Kvasisäännöllinen monitahokas

Kvasisäännöllinen monitahokas on semiregulaarinen monitahokas, jolla on sivutahkoina kahdenlaisia säännöllisiä monikulmioita, jotka vuorottelevat monitahokkaan jokaisen kärjen ympärillä. Ne ovat särmätransitiivisia, eli ne voidaan kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä voi kuvautua mille tahansa toiselle, ja tässä suhteessa ne muistuttavat säännöllisiä monitahokkaita enemmän kuin semiregulaariset monitahokkaat, jotka ovat vain kärkitransitiivisia. 

Kvasisäännöllisten monitahokkaiden duaalikappaleita sanotaan myös joskus kvasisäännöllisiksi. Ne kuitenkaan eivät ole kärkitransitiivisia, mutta kylläkin tahkotransitiivisia, ja niissä vuorottelee kaksi erilaista säännöllistä kärkikuviota.

On olemassa vain kaksi kuperaa kvasisäännöllistä monitahokasta, kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Nämä Keplerin antamat nimet perustuvat siihen, että edellinen voidaan konstruoida kuutiosta ja sen duaalikappaleesta, oktaedrista, joilla on yhteinen keskipiste jälkimmäinen vastaavasti ikosaedrista ja sen duaalikappaleesta, dodekaedrista. Näissä konstruktioissa kvasisäännöllisen monitahokkaan muodostaa kahden sellaisen säännöllisen monitahokkaan leikkaus eli molempien sisään jäävä avaruuden alue, joilla on yhteinen keskipiste.

Nämä muodot, jotka edustavat säännöllisen kuvion ja sen duaalin muodostamaa paria, voidaan esittää Schläflin symboleilla  tai r{p,q}, jotka osoittavat, että niihin sisältyvät sekä säännöllisen monitahokkaan {p,q} että sen duaalikappaleen {q,p} sivut. Tämän symbolin kuvaamalla kvasisäännöllisellä monitahokkaalla on kärkikonfiguraatio  p.q.p.q (tai (p.q)2).

Yleisemmin uniformisella kvasi­säännöllisellä kuviolla voi olla kärki­konfiguraatio (p.q)r, joka esittää r (2 tai useampaa) tapausta tahkoista kärjen ympärillä.

Myös tason tessellaatiot eli laatoitukset voivat olla kvasi­säännöllisiä, erityisesti triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärki­konfiguraatio on (3.6)2. Hyper­bolisella tasolla on muitakin kvasi­säännöllisiä laatoituksia kuten triheptagonaalinen laatoitus, (3.7)2, sekä yleisemmin (p.q)2, missä 1/p+1/q<1/2.

Sellaiset säännölliset monitahokkaat ja laatoitukset, joissa jokaisen kärjen ympärillä on parillinen määrä tahkoja, voidaan myös käsittää kvasi­säännöllisiksi jakamalla sellaisetkin sivutahkot, joilla on sama määrä sivuja, kahteen ryhmään, joita käsitellään eri tavalla. Ne voivat esimerkiksi olla eri värisiä. Säännöllinen kuvio, jonka Schläflin symboli on {p,q}, voidaan käsittää kvasi­säännölliseksi kärki­konfiguraatiolla  (p.p)q/2, jos q on parillinen.

Täten oktaedri voidaan käsittää kvasi­säännölliseksi tetra­tetra­edriksi, jossa on osia kahden tetraedrin kolmiomaisista sivu­tahkoista,  (3a.3b)2, värittämällä ne kahdella eri värillä. Samaan tapaan neliölaatoitusta (4a.4b)2, voidaan pitää kvasisäännöllisenä, jos sen ruudut on väritetty kahdella värillä shakkilaudan tavoin. Myös kolmio­laatoituksessa laatat voidaan vastaavalla tavalla värittää kahdella eri värillä, (3a.3b)3.

 Wythoffin konstruktio 
320pxSäännölliset (p | 2 q) ja kvasisäännölliset monitahokkaat (2 | p q) voidaan konstruoida Wythoffin konstruktiolla käyttämällä lähtökohtana yhtä perusalueen kolmesta kärkipisteestä. Tämä määrittelee perusalueelle yhden erityisen särmän.
400px|thumb|Kvasisäännöllisiä monitahokkaita voidaan muodostaa Shcwarzin kolmioiden perusalueen kaikista kulmista, kun niissä ei ole suoria kulmia:q | 2 p, p | 2 q, 2 | p q

Coxeter määritteli kvasisäännöllisen monitahokkaan sellaiseksi, jonka Wythoffin symboli on muotoa p | q r, ja se on säännöllinen, jos q=2 tai q=r.

Coxeterin–Dynkinin diagrammi on toinen symbolinen esitystapa, joka osoittaa kvasisäännöllisen relaation kahden duaalisen säännöllisen kappaleen välillä:
Schläflin symboliCoxeterin diagrammiWythoffin symboli{p,q}6px6pxKuva:CDel node.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node.pngq | 2 p{q,p}6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node 1.pngp | 2 q r{p,q}6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel q.pngKuva:CDel node.png tai 6px6px6px2 | p q

Kuperat kvasisäännölliset monitahokkaat

Varsinaisia kuperia kvasisäännöllisiä monitahokkaita on kaksi: kuboktaedri ja ikosidodekaedri. Molemmat kuuluvat myös Arkhimedeen kappaleisiin. Lisäksi oktaedria, joka on samalla säännöllinen monitahokas, voidaan pitää myös  kvasisäännöllisenä, jos sen sivut väritetään vuorotellen eri väreillä. Tässä muodossa siitä käytetään toisinaan nimitystä tetratetraedri. 

