar parametrizacións racionais de variedades; é dicir, dada unha ecuación da forma, digamos, , o seu propósito era atopar, en esencia, tres funcións racionais  tal que, para tódolos valores de  e , tomando  para  dá unha solución de 

Diofanto tamén estudou as ecuacións dalgunhas curvas non racionais, para as que é posíbel unha parametrización racional. Amañouse para achar algúns puntos racionais nesas curvas (curvas elípticas, como sucede, no que parece que é a súa primeira aparición coñecida) mediante o que equivale a unha construción de tanxente: trasladado á xeometría coordenada (que non existía en tempos de Diofanto), este método visualizariase como o trazado da tanxente a unha curva nun punto racional coñecido, e despois atopando o outro punto de intersección da tanxente coa curva; este outro punto é un novo punto racional (Diofanto tamén recorreu ao que podería ser chamado un caso especial da construción da secante).

Aínda que Diofanto tiña grande interese nas solucións racionais, asumiu algúns resultados sobre números enteiros, en particular que cada enteiro é a suma de dous cadrados (se ben el nunca detallaba moito o seu traballo).

 India 
Mentres que a astronomía grega probabelmente influenciou o coñecemento indio, ata o punto de introducir a trigonometría, semella que as matemáticas indias son, á parte diso, unha tradición autóctonaCalquera contacto temperá entre a matemática babilonia e a india continúa sendo unha conxectura . En particular, non hai evidencias de que os Elementos de Euclides chegaran á India antes do século XVIII

Âryabhata (476–550) amosou que pares de congruencias simultáneas ,  podían resolverse por un método que chamou kuṭṭaka, ou pulverizadorÂryabhata, Âryabhatîya, cap. 2, versos 32-33, citado en . Véxase tamén . Unha descrición lixeiramente máis explícita do kuttaka foi dada máis tarde por Brahmagupta en Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (en ), citado en .; este é un procedemento próximo a unha xeneralización do Algoritmo de Euclides, que probabelmente se descubriu independentemente na India. Semella que Âryabhata tiña en mente aplicacións para os cálculos astronómicos.

Brahmagupta (628) comezou o estudo sistemático das ecuacións cadráticas indefinidas, en particular a mal chamada ecuación de Pell, das que Arquímedes debeu ser o primeiro en interesarse, e que non comezaron a ser resoltas en occidente ata a época de Fermat e Euler. Máis tarde os autores sánscritos continuarían o seu estudo, usando a terminoloxía técnica de Brahmagupta. Un procedemento xeral para resolver a ecuación de Pell, o Chakravala ou método cíclico, foi achado finalmente por Jayadeva (citado no século XI, a súa obra polo demais perdeuse). A exposición máis temperá que se conserva aparece na obra Bijagaṇita de Bhaskara II (século XII)

Desgraciadamente, as matemáticas indias non foron coñecidas no mundo occidental ata finais do século XVIII. As obras de Brahmagupta e Bhaskara non foron traducidas ao inglés ata 1817 por Henry Colebrooke.

 Idade de ouro islámica 
esquerda|miniatura|150px|Al-Haytham, xunto con Galileo, no frontispicio de Selenographia.
Nos primeiros anos do século IX o califa Al-Ma'mun ordenou traducir moitas obras matemáticas gregas e polo menos unha sánscrita, o Sindhind que pode, citado en . Véxase tamén o prefacio en  citado en  ou non pode, e , citado en  ser o Brāhmasphuţasiddhānta de Brahmagupta. A obra principal de Diofanto, a Arithmetica, foi traducida ao árabe por Qusta ibn Luqa (820-912); parte do tratado al-Fakhri, de al-Karajī (953-ca.1029), baséase nela. Segundo Roshdi Rashed, Ibn al-Haytham, contemporáneo de al-Karajī, coñecía o que máis tarde sería chamado teorema de Wilson.

