Kokonaislukujono

Kokonaislukujono on lukujono, jonka jäsenet kuuluvat kokonaislukujen joukkoon.

Kokonaislukujonoa kutsutaan äärelliseksi eli päättyväksi, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (1, 1, 1, 1,...) ja (2, 4, 6, 8,...) päättymättömiä lukujonoja.

 Ominaisuuksia 
 Sama luku voi toistua kokonaislukujonossa määräämättömän monta kertaa.
 Kokonaislukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
 Kokonaislukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

 Määritelmä 
Tarkemmin kokonaislukujonolla (an) tarkoitetaan kuvausta

missä  on luonnollisten lukujen joukko ja  kokonaislukujen joukko.

Lukujonoa merkitään a(n) = an. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee xn ≤ xn+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee xn < xn+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

 Erikoistapauksia 
 Aritmeettinen kokonaislukujono 

Aritmeettinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus  on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on .

 Geometrinen kokonaislukujono 

Geometrinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä  on vakio. Jos  on esimerkiksi 2, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna. Esim.  . 

Geometrisen lukujonon yleinen termi on .

 Esimerkkejä 

1.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa  ...
 Toisin sanoen 
2.  tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa 

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

 Täten esimerkiksi .
 Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään

 saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. a0=2, a1=4, a2=16, a3=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ...  kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen  lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

 Katso myös 
 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (laaja internet-tietokanta kokonaislukujonoista)

 Lähteet 

Kirjallisuutta



Luokka:Lukujonot