RLC-piiri

RLC-piiri (R, L ja C voivat olla nimessä myös eri järjestyksissä) on virtapiiri, jossa on vastus (R, resistanssi), käämi (L, induktanssi) ja kondensaattori (C, kapasitanssi). RLC-piireissä jännite ja sähkövirta riippuvat niiden taajuudesta. Tämän vuoksi niitä voidaan käyttää sähkötekniikassa ja elektroniikassa esimerkiksi värähtely- eli virityspiireissä ja suodattimissa.
 RLC-piireihin liittyviä termejä 

 Resonanssi 

RLC-piirit ovat pakotettuja harmonisia värähtelijöitä, eli niiden jännite ja sähkövirta värähtelevät samalla taajuudella kuin piiriin kytketyn sähkölähteen (esimerkiksi generaattori) taajuus.Knight, s. 1158 Kondensaattorin ''vaihtovirtavastus'', eli kapasitiivinen reaktanssi on kääntäen verrannollinen jännitteen tai virran muutoksen kulmataajuuteen 

,Brophy, s. 38Knight, s. 1161Ahoranta, s. 138

kun taas kelan vastaava suure, induktiivinen reaktanssi, on suoraan verrannollinen samaan kulmataajuuteen:

.Brophy, s. 41Knight, s. 1165Ahoranta, s. 143

Näin ollen kondensaattori ja kela vastustavat vaihtovirran kulkua eri tavoilla eri kulmataajuuksilla: pienillä kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat hitaasti) kondensaattori vastustaa virran kulkua paljon ja vastaavasti suurilla kulmataajuuksilla (jännite ja virta muuttuvat nopeasti) kela vastustaa virran kulkua paljon. Vastuksen resistanssi ei juurikaanSuurilla taajuuksilla johtimissa havaitaan nk. virranahtoilmiö, joka aiheuttaa resistanssin kasvun varauksenkuljettajien ahtautuessa johtimen pinnoille. [Grant & Phillips, s. 390] riipu kulmataajuudesta, joten resistanssin vaikutus sähkövirran suuruuteen on taajuuden suhteen vakio. Piiristä riippuvalla tietyllä kulmataajuudella  piirin impedanssi siis saavuttaa maksimi- tai minimiarvonsa. Tätä kulmataajuutta vastaavaa taajuutta

sanotaan ko. piirin resonanssitaajuudeksi.Grant & Phillips, s. 268−269Brophy, s. 139−142Knight, s. 1168Ahoranta, s. 163−165, 170−175 Sekä sarjaan- että rinnankytkettyjen RLC-piirien resonanssikulmataajuus on 

, 

missä
 on kelan induktanssi ja
 on kondensaattorin kapasitanssi.

 Kaistanleveys 
alt=|pienoiskuva|Kaistanleveys  kertoo niiden taajuuksien erotuksen, joiden välissä sarjaresonanssipiirin keskimääräinen teho on vähintään puolet resonanssitaajuudella saavutettavasta maksimitehosta. Tehon puolittuminen vastaa sähkövirran huippuarvon pienentymistä tekijällä .
Piirissä kuluva pätöteho riippuu sähkövirran suuruudesta, joka puolestaan riippuu sähkövirran taajuudesta. Piirin keskimääräinen pätöteho on

,Grant & Phillips, s. 270−273

missä

 on vaihtojännitteen huippuarvo ja
 on piirin resistanssi.

 Sarjaresonanssipiiri 
Sarjaresonanssipiirissä pätöteho on maksimissaan, kun piiri värähtelee resonanssissa. Resonanssitaajuudella , jolloin piirin pätöteho saavuttaa maksimiarvonsa. Tietyllä resonanssitaajuutta pienemmällä ja suuremmalla taajuudella piirin teho puolittuu resonanssitilanteesta. Ts. on olemassa kulmataajuusalue  siten, että

,

kun . Desibeliasteikolla tehon puolittuminen tarkoittaa sitä, että tehon muutos on −3 dB.Tarkka & Hietalahti, s. 185−189 Rajakulmataajuuksien erotusta sanotaan piirin kaistanleveydeksi:

.