 Idade Media 
Á parte dun tratado sobre cadrados en progresións aritméticas de Fibonacci, quen viviu e estudou en África do Norte e Constantinopla nos seus anos de formación (ca.1175-1200), non se pode falar de traballos sobre teoría de números durante a Idade Media en Europa. O panorama cambiou a finais do Renacemento grazas a un renovado estudo das obras da antigüidade grega. Un catalizador foi a corrección e tradución textual ao latín da Arithemtica de Diofanto, feita por Bachet en 1621, seguindo un primeiro intento de Xylander en 1575.

 Os inicios da moderna teoría de números 
 Fermat 
dereita|miniatura|150px|Pierre de Fermat, un dos máis famosos teóricos dos números.

Pierre de Fermat (1601–1665) non publicou nunca os seus escritos. A súa obra e, en particular, o seu traballo en teoría de números está contido case enteiramente nas cartas que enviou a outros matemáticos e nas notas privadas escritas na marxe dos libros. Non anotaba as demostracións de teoría de números e non tiña modelos nesa área. Isto facíao máis en teoría de números ca noutras áreas (observación en ). As propias probas de Bachet eran "ridiculamente torpes" .. Fixo un uso reiterado da indución matemática, introducindo o método do descenso infinito.

Uns dos primeiros temas de interese para Fermat foron os números perfectos (que aparecen nos Elementos IX, de Euclides) e os números amigosOs números perfectos e especialmente os números amigos espertan pouco interese hoxe en día. Non ocorría o mesmo nos tempos medievais, tanto en Europa coma no mundo árabe, debido en parte á importancia que lles daba o neopitagórico, e xa que logo místico, Nicómaco (ca. 100), quen escribiu unha primitiva mais influente "Introdución á aritmética". Véxase .. Isto levouno a traballar sobre os divisores enteiros, os cales estiveron desde o principio entre os temas da súa correspondencia (a partir de 1636) que lle permitiu establecer contacto coa comunidade matemática da época. Os temas iniciais da correspondencia de Fermat incluían divisores ("partes alícuotas") e outros moitos fóra da teoría de números; véxase a lista na carta de Fermat a Roberval con data 22/9/1636 , citada en .. En 1643 xa tiña estudado cuidadosamente a edición de Bachet da obra de Diofanto, que agrandou en gran medida o seu interese polos problemas diofantianos e das sumas de cadrados, tamén tratados por Diofanto.

