Numars reâi

I numars reâi a son chei numars che si doprin continuamentri par rapresentâ des grandecis che a puedin variâ in maniere continue e assumi valôrs tant positîfs che negatîfs come, par esempli, la lungjece, il pês, il passâ dal timp, … La necessitât di misurâ chestis grandecis in maniere simpri plui precise e di doprâ chestis misuris in calcui che a deventin ogni volte plui rafinâts e à partât ae nozion di numars reâi dal dì di vuê.

 Introduzion 

 Dai numars naturâi ai numars reâi 
Il concet plui intuitîf di numar al è chel dai numars naturâi () e nus permet di contâ i elements di un insiemi (o vin cinc—5—dêts intune man), di stabilî un ordin (al è rivât il tierç—il numar 3) o di cjapâ misuris aprossimativis (la lungjece di cheste strade e je il dopli—2 voltis—di chê altre). Dispès a si àn di unî dai insiemis (tropis monedis aio se o'nd ài 3 intune sachete e 2 inta chê altre?) o contâ plui voltis la stesse cuantitât (trop cjarbon isal in 4 sacs di 10 chilos?). Lis operazions di some ( monedis in totâl) e moltiplicazion ( chilos di cjarbon) dai numars naturâi a son di aiût ta chescj câs e il risultât al è di gnûf un numar naturâl. A son altris operazions, come la sotrazion e la division, che no simpri àn un sens inte struture dai numars naturâi. Par chest mutîf, si è sintude la necessitât di introdusi i numars intîrs (), dulà che ancje la sotrazion e je simpri definide. Se, in plui, si vûl podê dividi par un cualsisei numar diviers di zero, ai vûl considerât i numars razionâi ().

Oltri dal fat che cuant che si somin, moltiplichin, sotrain o dividin doi numars razionâi simpri si oten un altri numar razionâl, i numars razionâi a àn ancje la proprietât di jessi dens, vâl a dî che tra doi cualsisei numars razionâi si cjate simpri un altri numar razionâl. Si pues duncje vê la sensazion che i numars razionâi a son suficients par descrivi lis grandecis continuis. Cun dut achel, bielzà i matematics e gjeometris de Grecie classiche (600−300~a.C.) si jerin inacuarts che a esistin des cuantitâts che no si puedin rapresentâ esatementri cuntun numar razionâl. Tipics esemplis a son la lungjece de diagonâl di un cuadrât di lât unitari o la circonference di un cercli di diametri unitari. I numars reâi a risolvin chest probleme.

 I numars reâi e la lôr rapresentazion 
L'insiemi  dai numars reâi al è duncje l'insiemi di ducj i numars che a coventin par rapresentâ une grandece reâl. Al conten i numars razionâi (cul lengaç de teorie dai insiemis ) e i numars irazionâi. I numars razionâi, introdots te sezion prime, si puedin pensâ come i numars decimâi finîts (par esempli, 5 o ancje ) e i numars decimâi infinîts periodics (par esempli,   o ). I numars irazionâi, al contrari, a corispuindin ai numars decimâi infinîts no periodics (par esempli, ).

Ancje se no si puedin dâ dutis lis infinidis cifris decimâls dai numars irazionâi, la rapresentazion decimâl e je sigurementri la plui usade inte pratiche. La plui part des aplicazions e je dut câs falsade dai erôrs di misure (par esempli, cui normai metris, lis lungjecis si puedin misurâ cun la precision di un milimetri) o de memorie finide dai struments di calcul e, duncje, lis aprossimazions sui numars irazionâi no son un gros probleme se si use un numar suficient di cifris decimâls.

Intai ûs plui teoretics e, in gjenerâl, lì che al è preferibil evitâ des aprossimazions, i numars irazionâi a si rapresentin cun dai simbui o des letaris.  Tra i plui famôs si àn il numar , che al lee il diametri e la circonference di un cercli, e il numar di Euler (o di Napier) . Un altri simbul al è . Al è interessant menzonâ che e esist une diference tra chest ultin esempli e i doi precedents. Il numar irazionâl  al è une soluzion de ecuazion polinomiâl  e a si dîs un numar algjebric. Al contrari, si pues dimostrâ che no esistin ecuazions polinomiâls  cun coeficients  razionâi che a vedin  o  come soluzion.  I numars irazionâi di chest tip si disin numars trassendents.

Par rapresentâ i numars reâi si pues ancje usâ une rete ordenade o as cartesian e si dîs che e esist une corispondence biunivoche tra i ponts de rete e i numars reâi o, in maniere ecuivalente, che a cualsisei pont de rete si pues associâ un e un sôl numar reâl. Chest as al ven clamât rete reâl. Intes figuris a drete si pues viodi come cjatâ i ponts che a corispuindin a  e  cun des costruzions gjeometrichis.

