Tetraedrinen symmetria

Tetraedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen tetraedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 24 tavalla, joista 12 on orientaation säilyttäviä.

Tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetriaoperaatioiden ryhmä on S4, sama kuin neljän alkion permutaatioryhmä, sillä jokaista tetraedrin kärkipisteiden permutaatiota vastaa yksi tetraedrin isometrinen eli yhtenevyyskuvaus itselleen. Tetraedrin orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on sen alternoiva aliryhmä A4.

Ominaisuuksia 
Kiraalinen ja täysi (eli akiraalinen symmetria) sekä pyritoedrinen symmetria ovat diskreetin pistejoukon mahdollisia symmetrioita ja samalla myös eräitä pallopinnan symmetrioita. Ne kuuluvat myös kuutiollisen kidejärjestelmän kristallografisiin pisteryhmiin.
+ PyörähdysakselitC312pxC312pxC212px223

Stereografisessa projektiossa tetrakis-heksaedrin särmät muodostavat tasopinnalle kuusi ympyrää (tai jonkin keskipisteen kautta säteittäisesti kulkevia suoria). Jokainen näistä kuudesta ympyrästä vastaa jotakin tetraedrisesti symmetrisen kappaleen symmetria-akselia. Näiden ympyrät leikkaavat toisensa kertaluvun 2 tai 3 pyörähdyspisteissä.
OrtogonaalinenStereografiset projektiot4-kertainen3-kertainen2-kertainenKiraalinen tetraedrinen symmetria, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], 6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px6px150px150px150px150pxPyritoedrinen symmetria, Th, (3*2), [4,3+], 6px6px6px6px6px150px150px150px150pxAkiraalinen tetraedrinen symmetria, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], 6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px6px150px150px150px150px

Kiraalinen tetraedrinen symmetria
150pxTetraedrinen rotaatioryhmä T ja sen perusalue; triakis-tetraedristä kerrotaan jäljempänä, jälkimmäinen on yksi täysi sivu.150pxTetraedri voidaan pelkkien rotaatioiden avulla asettaa 12 eri asentoon. Näitä havainnollistaa yllä oleva syklinen graafi, jossa siniset nuolet tarkoittavat 180°:n kiertoja särmien ympäri ja punaiset nuolet 120°:n kiertoja kärkien ympäri. Nämä rotaatiot vastaavat tetraedrien kärkien permutaatioita.150pxTetrakis-heksaedrissa yksi tahko on perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, saadaan muuntamalla tahkojen suuntausta, esimerkiksi yhdistämällä joitakin tahkoja sopivalla tavalla yhdeksi tahkoksi tai korvaamalla jokainen alkuperäinen tahko useammalla tahkolla tai kaarevalla pinnalla.
Kiraaliselle eli rotationaaliselle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä T, 332, [3,3]+, tai 23. Sen kertaluku on 12. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa diedrisessä symmetriassa D2 or 222 sekä lisäksi neljä kolminkertaista akselia, jotka ovat keskittyneet näiden kohtisuorien akseleiden väliin. Kiraalisen tetraedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen neljän alkion alternoivan ryhmän A4 kanssa. Itse asiassa se on sama kuin neljän kolminkertaisen akselin parillisten permutaatioiden ryhmä:  e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

T:n konjugaatioluokat ovat:
identtinen kuvaus
 4 kpl 120°:n rotaatioita myötäpäivään (kärjestä katsottuna): (234), (143), (412), (321)
 4 kpl 120°:n rotaatioita vastapäivään
 3 kpl 180°:n rotaatioita.

Nämä 180°:n rotaatiot yhdessä identtisen kuvauksen kanssa muodostavat tyyppiä Dih2 olevan normaalin aliryhmän jota vastaava tekijäryhmä on tyyppiä Z3. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, jotka vastaavat kolmen kohtisuoran kaksinkertaisen akselin sellaisia permutaatioita, joissa orientaatio säilyy.