Os logros de Fermat en aritmética inclúen:
 O pequeno teorema de Fermat (1640), carta XLVI de Fermat a Frenicle, 1640, citada en , establecendo que se a non é divisíbel por un primo p, entón Aqui, como é habitual, dados dous enteiros a e b e un enteiro non nulo m, escribimos  (lido "a é congruente con b módulo m") para indicar que m divide a − b, ou, o que é o mesmo, a e b deixan o mesmo resto cando son divididos entre m. Esta notación é realmente moito máis tardía que Fermat; aparece por primeira vez na sección 1 das Disquisitiones Arithmeticae. O pequeno teorema de Fermat é unha consecuencia de que a orde dun elemento dun grupo divide á orde do grupo. A proba moderna estaría dentro dos métodos de Fermat (e, de feito, foi dada por Euler), aínda que o concepto moderno de grupo é bastante posterior a Fermat ou Euler. Axuda saber que o inverso existe módulo p (isto é, dado a non divisíbel por un primo p, hai un enteiro x tal que ); este feito (que, na linguaxe moderna, fai dos residuos módulo p un grupo, e que xa era coñecido por Arybhata; véxase arriba) era familiar a Fermat grazas ao seu redescubrimento por Bachet . Weil continúa dicindo que Fermat tería recoñecido que o argumento de Bachet é esencialmente o algoritmo de Euclides..
 Se a e b son coprimos, entón  non é divisíbel por ningún primo congruente con −1 módulo 4, citado en . Todas as seguintes citas de Varia Opera de Fermat están tiradas de . O traballo estándar de Tannery e Henry inclúe unha revisión da obra póstuma de Fermat Varia Opera Mathematica, orixinariamente preparada polo seu fillo .; e Todo primo congruente con 1 módulo 4 pode escribirse da forma . Estes dous resultados tamén son de 1640; en 1659, Fermat informou a Huygens de que probara o último resultado polo método do descenso infinito. Fermat e Frenicle tamén fixeron traballos (algús deles erróneos ou non rigorosos) sobre as formas cadráticas.
 Fermat formulou o problema de resolver  como un reto aos matemáticos ingleses (1657). O problema foi resolto en poucos meses por Wallis e Brouncker. Fermat considerou válida a solución que deron, mais sinalou que usaran un algoritmo sen telo probado (como fixeran Jayadeva e Bhaskara, aínda que Fermat non coñecería este feito). El establecera que unha demostración podía acharse polo método do descenso.
 Fermat desenvolveu métodos para (facendo o que nos nosos termos equivale a) achar puntos en curvas de xénero 0 e 1. Como en Diofanto, hai moitos procedementos especiais e que equivalen á construción da tanxente, pero non fai uso da construción da secante.
 Fermat estableceu e probou (por descenso) no apéndice das Observacións sobre Diofanto (Obs. XLV), que  non ten solucións enteiras non triviais. Fermat tamén mencionou na súa correspondencia que  non ten solucións non triviais, e que isto podía probarse por descenso. A primeira demostración coñecida débese a Euler en 1753, por certo usando o método do descenso.

Fermat afirmou ter probado o que hoxe coñecemos como o último teorema de Fermat. O teorema afima que  non ten solucións para todo . A demostración de Fermat estaría na marxe do seu exemplar perdido da aritmética de Diofanto. El nunca o comunicou a outros na súa correspondencia e así non tería que retractarse se aqueles achaban algún erro na súa suposta proba (é un feito que as únicas probas coñecidas fixéronse con métodos completamente alleos aos seus métodos).

 Euler 
miniatura|150px|Leonhard Euler
O interese de Leonhard Euler (1707–1783) na teoría de números foi estimulado por primeira vez en 1729 cando o seu amigo, o afeccionadoNa segunda metade do século XVII os postos académicos eran moi escasos, e moitos matemáticos e científicos gañábanse a vida doutra maneira . Había xa algunas características recoñecibéis como práctica profesional, como buscar correspondentes, visitar a colegas estranxeiros ou crear bibliotecas privadas. As cousas comezaron a cambiar a finais do século  cando se fundaron academias científicas en Inglaterra (a Royal Society, 1662), Francia (a Academia francesa das ciencias, 1666) e, xa no século seguinte, Rusia (Academia rusa das ciencias, 1724). Nesta última ofrecéronlle un posto a Euler en 1726, quen aceptou, chegando a San Petersburgo en 1727 ( e ). Neste contexto o termo afeccionado, que se lle aplica usualmente a Goldbach, está ben definido e ten algún sentido: foi descrito como un redactor de cartas que se gañaba a vida como espía , citado en . Porén, Goldbach publicou algún traballo de matemáticas e ás veces sostivo posturas académicas Christian Goldbach indicoulle algúns dos resultados de Fermat na materia. Este instante foi chamado o "renacemento" da teoría de números, logo da relativa falla de éxito que tivo Fermat en espertar o interese dos seus contemporáneos pola materia. Algúns dos traballos de Euler na teoría de números son e :