Kaistanleveys voidaan laskea kulmataajuuksien sijaan myös taajuuksilla, sillä :

.

Toisinaan on tarpeen määritellä myös suhteellinen kaistanleveys, joka on kaistanleveyden ja resonanssitaajuuden tai -kulmataajuuden suhde:

 tai .

 Hyvyysluku 

RLC-piirin hyvyysluku  kertoo piiriin varastoituneen energian ja yhden jakson aikana hyödyntämättömään muotoon (mm. lämmöksi) muuttuvan energian suhteesta. Hyvyysluku on piirin induktiivisen reaktanssin ja resistanssin suhde resonanssissa: 

.Brophy, s. 145Tarkka & Hietalahti, s. 184−185, 194 

Hyvyysluku kertoo piirin käyttäytymisestä resonanssitaajuuden ympäristössä: mitä suurempi hyvyysluku on, sen kapeampi piirin taajuuskaista on. Kaistanleveyttä voidaan siis pienentää kasvattamalla piirin resistanssia. Pienillä taajuuksilla tämä on kuitenkin käytännössä mahdotonta, sillä rautasydämisenkin käämin induktanssi−resistanssi-suhde on luokkaa 0,05 |henryä per ohmi. Näin ollen käytännössä 

.

Hyvyysluku on piirin suhteellisen kaistanleveyden käänteisluku:

. 

 Sarjaan kytketty RLC-piiri 

pienoiskuva|Vaihtojännitelähteen  kanssa sarjaan kytketty RLC-piiri
RLC-piiri voidaan toteuttaa esimerkiksi siten, että vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty peräkkäin sarjaan. Tällöin Kirchhoffin virtalain mukaisesti kaikkien komponenttien läpi kulkee sama sähkövirta. Piirin aikariippuvuutta kuvaa tällöin differentiaaliyhtälö

,Brophy, s. 137−139

missä

 on jännitteen hetkellinen arvo,
 on sähkövirran hetkellinen arvo ja
 on kondensaattorin hetkellinen sähkövaraus.

Tästä differentiaaliyhtälöstä voidaan ratkaista piirin hetkellinen sähkövirta ajan funktiona:

,

missä  on jännitteen huippuarvo ja
pienoiskuva|Sarjaan kytketyn RLC-piirin resistanssi , kapasitiivinen reaktanssi , induktiivinen reaktanssi  ja impedanssi  jännitelähteen kulmataajuuden  funktiona. Resonanssitaajuudella  piirin impedanssi on pienimmillään.

on piirin sähkövirran ja jännitteen välinen vaihe-ero. Sarjaan kytketyn RLC-piirin impedanssi voidaan ilmoittaa joko kompleksilukuna

tai itseisarvonsa avulla

.Knight, s. 1167

Kun sähkövirran taajuus on sama kuin piirin resonanssitaajuus,

,

kutsutaan piiriä sarjaresonanssiksi. Resonanssissa käämin ja kondensaattorin jännitteet ovat yhtä suuret, mutta ne ovat vastakkaisissa vaiheissa, joten ne kumoavat toisensa. Näin ollen sarjaresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista () ja sähkövirta saavuttaa maksimiarvonsa:

.

 Rinnan kytketty RLC-piiri 

Toinen verrattain yksinkertainen RLC-piiri on piiri, jossa vastus, käämi ja kondensaattori on kytketty vierekkäin eli rinnan (ks. kuva Kytkentä A)Tarkka & Hietalahti, s. 189−193 tai jossa pelkästään käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa (ks. kuva Kytkentä B). Resonanssitaajuudella näitä kumpaakin piiriä kutsutaan rinnakkaisresonanssiksi.

