Identitât d'Euler

En matèmatiques, l'identitât d'Euler est una relacion entre plusiors constantes fondamentales et utilisant les três opèracions aritmètiques d'adicion, multiplicacion et exponenciacion :

yô la bâsa  du logaritmo naturèl reprèsente l'analise, l'unitât imaginâ  reprèsente l'algèbra, la constanta d'Archimèdo  reprèsente la géométrie, l'entiér 1 l'aritmètico et lo  les matèmatiques.

El est nomâye d'aprés lo matèmaticien Leonhard Euler que la fât aparêtre dens son Introductio, publeyê a Losena en 1748. Devant que d'étre citâye per Euler, ceta formula ére cognessua du matèmaticien angllês Roger Cotes, môrt en 1716.

 Dèmonstracion 

 Per l'analise complèxa 
Vu que  et , ceta formula est lo câs particuliér  de la formula d'Euler en analise complèxa (por tot nombro rèèl ).
O est asse lo câs particuliér n = 2 porce que la soma des racenes n-ièmes de l'unitât est nula.

 Per la geomètrie  

L'entèrprètacion geomètrica que fornét una pista de dèmonstracion per una suite est fondâye sur lo fêt de posar couta a couta des triangllos rèctangllos.



adonc, los multiplicacions complèxes sè traduisent per des rotacions, lo pouent de coordonâs  est obtenu en posant couta at couta N triangllos rèctangllos 

 Biôtât matèmatica 
L'identitât d'Euler est sovent citâye coment un ègzemplo de biôtât matèmatica.

En èfèt, en ples de l'ègalitât, três des opèracions fondamentales de l'aritmètica y sont utilisâyes, châcuna un côp : l'adicion, la multiplicacion et l'exponenciacion. L'identitât fât asse-ben entèrvenir cinq constantes matèmatiques fondamentales : 

 0, l'èlèment netro de l'adicion.
 1, l'èlèment netro de la multiplicacion.
 , tojorn presenta en trigonomètrie, en geomètrie dens la èspâço uclidien et en analise matèmatica ( = 3,14159265...)
 , bâsa des logarithmes qu'apparait sovent en analise, carcul difèrencièl et matèmatiques financiéres ( = 2,718281828...). Tot coment , o est un nombro transcendant.
 , l'unitât imaginâ a la bâsa des nombros complèxos, qu'ant pèrmês l'ètude de la rèsolucion des ècouacions polinomiales devant que de vêre lor usâjo èlargi.

L'enventèro de cetos difèrents èlèments est mielx metu en èvidence per la notacion polonêsa envèrsa de la formula d'Euler :

 0 ; 1 ; e ; i ;π ;  * ; ^ ; +; =

On en dèduit que l'exponenciala complèxa est -pèriodica.

 Notes et rèfèrences 

Traduccion de l'articllo francês corrèspondent a lo 25 de mê 2022

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