 Demostracións de resultados establecidos por Fermat, como o pequeno teorema de Fermat (xeneralizado por Euler a módulos non primos), o feito de que  se e só se , o traballo inicial cara a unha demostración de que todo enteiro positivo pode expresarse como a suma de catro cadrados (a primeira demostración completa débese a Joseph-Louis Lagrange en 1770, e foi mellorada moi pronto polo propio Euler; ou a ausencia de solucións enteiras non nulas da ecuación  (que implica o último teorema de Fermat para n=4, o cal demostrou Euler para n=3 mediante un método semellante).
 Ecuación de Pell, mal nomeada por Euler nun primeiro momento. Euler foi xeneroso dándolle creto a outros , non sempre correctamente.. Escribiu acerca da relación entre as fraccións continuas e a ecuación de Pell.
 Primeiros pasos cara á teoría analítica dos números. Nos seus traballos sobre as sumas de catro cadrados, as particións, os números pentagonais e a distribución dos números primos, Euler foi un pioneiro no uso do que se pode considerar como análise (en particular, as series infinitas) en teoría de números. Xa que logo viviu antes do desenvolvemento da análise complexa, a maioría do seu traballo restrínsexe á manipulación formal das series de potencias. Porén fixo algún traballo temperá notábel (aínda que non completamente rigoroso) sobre o que máis tarde deuse en chamar a función zeta de Riemann; ver tamén o capítulo III..
 Formas cadráticas. Continuando o camiño iniciado por Fermat, Euler profundou na cuestión de cales primos poden expresarse da forma , algúns dos cales prefigurando reciprocidade cadrática.
 Ecuacións diofantianas. Euler traballou nalgunhas ecuacións diofantianas de xénero 0 e 1. En particular, estudou o traballo de Diofanto, tratando de sistematizalo, mais non chegara o tempo para tal empresa, a xeometría alxébrica estaba aínda na súa infancia. Decatouse de que había unha conexión entre os problemas diofantianos e as integrais elípticas, cuxo estudo iniciara el mesmo.

 Lagrange, Legendre e Gauss 
esquerda|150px|miniatura|Primeira edición de Disquisitiones Arithmeticae, de Gauss.
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) foi o primeiro en dar demostracións completas dalgúns traballos e observacións de Fermat e Euler como, por exemplo, o teorema dos catro cadrados e a teoría básica da mal chamada "ecuación de Pell" (para a que xa encontraran un algoritmo de resolución Fermat e os seus contemporáneos e, antes que eles Javadeva e Bhaskara II). Tamén estudou as formas cadráticas dun xeito xeral (en oposición a ), definindo a súa relación de equivalencia, amosando como poñelas na forma reducida etc.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) foi o primeiro en establecer a lei da reciprocidade cadrática. Tamén conxecturou sobre o que levou ao teorema dos números primos e o teorema de Dirichlet sobre as progresións aritméticas. Deu un tratamento completo á ecuación  e traballou nas formas cadráticas seguindo as liñas que máis tarde foron desenvolvidas completamente por Gauss. Sendo xa un ancián foi o primeiro en probar o "último teorema de Fermat" para  (completando o traballo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sendo atribuída a proba tanto a el coma a Sophie Germain).

Nas súas Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) probou a lei da reciprocidade cadrática e desenvolveu a teoría das formas cadráticas (en particular, definindo a súa composición). Tamén introduciu algunha notación básica das congruencias e adicou unha sección a asuntos computacionais, incluíndo tests de primalidade. A derradeira sección das Disquisitiones establece unha relación entre as raíces das unidade e a teoría de números:

Deste xeito, probabelmente Gauss fixo a primeira incursión cara ao traballo de Évariste Galois e á teoría alxébrica dos números.

 Madureza e división en subcampos 
miniatura|Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

A comezos do século XIX foron producíndose dun xeito gradual os seguintes avances:
 O aumento da autoconsciencia da teoría de números (ou "aritmética superior") como un campo de estudoVéxase a discusión na sección 5 de . Signos temperás desta autoconsciencia xa están presentes na correspondencia de Fermat: así, os seus comentarios sobre o que é a teoría de números, e como o traballo de Diofanto [...] non pertence realmente [a este campo] (citado en ).
 O desenvolvemento de moitas das matemáticas modernas necesarias para a teoría básica dos números: análise complexa, teoría de grupos, teoría de Galois, acompañado dun maior rigor en análise e dunha abstracción crecente en álxebra.
 A subdivisión aproximada da teoría de números nos modernos subcampos desta, en particular, na analítica e na alxébrica.

