Autocorrelación

A autocorrelación é unha operación matemática consistente na correlación dunha función con ela mesma. Existen varias definicións dependendo do campo de estudo que se considere, tipicamente o procesamento de sinais por unha banda e a estatística por outra.

Definicións
Imos ver a continuación as dúas definicións que se adoitan atopar, a da estatística, para variábeis discretas e as empregadas en procesamento de sinais para variábeis continuas e discretas.

Estatística
Por unha banda en estatística, a autocorrelación é unha medida que informa de canto o valor dunha realización dunha variábel aleatoria é capaz de influenciar os seus veciños. Por exemplo, o canto a existencia de valor máis alto condiciona valores tamén altos dos seus veciños.

Supóndose unha variábel aleatoria Xt discreta estacionaria, dependente do tempo, con media μ, a súa autocorrelación  ven definida como:

onde E[ ] é o valor medio, ou valor agardado da expresión,  é o movemento no tempo e  é a variancia da variábel .

Segundo a definición da estatística, o valor da autocorrelación está entre 1 (correlación perfecta) e -1, o que significa anticorrelación perfecta.  O valor 0 significa total ausencia de correlación.

Procesamento de sinais

En procesamento de sinais a autocorrelación continua dun sinal f(t), Rf(τ), defínese como a correlación continua de f(t) con ela mesma mais desprazada por un valor τ

onde f* represente a complexa conxugada e o círculo representa a convolución. Para unha función real, f* = f.

A autocorrelación discreta R a un valor de desprazamento j para o sinal xn é

onde  m é o valor medio (valor agardado) de xn. Para sinais centrados no cero (de valor medio nulo) a definición fica en:

A autocorrelación multidimensional  defínese de xeito semellante.  Así, a autocorrelación en tres dimensións, defínese:

Propiedades
A autocorrelación dunha dada variábel defínese pola distancia, ou atraso con que se desexa medila. Cando esa distancia é cero, tense o valor máximo 1, pois trátase da variábel correlacionada con ela mesma. Outros valores deben calcularse caso a caso.

Caso se retire da fórmula enriba a variancia  tense a chamada autocovariancia, que describe o canto a variábel  varía en conxunto coa súa instancia con atraso .

Aplicacións
O concepto de autocorrelación ten aplicación a moitas áreas, que van da análise dos sinais á óptica, pasando pola economía e pola xeofísica.

Un rechamante exemplo é o autocorrelador, un instrumento óptico de precisión capaz de caracterizar pulsos ópticos de femtosegundos.

Véxase tamén
Autocorrelación óptica
Correlación
Autocorrelador

Compárese co termo autocorrelador da física óptica

Categoría:Matemáticas
Categoría:Estatística