Trigonometría

A trigonometría estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos (baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro) e rectas (mediana, altura, mediatriz e bisectriz) notábeis dun triángulo.

A palabra deriva do grego trigonon (tri, tres e gonia ángulos), triángulo, e metron, medida; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a medida de tres ángulos ou medida de triángulos.

 Funcións directas principais 

En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de raio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris):
miniatura|Funcións trigonométricas directas
 a función chamada seno dun ángulo (abreviada sen ou sin en LaTeX) relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do raio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade;

 a función chamada coseno dun ángulo (abreviada cos, inda que en portugués se escriba con dobre s) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o raio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade;

 a función chamada tanxente (abreviada tan, inda que exista unha tendencia a notala como tg, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade:

O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e coseno) ou na tanxente á circunferencia de raio unidade.

 Funcións directas secundarias (recíprocas ou inversas multiplicativas) 

Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris):
miniatura|Funcións trigonométricas recíprocas ou inversas multiplicativas
 a función chamada secante dun ángulo (abreviada sec) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do raio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade;

 a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada cosec ou csc nas fórmulas LaTeX) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó raio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade;

 a función chamada cotanxente (abreviada cotan, inda que tamén se pode ver como cotg en outros idiomas,  e cot nas fórmulas LaTeX) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade:

 Funcións inversas para a composición de funcións (funcións arco) 


O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática (inverso multiplicativo), senón no concepto contrario ou función inversa. 

O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo arco-. Así, existen seis funcións inversas: arcoseno (), arcocoseno (), arcotanxente (), arcosecante (), arcocosecante () e arcocotanxente (). 

Así, cando nunha fómula matemática lemos , débese interpretar como . Para o inverso multiplicativo  usaríase .

 Teorema fundamental dos triángulos 
Enúnciase como: a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura):
120px|miniatura|Cálculo do ángulo dun polígono regular
 Se un polígono ten n lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os n vértices mediante n segmentos (en azul);
 Isto produce n triángulos interiores que terán 
 Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto:

 Como o polígono ten n vértices, a cada un corresponderalle:

 (en verde)
 Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando n'' tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados).

 Teorema fundamental da trigonometría 
Este teorema baséase no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ( é o cateto oposto e  é o cateto contiguo):

 Relacións trigonométricas 

Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade.
 Funcións trigonométricas dunha diferenza    Funcións trigonométricas dunha suma    Funcións trigonométricas do ángulo dobre  (deducibles das anteriores)    Funcións trigonométricas do ángulo metade    Suma de funcións trigonométricas   Resta de funcións trigonométricas  

Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas (directas, inversas e opostas) v. derivada.

 Notas 


Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)