Pode considerarse que a teoría alxébrica dos números comeza co estudo da reciprocidade e da ciclotomía, mais chegou realmente a ser o que é co desenvolvemento da álxebra abstracta, a temperá teoría de ideais e a teoría da valoración. Un punto de inicio convencional da teoría analítica dos números é o teorema das progresións aritméticas de Dirichlet (1837) cuxa demostración introducía as funcións L e implicaba algunha análise asintótica e un proceso de límite sobre unha variable realVéxase a proba en . O primeiro en usar realmente as ideas análiticas na teoría de números foi Euler na década dos 1730 quen usou series de potencias formais e argumentos non rigorosos (ou implícitos) dos límites. O uso da análise complexa na teoría de números veu máis tarde: o traballo de Bernhard Riemann (1859) sobre a función zeta é o punto canónico de partida. O teorema dos catro cadrados de Jacobi, que o precede, pertence a un fío inicialmente diferente que xa tivo un papel principal na teoría analítica dos números (formas modulares)Véxase o comentario sobre a importancia da modularidade en .

Moitas das cuestións máis interesantes de cada área permanecen abertas e estase a traballar activamente nelas.

 Subdivisións 
A teoría de números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:

 Teoría elemental dos números: utiliza soamente os métodos elementais da aritmética para a verificación e comprobación das propiedades esenciais do conxunto dos números enteiros, e en particular as propiedades dos números primos;
 Teoría Analítica dos Números: utiliza a análise real e a análise complexa, especialmente para estudar as propiedades dos números primos;
 Teoría Alxébrica dos Números: utiliza álxebra abstracta avanzada (álxebra moderna) e estuda os números alxébricos;
 Teoría Xeométrica dos Números: utiliza métodos xeométricos, alxébricos e analíticos;

 Sobre a Teoría Elemental dos Números 
Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría de números é a través da Teoría Elementar dos Números. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos números enteiros, mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou teoremas a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:

 Estudos específicos sobre as propiedades dos números primos; 
 Estudos envolvendo a investigación de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
 Estudos sobre a resolución de Ecuacións Diofantianas;

Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do Conxunto dos números enteiros e 
o seu subconxunto: o Conxunto dos números naturais.

A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:

 Propiedades dos números primos 
 Teorema de Euclides 
"Existe unha cantidade infinita de números primos"

 Conxectura de Goldbach 
"Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?" Esta é a denominada conxectura de Goldbach, formulada en 1746 e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.

 Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos? 
Son 664.579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166.104, 166.230, 166.211 e 166.032, o que corresponde a 24,99%, 25,01%, 25,01% e 24,98% deste total de números. Que suxere isto?

 Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos?
Son números primos que difiren un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)

 Algoritmos eficientes para a aritmética básica 
Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da criptografía (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola Internet) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais: 
 o problema do test para verificar se o número é primo;
 o problema da decomposición en factores primos;

Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.

 Ecuacións diofantianas 
Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxébricas dos seguintes tipos: 
 , por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxébrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?
 , que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o cal o matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés Andrew Wiles finalmente en 1993, despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría de números ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.
 , que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atoparse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.
 Ecuacións alxébricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro cadrados perfectos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfectos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cadrado perfecto, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfectos ou utilizando tres cadrados perfectos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.

 Notas 

 Véxase tamén 

 Bibliografía 







































 Outros artigos 
 Aritmética
 Ligazóns externas 


 O presente artigo incorpora material traducido de Citizendium con licenza CC-by-sa 3.0: 



Categoría:Teoría de números
Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)