A4 on pienin ryhmä, joka osoittaa, että Lagrangen lauseen käänteislause ei aina päde: jos on annettu äärellinen ryhmä G ja |G|:n jakaja d, G:llä ei välttämättä ole sellaista aliryhmää, jonka kertaluku on d: ryhmällä  ei ole aliryhmää kertaluvulla 6. Vaikka tämä on abstraktin ryhmän yleinen ominaisuus, kiraalisen tetraedrin symmetrian isometriaryhmän tapauksesessa asia on selvä: kiraalisuutensa vuoksi aliryhmän olisi oltava joko C6 tai D3, mutta kumpikaan ei käy.

Kiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät

SchoenfliesCoxeterOrb.H-MGeneraattoritRakenneSykl.KertalukuIndeksi T[3,3]+6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px332232A4  25px121 D2[2,2]+6px6px6px6px6px = 6px6px6px6px2222223Dih2 25px43 C3 [3]+6px6px6px3331Z325px34C2[2]+6px6px6px2221Z225px26C1[ ]+6px1111Z125px112

Akiraalinen tetraedrinen symmetria
150px|thumb|right|Täysi tetraedrinen ryhmä Td perusalueineen

Akiraaliselle eli täydelle' tetraedriselle symmetrialle käytetään merkintöjä Td, *332, [3,3], tai 24. Sen kertaluku on 24. Siinä on samat kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia samoin kuin kiraalisessa symmetriassa T, sekä lisäksi kuusi symmetriatasoa, joista jokaiseen sisältyy kaksi kolminkertaista symmetria-akselia. Kaksinkertaiset symmetria-akselit ovat nyt S4- eli ()-axes. Abstraktina ryhmänä Td on isomorfinen O:n kanssa: molemmat vastaavat neljän alkion symmetriaryhmää S4. Td on T:n ja sen joukon unioni, joka saadaan yhdistämällä :n jokaiseen alkioon inversio. 

Td:n konjugaatioluokat ovat:
identtinen kuvaus
8 kpl 120°:n rotaatioita (C3)
3 kpl 180°:n rotaatioita (C2)
6 kpl peilauksia kahden rotaatioakselin kautta kulkevien tasojen suhteen (Cs)
6 kpl peilauksen ja 90°:n rotaation yhdistettyjä kuvauksia (S4).

Akiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät
280px|thumb|Akiraalisen tetraedrisen symmetrian aliryhmät
SchoenfliesCoxeterOrb.H-MGeneraattoritRakenneSykl.KertalukuIndeksi Td[3,3]6px6px6px6px6px*3323m3S425px 241 C3v [3]6px6px6px*333m2Dih3=S325px64 C2v[2]6px6px6px*22mm22Dih225px46 Cs[ ]6px* or m1Z2 = Dih125px212 D2d[2+,4]6px6px6px6px6px2*22m2Dih425px83 S4[2+,4+]6px6px6px6px6px2×1Z4 25px46 T[3,3]+6px6px6px6px6px332232 A4 25px122 D2[2,2]+6px6px6px6px6px2222222Dih225px46 C3 [3]+6px6px6px3331Z3 = A325px38C2[2]+6px6px6px2221Z225px212C1[ ]+6px1111Z125px124

Pyritoedrinen symmetria
150px|thumb|Pyritoedrinen ryhmä Th ja sen perusalue
Pyritoedrisen symmetrian Th, 3*2, [4,3+] tai m kertaluku on 24. Tällä ryhmällä on samat rotaatioakselit kuin T:llä sekä symmetriatasot kohtisuorista suunnista kahden läpi. Kolminkertaiset akselit ovat nyt diedrisen symmetrian S6 ()-akselit, ja niillä on keskeinen inversiosymmetria. Th on isomofrinen :n kanssa: jokainen Th:n alkio on joko T:n alkio tai jokin niistä yhdistettynä inversion kanssa. Näiden kahden normaalin aliryhmän lisäksi on myös normaali aliryhmä D2h, joka on samalla suorakulmaisen särmiön  symmetriaryhmä, tyyppiä . Se on edellä mainitun normaalin aliryhmän T ja pisteen suhteen suoritetun peilauksen Ci suora tulo. Tekijäryhmä on sama kuin edellä: tyyppiä Z3. Viimeksi mainitun kolme alkiota ovat identtinen kuvaus sekä rotaatiot myötäpäivään ja vastapäivään, mitkä vastaavat kahden kohtisuoran kaksinkertaisen akselin orientaation säilyttäviä permutaatioita.