 Vastus, käämi ja kondensaattori rinnan 
pienoiskuva|Kytkentä A: Vaihtojännitelähteen kanssa rinnan kytketyt vastus, käämi ja kondensaattori
Kytkentää, jossa vastus, käämi ja kondensaattori ovat kaikki rinnan jännitelähteen kanssa, kutsutaan myös GLC-piiriksi,Tarkka & Hietalahti, s. 199−202 missä G tarkoittaa vastuksen konduktanssia
pienoiskuva|Kytkennän A resistanssi, kapasitiivinen reaktanssi, induktiivinen reaktanssi ja impedanssi jännitelähteen kulmataajuuden  funktiona. Resonanssikulmataajuudella  piirin impedanssi on suurimmillaan.
.

Rinnan kytketyn RLC-piirin impedanssille pätee

,

mutta sarjakytkennälle analogisten yhtälöiden saavuttamiseksi voidaan käyttää admittanssia ja konduktanssia:

.

Impedanssi itseisarvona on tällöin

.

Kun sähkövirran kulmataajuus on sama kuin piirin resonanssikulmataajuus

,

ovat käämin ja kondensaattorin läpi kulkevat sähkövirrat yhtä suuret, mutta vastakkaisissa vaiheissa. Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin impedanssi koostuu puhtaasti resistanssista  () ja sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa:

.

 Käämi ja kondensaattori rinnan 
pienoiskuva|Kytkentä B: Vaihtojännitelähteen kanssa sarjaan kytketty vastus ja näiden kanssa rinnan kytketyt käämi ja kondensaattori
Kytkentä, jossa käämi ja kondensaattori ovat rinnan ja vastus näiden kanssa sarjassa jännitelähteen kanssa, on myös värähtelypiiri, jolla havaitaan resonanssi-ilmiö. Tämän kytkennän impedanssi on

.

Itseisarvona impedanssi on tällöin

.

Kun sähkövirran kulmataajuus on sama kuin piirin resonanssikulmataajuus

,
pienoiskuva|Kytkennän B resistanssi, kapasitiivinen reaktanssi, induktiivinen reaktanssi ja impedanssi jännitelähteen kulmataajuuden  funktiona. Resonanssikulmataajuudella  piirin impedanssi lähestyy ääretöntä.
kasvaa impedanssi äärettömän suureksi  (). Tällöin rinnakkaisresonanssipiirin sähkövirta saavuttaa minimiarvonsa, joka on nolla.

 RLC-suodattimet 

Yleisesti RLC-piiriä sanotaan toisen kertaluvun suodattimeksi. 
Ohessa RLC-piiri kytkettynä erilaisiksi suodattimiksi

 Kaistanpäästösuodatin 
Kaistanpäästösuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on päästää lävitseen tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja heikentää tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi sarjaresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu suodatetun signaalin taajuus. Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi pienimmillään. Muun taajuuden signaalit suodattuvat sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta. Kaistanleveys on valittava siten, että päästettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.

 Kaistanestosuodin 
Kaistanestosuodatin tai -suodin on elektroninen suodatin, jonka tehtävänä on estää tietyn taajuusalueen sähköiset signaalit ja vahvistaa tämän taajuusalueen ulkopuolisia signaaleja. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi rinnakkaisresonanssipiirillä, jonka komponentit valitaan siten, että piirin resonanssitaajuus on sama kuin haluttu estettävän signaalin taajuus. Kun vaihtojännitteen taajuus sisääntulossa (in) on lähellä piirin resonanssitaajuutta, on piirin impedanssi suurimmillaan. Muun taajuiset signaalit pääsevät läpi sitä tehokkaammin, mitä kauempana ne ovat resonanssitaajuudesta. Kaistanleveys on valittava siten, että estettävä signaali mahtuu suodattimen taajuuskaistaan.

 Alipäästösuodin 
Alipäästösuodin vaimentaa signaalista rajataajuutta korkeammat taajuudet. Sen taajuusvaste kulmataajuuden funktiona on

,

mistä nähdään, että suodin on toista kertalukua. Piiri ei "resonanssitaajuudellakaan" korosta resonanssitaajuutta, jos Q <= 1.

 Katso myös 
 LCR-mittari
 Oskillaattori
 Impedanssisovitus

 Lähteet 
 Viitteet 

 Huomautukset 

 Aiheesta muualla 

Luokka:Elektroniset piirit