Legendren symboli

Legendren symboli on lukuteoriassa symboli , joka kertoo, onko luku  neliöjäännös modulo . Toisin sanoen se ilmoittaa, onko olemassa sellainen kokonaisluku b, että 

eli b2:stä jää p:llä jaettaessa sama jakojäännös kuin a:stä.

Symbolin otti ensimmäisen kerran käyttöön Adrien-Marie Legendre vuonna 1798 yrittäessään todistaa neliönjäännöslausetta. 

Määritelmä: Olkoon  pariton alkuluku ja  kokonaisuluku

Symbolia voidaan merkitä sekä muodossa  että .

Esimerkiksi , koska esimerkiksi 42 = 16 on kongruentti 1:n kanssa modulo 5 eli sen jakojäännös 5:llä jaettaessa on 1. Sen sijaan , koska minkään kokonaisluvun neliö ei ole kongruentti 3:n kanssa modulo 5. 

Jos alkuluku p on valittu, Legendren symboli  käsitettynä a:n funktioksi on jaksollinen, jaksona p.  Arvon 0 symboli saa, kun a on tasan jaollinen p:llä. 

Eulerin kriteerin mukaan  eli  ja  ovat kongruentteja modulo . 

Jacobin symboli  on yleistys Legendren symbolista. Se ottaa huomioon myös ne tapaukset joissa alempi luku ei ole alkuluku.

 Taulukko symbolin arvoista 

Seuraava taulukko osoittaa Legendren symbolin  arvot kaikilla kokonaisluvuilla a väliltä 1 … 30 ja alkuluvuilla p, jotka ovat pienempiä kuin 128.

ap123456789101112131415161718192021222324252627282930210101010101010101010101010101031−101−101−101−101−101−101−101−101−101−1051−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−1101−1−110711−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011−11−1−1011111−1111−1−1−11−101−1111−1−1−11−101−1111−1−1−1131−111−1−1−1−111−1101−111−1−1−1−111−1101−1111711−11−1−1−111−1−1−11−111011−11−1−1−111−1−1−11191−1−11111−11−11−1−1−1−111−101−1−11111−11−11231111−11−111−1−111−1−11−11−1−1−1−101111−11−1291−1−11111−11−1−1−11−1−11−1−1−11−11111−1−11013111−111−11111−1−1−11−11−1111−1−1−1−11−1−11−1−1371−111−1−11−11111−1−1−11−1−1−1−11−1−1−11111−114111−111−1−1111−1−1−1−1−11−11−111−11−11−1−1−1−1−1431−1−11−11−1−1111−111111−1−1−11−1111−1−1−1−1−1471111−11111−1−11−11−1111−1−11−1−111−111−1−1531−1−11−111−1111−11−1111−1−1−1−1−1−111−1−111−1591−1111−11−11−1−11−1−1111−11111−1−111111−1611−1111−1−1−11−1−111111−1−111−11−1−11−11−1−1−1671−1−11−11−1−111−1−1−11111−11−1111111−1−11−171111111−1111−11−1−111−1111−1−1−111−11−111731111−11−111−1−11−1−1−11−111−1−1−1111−11−1−1−17911−111−1−11111−11−1−11−1111111−111−1−1−1−1831−111−1−11−11111−1−1−111−1−1−11−11−11111118911−111−1−11111−1−1−1−1111−1111−1−11−1−1−1−1−1971111−11−111−111−1−1−11−11−1−1−11−111−11−1−1−11011−1−1111−1−11−1−1−111−111−11111111−1−1−1−1110311−11−1−1111−1−1−11111111−1−1−11−111−11111071−111−1−1−1−1111111−11−1−11−1−1−11−11−11−1111091−1111−11−11−1−11−1−111−1−1−1111−1−111111−111311−11−1−1111−11−11111−11−1−1−11−1−111−11−1112711−11−1−1−111−11−11−111111−111−1−111−1−1−11

Lähteet

 Kirjallisuutta 


luokka:lukuteoria