Pyritoedrinen symmetria on sellaisen kuution symmetria, jonka jokaiselle tahkolle on piirretty jana, joka jakaa sen kahteen suorakulmioon siten, että toisiaan koskettavilla tahkoilla näillä janoilla ei ole yhteisiä päätepisteitä kuution särmillä. Nämä symmetriat vastaavat kappaleen avaruuslävistäjien parillisia permutaatioita sekä kuvauksia, jotka muodostetaan yhdistämällä nämä ja inversio. Samalla se on pyritoedrin symmetria, toisin sanoen kappaleen, joka muistuttaa edellä mainittua kuutiota, mutta jossa jokainen suorakulmio on korvattu viisikulmiolla, jossa on yksi symmetria-akseli, neljä yhtä pitkää sivua ja yksi eripituinen sivu (joka vastaa kuution tahkot kahtia jakavia janoja); toisin sanoen kuution tahkot kapenevat näiden jakolinjojen lähellä. Tämä on säyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmä myös isometrisena, ei vain abstraktina ryhmänä, ja siinä on mukan neljä ikosaedrisen symmetrian 10 kolminkertaisesta akselista.

Th:n konjugaattiluokkiin kuuluvat T:n konjugaattiluokat ja niiden inversiot, seuraavat 24 kuvausta:
identtinen kuvaus
8 kpl 120°:n rotaatioita (C3)
3 kpl 180°:n rotaatioita (C2)
inversio (S2)
8 kpl 60°:n rotaation ja peilauksen yhdistettyjä kuvauksia eli rotoreflektioita (S6)
3 kpl peilauksia tasojen suhteen (Cs)

Pyritoedrisen symmetrian aliryhmät 
280px|thumb|Pyritoedriset aliryhmät
SchoenfliesCoxeterOrb.H-MGeneraattoritRakenneSykl.KertalukuIndeksi Th[3+,4]6px6px6px6px6px3*2m2A4×225px 241 D2h[2,2]6px6px6px6px6px*222mmm3Dih2×Dih1 25px83 C2v[2]6px6px6px*22mm22Dih2 25px46 Cs[ ]6px* or m1Dih1 25px212 C2h[2+,2]6px6px6px6px6px2*2/m2Z2×Dih1 25px46 S2[2+,2+]6px6px6px6px6px×12 or Z2 25px212 T[3,3]+6px6px6px6px6px332232A425px 122 D3[2,3]+6px6px6px6px6px32232Dih3 25px64 D2[2,2]+6px6px6px6px6px2222223Dih4 25px46 C3 [3]+6px6px6px3331Z3 25px38C2[2]+6px6px6px2221Z2 25px212C1[ ]+6px1111Z1 25px 124

Kappaleita, joilla on kiraalinen tetraedrinen symmetria
100px
Oheisen kuvan väritys esittää, miten ikosaedri voidaan käsittää pullistetuksi tetraedriksi.  Näin väritettynä kappaleella on kiraalinen symmetria.

Kappaleita, joilla on täysi tetraedrinen symmetria
LuokkaNimiKuvaTahkojaSärmiäKärkiäPlatonin kappaletetraedri40px|Tetraedri464Arkhimedeen kappale typistetty tetraedri 40px|Typistetty tetraedri 8  18 12Catalanin kappaletriakis-tetraedri40px|Triakis-tetraedri 12 18 8Near-miss Johnsonin kappaleTypistetty triakis-tetraedri40px 16 42 28 Tetratoitu dodekaedri40px  28 54 28Uniforminen tähtimonitahokasTetrahemiheksaedri40px7126

Katso myös 
 Oktaedrinen symmetria
 Ikosaedrinen symmetria

 Lähteet 






 Viitteet 

 Aiheesta muualla 


Luokka:Geometria
Luokka:Ryhmäteoria