Insiemi

In matematiche, un insiemi (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

 Definizions 
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts elements dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi  e l'insiemi  (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi .

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi  e un ogjet , si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:
  al è un element di : a si dîs che  al aparten a  e si scrîf ;
  nol è un element di : a si dîs che  nol aparten a  e si scrîf .

Chest al impliche che:
 no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
 un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

 Descrizion 
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:
 par liste, o sei disint un a un ducj i elements:Lis dôs definizions di  a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
 par carateristiche, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipoAncje chi,  al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui  e  al sarà spiegât plui indevant).

 Cardinalitât 
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis  e  e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis finîts, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements;  e  a son invezit insiemis infinîts e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs insiemi vueit e si indiche cun il simbul .

 Insiemis numerics fondamentâi 
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.
 I numars naturâi a son ducj i intîrs no negatîfs:
 I numars intîrs relatîfs, vâl a dî cun segn, si indichin cun 
  al è l'insiemi dai numars razionâi, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:.
 L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai numars reâi .
 I numars complès  a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant  la unitât imagjinarie, si à.

 Relazions tra insiemis 
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son coincidents. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin disiunts.

 Sotinsiemis 
.

Se si è sigûrs che  al vedi ancje elements che no apartegnin a , si tabaie alore di sotinsiemi tal sens stret o sotinsiemi propri e si scrîf:
.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (no tal sens stret): l'insiemi vueit  e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:
.

(Nol è un erôr scrivi .)

 Proprietâts de inclusion 
 Proprietât riflessive: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion
.
 Proprietât antisimetriche: se  e  a son doi insiemis tai che
 e 
alore
.
 Proprietât transitive: A sedin  e  trê insiemis. Se si à

alore .

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

 Insiemi des parts 
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi  si clame insiemi des parts (power set in inglês) di . Par esempli, se , l'insiemi des parts  al è
.

Par un insiemi finît di  elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je  (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

 Operazions cui insiemis 
 Union: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se defininalore la union e je.Si pues notâ che  e  a son sotinsiemis dal insiemi union  e che i elements comuns ai doi insiemis () no vegnin ripetûts.

 Intersezion: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun  e  come prime, si à.De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.

 Insiemi diference: l'insiemi diference di  in  ( o ) al è l'insiemi dai elements di  che no apartegnin a . Continuant cul esempli:.

 Complementâr: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât insiemi univiers; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi  al è l'insiemi diference di  intal insiemi univiers. Se o clamìn  l'insiemi univiers e  (o ancje  o ) il complementâr di , si à.

 Prodot Cartesian: I elements dal prodot cartesian  di doi insiemis  e  a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi  e il secont element intal insiemi . In simbui:Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian  e je il prodot des cardinalitâts di  e  (cuant che  e  a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di  a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî .

 Proprietâts des operazions 
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis.
Intai esemplis che a seguissin, i insiemis  e  a son sotinsiemis dal insiemi univiers .
 Proprietât comutative: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative;.
 Proprietât associative: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis;.
 Proprietât distributive: de intersezion rispiet ae unione de union rispiet ae intersezion.
 Formulis di De Morgan:;.
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .

 Bibliografie 
 G. Spirito. Matematica Senza Numeri. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
 A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. La Nomencladure des Matematichis. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
 M. Fogale e E. Paolini. Une Introduzion ae Analisi Matematiche. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
 Wikipedia Contributors. Set, in Wikipedia, the Free Enciclopedia, 30 July 2007, 00:14 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Set&oldid=147952691> [accessed 9 August 2007]
 Contributori di Wikipedia. Insieme, in Wikipedia, l'Enciclopedia Libera, 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]

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