 Struture di  
Prime di dâ une definizion rigorose dai numars reâi, al conven introdusi des proprietâts dal insiemi  che lu incuadrin dentri di classis matematichis plui gjenerâls.

 Struture algjebriche 
Di un pont di viste algjebric, l'insiemi  dai numars reâi al è un cjamp. Di fat, lis dôs operazions fondamentâls tra i elements di , la some "+" e il prodot "", a sodisfin chestis proprietâts:
 P. comutative: l'ordin cun cui doi numars reâi  e  a vegnin somâts o moltiplicât nol à impuartance
 P. associative: par trê cualsisei numars reâi ,  e  si à
 P. distributive de some rispiet al prodot:  par trê cualsisei numars reâi ,  e  si à
 Esistence dai elements neutris: lis dôs operazions a ametin un element neutri. Pe some al è il 0e pal prodot al è il 1par cualsisei ;
 Esistence dai opuescj: cualsisei numar reâl  al à un opuest : sumant i doi numars si oten l'element neutri de sume
 Esistence dai inviers: cualsisei numar reâl diferent di zero  al à un inviers, val a dî che al esist un numar  che moltiplicât par  al dâ l'element neutri dal prodot
Al è util menzonâ che pal prodot (o moltiplicazion) si use ancje il simbul "" (par esempli, ) o, plui semplicementri, nissun simbul (par esempli, ). Par prionte, al è facil viodi che l'opuest di  al è . Duncje, la sotrazion e je semplicementri une some cun l'opuest: . Il stes discors al vâl pal inviers e la division:  e .

Se si prove a verificâ cualis des sîs proprietâts a son sodisfatis inta chei altris insiemis numerics introdots inte Sezion 1.1, si viodarà che l'insiemi dai numars razionâi  al è ancje chel un cjamp, za che dutis lis proprietâts si cumplissin. I numars intîrs , invezit, no sodisfin la proprietât 6, e i numars naturâi  nancje la proprietât 5.

 Leç di anulament dal prodot 
Introdusìn chi un risultât che al vâl in ducj i cjamps algjebrics (ancje se l'enunziât si riferìs dome a ) e che al è une direte conseguence de proprietâts elencadis parsore. La leç di anulament dal prodot e je une vore utile inte risoluzion des ecuazions.
A sedin  e  doi numars reâi. Se il lôr prodot al è nul, alore almancul un dai doi al à di jessi nul, val a dî

 Dimostrazion 
 al pues jessi avuâl a zero o diviers di 0. Se al è avuâl, la dimostrazion e je finide.

Se al è diviers di 0, alore al esist l'inviers di . Il prodot  al è avuâl a zero za che . Però, pe proprietât associative de moltiplicazion si à

e, duncje, .

 Struture di ordin 
In maniere intuitive si sa che, dâts doi numars, al è simpri pussibil ordenâju, o sei dî cuâl dai doi al è plui piçul di chel altri. Elenchìn cumò des proprietâts che a definissin in maniere rigorose l'ordin dai numars reâi e che a identifichin l'insiemi  come un cjamp totalmentri ordenât.

Par cualsisei numars reâi ,  e  si à
 P. riflessive: ;
 P. antisimetriche: se  e , alore ;
 P. transitive: se  e , alore ;
 P. de confrontabilitât: almancul une des dôs disavualitâts  e  si verifiche;
 se  alore ;
 Regule dai segns:
 se  e  alore ,
 se  e  alore ,
 se  e  alore ,
 se  e  alore .

 Definizion formâl dai numars reâi 
A esistin diviersis manieris di definî l'insiemi  dai numars reâi in maniere rigorose. Chi daurman o din dome une definizion, viodût che lis altri a son un pôc plui complicadis e a àn bisugne di nozions matematichis no elementârs.

 Definizion assiomatiche 
Al sedi  l'insiemi dai numars reâi. Alore:
  al è un cjamp, o sei lis operazions di some e moltiplicazion a son definidis e a cumplissin dutis lis proprietâts de Sezion 2.1;
 il cjamp  al è totalmentri ordenât, secont la definizion de Sezion 2.2;
 l'ordin di  al è complet secont Dedekind: l'estrem superiôr di un cualsisei sotinsiemi no vueit e superiormentri limitât di  al è un numar reâl.
Chestis trê proprietâts a son suficientis par definî , viodût che si pues dimostrâ che cualsisei altri insiemi che al sodisfi lis trê proprietâts al "coincît" cun .

Provìn a spiegâ un pôc miôr la completece secont Dedekind: al sedi  un sotinsiemi no vueit di . Se   al è superiormentri limitât, alore al à almancul un maiorant, vâl a dî un numar reâl  che al è plui grant di (o avuâl a) cualsisei element di  . Clamìn  l'insiemi di ducj i maiorants di :

Dî che  al è complet secont Dedekind al vûl dî che l'insiemi  al amet un minim e che chest minim al è un numar reâl.  Par esempli, se , alore il numar reâl  al è il minim dal insiemi dai maiorants .

