Estrem superiôr e estrem inferiôr

In matematiche, l'estrem superiôr di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l'estrem inferiôr al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

 Maiorants e minorants 
di . Il romp ros al rapresente l'estrem superiôr di .
Al sedi  un insiemi di numars reâi. Si dîs maiorant di  cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di  (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di  si disin minorants di . In maniere formâl
  al è un maiorant di  se e dome se , ;
  al è un minorant di  se e dome se , .

Un insiemi si dîs superiormentri (inferiormentri) limitât se al à almancul un maiorant (minorant) e superiormentri (inferiormentri) ilimitât se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, limitât. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.
 L'interval sierât  al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di . Al contrari, i minorants di  a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
 L'interval sierât e ilimitât a diestre  al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
 L'insiemi dai numars intîrs  nol à ni maiorants ni minorants.  Duncje, al è ilimitât.
 L'insiemi  al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

 Estrem superiôr e estrem inferiôr 
Si clame estrem superiôr di un insiemi di numars reâi  il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l'estrem inferiôr al è il plui grant dai minorants di . Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl  al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi  di , e si scrîf , se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:
  al è maiôr di ducj i elements di  e
 par cualsisei  reâl minôr di , al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di  che i è maiôr.
In fat, si à , cualsisei , viodût che  al à di jessi un maiorant di . Però  al è il plui piçul dai maiorants: se , alore  nol è un maiorant di  e, duncje, al esist almancul un element  tal che .

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi  al à massim , alore si à . In fat, l'insiemi dai maiorants di  al è

L'estrem superiôr di  al è il minim dai siei maiorants e, duncje,

In maniere reciproche, se un insiemi  al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi , alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi . Al baste pensâ che  al è un maiorant di  (il plui piçul) e, duncje,  par cualsisei . Però, cheste proprietât di  e coincît cun la definizion di massim di  cuant che  o, in curt,

 Esemplis 

Considerant i esemplis fats prime, l'interval  e l'insiemi dai numars intîrs  a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval , invezit, al è

e, duncje, l'estrem superiôr di  al è

Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi

al è .

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert  l'insiemi dai maiorants al è

Chest al vûl dî che

Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert , che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è

I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât  e si à . Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e., ) e, duncje,  nol à massim.

 Estrems e completece dai numars reâi 

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di  che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di  che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl.  Cheste proprietât e je cognossude come la completece di  secont Dedekind. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi  a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi

Cuant che o cjalìn  come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è

Jessint che  nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi

Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi  nol à minim e, duncje, l'insiemi  nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di  pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è

Cheste volte sì che o podìn dî che , sint  un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi, .

 Bibliografie 
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 Contributori di Wikipedia, Estremo Superiore e Estremo Inferiore, in Wikipedia, L’Enciclopeida Libera, 4 Zenâr 2016, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Estremo_superiore_e_estremo_inferiore&oldid=75472083>.
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