Unidade imaxinaria

A unidade imaxinaria ou número imaxinario unidade () é unha constante matemática que é unha solución da ecuación cadrática  + 1 = 0. Aínda que non hai número real ningún con esta  propiedade  pode usarse para estender os números reais ao que se chama números complexos, usando suma e multiplicación cos números reais e . Un exemplo simple do uso de  nun número complexo é 

 Definición 
 As potencias de  son cíclicas:    

É a unidade no conxunto dos números imaxinarios. Exprésase pola letra  e cumpre que:

Ás veces, isto tamén é expresado como:

.

Ó ser unha expresión numérica non ten dimensións físicas.

Con  definido deste xeito, dedúcese directamente da álxebra que  e  son ambas raíces cadradas de −1.

Raíz de 
Os polinomios (sumas ponderadas das potencias dunha variábel) son unha ferramenta básica na álxebra. Os polinomios cuxos coeficientes son números reais forman un anel, denotado como  unha estrutura alxébrica con suma e multiplicación e que comparte moitas propiedades co anel de enteiros.

O polinomio  non ten raíces de número real, pero o conxunto de todos os polinomios de coeficiente reais divisíbeis por  forma un ideal, polo que hai un anel cociente  Este anel cociente é isomorfo para os números complexos, e a variábel  expresa a unidade imaxinaria. (Ver exemplo en anel cociente#Exemplos).

 Representación gráfica 

Os números complexos pódense representar graficamente debuxando a recta numérica real como o eixo horizontal e os números imaxinarios como o eixo vertical dun plano cartesiano chamado plano complexo. Nesta representación, os números  e  están á mesma distancia de , cun ángulo recto entre eles. 

A suma dun número complexo corresponde á translación no plano, mentres que a multiplicación por un número complexo de unidade de magnitude corresponde á rotación arredor da orixe. 

Toda transformación de semellanza do plano pode representarse mediante unha función linear complexa 

 Propiedades 
Como número complexo, a unidade imaxinaria segue todas as regras da aritmética complexa

 Enteiros gaussianos 

As sumas enteiras da unidade real  e da unidade imaxinaria  forman unha retícula cadrada no plano complexo chamado números enteiros gaussianos. A suma, diferenza ou produto dos enteiros gaussianos tamén é un enteiro gaussiano:

 Rotación de cuarto de volta 
Cando se multiplica pola unidade imaxinaria , calquera número complexo arbitrario do plano complexo xira un cuarto de volta  ou ) no sentido antihorario. Cando se multiplica por , calquera número complexo arbitrario rota un cuarto de volta no sentido das agullas do reloxo. En forma polar:

En forma rectangular,

 Potencias enteiras 
As potencias de  repítense nun ciclo expresábel co seguinte padrón, onde  é calquera número enteiro:

Así, baixo a multiplicación,  é un xerador dun grupo cíclico de orde 4.

Escrito como un caso especial da fórmula de Euler para un enteiro ,

 Raíces 
Do mesmo xeito que todos os números complexos distintos de cero,  ten dúas raíces cadradas distintas que son inversas aditivas. En forma polar, son

En forma rectangular son 

Elevando ambas as dúas expresións temos:

 Exponencial e logaritmo 
A fórmula de Euler descompón a exponencial dun número imaxinario que representa unha rotación:

Debido a que a exponencial é periódica, a súa inversa o logaritmo complexo é unha función multivalorada, con cada número complexo do dominio correspondente a varios valores do codominio, separados entre si por calquera múltiplo enteiro de 

 Factorial 
O factorial da unidade imaxinaria  dáse máis a miúdo en termos da función gamma avaliada en : 
Sloane, N. J. A. (ed.).  "Decimal expansion of the real part of i!", Sequence ; and "Decimal expansion of the negated imaginary part of i!", Sequence . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

A magnitude e o argumento deste número son:Sloane, N. J. A. (ed.).  "Decimal expansion of the absolute value of i!", Sequence ; and "Decimal expansion of the negated argument of i!", Sequence . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

 Notas 


 Véxase tamén 
 Bibliografía 

 Outros artigos 
 Número complexo

Categoría:Matemáticas
Categoría:Números