La completece di Dedekind e je fondamentâl inte definizion di  viodût che e je la proprietât che e diferenzie i numars reâi dai razionâi: ancje  al è un cjamp totalmentri ordenât e al rispiete lis primis dôs proprietâts, però nol è complet secont Dedekind. Continuant cul esempli di prime, i maiorants razionâi di , vâl a dî i elements dal insiemi , no àn un minim (si pues simpri costruî une frazion plui piçule …) e, di fat, il numar  nol è razionâl.

 Costruzions dai numars razionâi 
In plui che cun la definizion assiomatiche, i numars reâi si puedin costruî ancje come il completament dai numars razionâi. Par esempli, la tecniche des secuencis di Cauchy e definìs des espansions decimâls come  in maniere che a converzin in maniere univoche a numars reâi. I tais di Dedekind, invezit, a definissin il numar reâl  come il pont che al divît i numars razionâi in dôs parts .

Proprietâts
Ancje se la plui part des proprietâts dai numars reâi e je za stade nomenade par spiegâ lis carateristichis di , in cheste sezion si dâ une definizion plui formâl.

Completece
Diviers che cui numars razionâi, i numars reâi a contegnin ducj i limits: a si dîs che i numars reâi a son complets. Par spiegâ cheste proprietât in detai, si à bisugne di dôs definizions:
Une secuence  di numars si clame secuence di Cauchy se, par ogni , al esist un intîr  tal che , cualsisei  e  plui grancj di . In altris peraulis, i ultins elements di une sucession di Cauchy a son ducj arbitrariamentri dongje un di chel altri.

Une secuence  e converç al limit  se, par ogni , al esist un intîr  tal che , cualsisei . In altris peraulis, une secuence e à il limit  se i siei elements si svicinin simpri plui a .

Nol è dificil viodi che une secuence di Cauchy e je ancje convergjente. Un fat impuartant dai numars reâi al è che e je vere ancje la afermazion contrarie:
	Se un secuence di numars reâi e je une secuence di Cauchy alore e je ancje une secuence convergjente. Duncje, i numars reâi a son complets.

O vin za viodût che la completece e je la principâl diference tra i numars reâi e i numars razionâi. La sucession  di un esempli anteriôr e je une sucession di Cauchy che no converç intai numars razionâi e invezit e converç a  intai numars reâi.

Element separadôr
Une altre proprietât, colegade cun la completece secont Dedekind viodude inte definizion assiomatiche de Sezion 3.1, e je la esistence di un element separadôr:
Dâts doi sotinsiemis no vueits  e  di  tai che

al esist un numar reâl  tal che

Cjamp di Archimede complet
L'insiemi  al è un cjamp di Archimede, ven a stâi al vâl l'assiome chi sot:
<blockquote>
Assiome di Eudosso e Archimede
A sedin  e  doi numars reâi positîfs. Alore, al esist un numar naturâl  tal che

</blockquote>

David Hilbert al à definît l'insiemi dai numars reâi come il cjamp di Archimede complet. Cun cheste afermazion, Hilbert al voleve dî che i numars reâi a formin il plui grant cjamp di Archimede o, intune altre maniere, che cualsisei cjamp di Archimede al è un sotinsiemi di . L'insiemi dai numars reâi  al è duncje complet intal sens che no si pues zontâi altris elements cence pierdi la proprietât di jessi un cjamp di Archimede.

Al è interessant notâ che lis ultimis trê sezions a fevelin de completece di , però a son trê acezions diviersis che no àn di jessi confondudis.

Cardinalitât
I insiemis numerics , ,  e  a son ducj insiemis infinîts. Dut câs, là che i prins trê insiemis a àn "il stes numar di elements" (l'ordin di infinît al è il stes), l'insiemi dai numars reâi al è plui grant e, in altris peraulis, l'ordin di infinît al è maiôr. In maniere plui precise, ,  e  a son insiemis infinîts numerabii, vâl a dî si pues costruî une corispondence biunivoche tra i elements di  e chei di  o di . Al contrari, i numars reâi a son no numerabii e no si pues costruî une corispondence biunivoche di  a .

 Bibliografie 
 AA.VV. Numeri, in Grande Dizionario Enciclopedico. 4a ed. Torino, UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6
 Wikipedia Contributors. Real number, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 8 dicembar 2014, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=639574065>
 Contributori di Wikipedia, Numero reale, in Wikipedia, L'enciclopedia libera, 8 dicembar 2014, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Numero_reale&oldid=69526920>

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