Kuperien kvasisäännöllisten monitahokkaiden Schläflin symbolit, kärkikonfiguraatiot, Coxeterin diagrammit ja Wythoffin symbolit (oktaedri mukaan luettuna) ovat seuraavat:

monitahokasSchläflin symboliKärkikonfiguraatioCoxeterin diagrammiWythoffin symboliKuboktaedri2{3,4}(3.4)26px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 4Ikosidodekaedri2{3,5}(3.5)26px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 5Oktaedri2{3,3}(3.3)2 6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png 2 | 3 3

Sekä kuboktaedri että ikosidodekaedri ovat samalla kahden keskenään duaalisen säännöllisen monitahokkaan yhteisiä ydinosia. Niiden nimet viittaavat niihin monitahokaspareihin, joista ne voidaan täten muodostaa: sana kuboktaedri on muodostettu lisäämällä sanaan oktaedri etuliite kub-, joka johtuu kuutiota tarkoittavasta sanasta cube, ja vastaavasti sana ikosidodekaedri on yhdistetty sanoista ikosaedri ja dodekaedri.  Vastaavalla tavalla oktaedri on kahden keskenään duaalisen tetraedrin yhteinen ydinosa (nimellä stella octangula tunnettu muodostelma), ja tällä tavoin muodostettuna sitä sanotaan joskus myös tetratetraedriksi.

SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenSärmäkuvio 2 3 2 3 3 375px3.3.3.3 2 4 2 3 3 475px3.4.3.4 2 5 2 3 3 575px3.5.3.5

Kumpikin kvasi­säännöllinen moni­tahokas voidaan konstruoida typistämällä jompikumpi sen muodostavista säännöllisestä moni­tahokkaasta leikkaamalla siitä jokaisesta kärjestä pois niin suuri pala, että alku­peräisen moni­tahokkaan jokainen sivu kutistuu yhdeksi pisteeksi.

 Kvasisäännölliset laatoitukset 

Tätä sarjaa edustaa triheksagonaalinen laatoitus, jonka kärkikuvio on (3.6)2. Se on 'kvasi­säännöllinen laatoitus, joka on yhdistelmä kolmio- ja kuusi­kulmio­laatoituksesta samaan tapaan kuin kvasi­säännölliset moni­tahokkaat ovat kahden säännöllisen monitahokkaan yhdistelmiä.

SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 3 2 675pxTriheksagonaalinen laatoitusr{6,3}
6px6pxKuva:CDel node 1.pngKuva:CDel 3.pngKuva:CDel node.png2 | 3 675px(3.6)2

Shakkilautamalli on neliölaatoituksen kvasisäännöllinen väritys, jonka kärkikuvio on (4.4)2:
SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 475px{4,4}6px6pxKuva:CDel node.pngKuva:CDel 4.pngKuva:CDel node.png
4 | 2 4 4 475px(4.4)2

Kolmiolaatoitus voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi. Sen muodostavat kolme vuorottelevaa kolmioiden joukkoa jokaisen kärjen ympärillä,  (3.3)3:
60pxh{6,3}3 | 3 39px9px6px = 6px6px6px6px6px

Hyperbolisella tasolla sarja jatkuu edelleen. Siihen kuuluu muun muassa triheptagonaalinen laatoitus jonka kärkikuvio on (3.7)2. Se on kvasisäännöllinen laatoitus, jonka saadaan yhdistelmänä kertaluvun 7 kolmiolaatoituksesta ja heptagonaalisesta eli seitsenkulmioiden muodostamasta laatoituksesta:
SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 3 2 7 3 775px(3.7)2

Ei-kuperia esimerkkejä

Vuonna 1954 H.S.M. Coxeter luokitteli myös muutamat samantapaiset tähtimonitahokkaat kvasisäännöllisiksi.

Kaksi niistä voidaan muodostaa säännöllisten Kepler-Poinsotin kappaleiden duaalipareista samaan tapaan kuin edellä mainitut kuperat kvasisäännölliset kappaleet, nimittäin suuri ikosidodekaedri  ja dodekadodekaedri :

SäännöllinenSäännöllinen duaaliKvasisäännöllinenKärkikuvio 2 5/2 2 3 3 5/275px3.5/2.3.5/2 2 5/2 2 5 5 5/275px5.5/2.5.5/2

Näiden lisäksi on vielä yhdeksän hemipolyedriä, jotka saadaan leikkaamalla edellä mainituista kvasisäännöllisistä monitahokkaista paloja pois. Niissä on mukana ekvatoriaalisia tahkoja, jotka kulkevat alkuperäinen monitahokkaan keskipisteen kautta:

Kvasisäännöllinen (typistetty)75pxTetratetraedri75pxKuboktaedri75pxIkosidodekaedri75pxSuuri ikosidodekaedri75pxDodekadodekaedriKvasisäännöllinen (hemipolyedri)75pxTetrahemihekeaedri3/2 3 | 275pxOktahemioktaedri3/2 3 | 375pxPieni ikosihemidodekaedri3/2 3 | 575pxSuuri ikosihemidodekaedri3/2 3 | 5/375pxPieni dodekahemikosaedri5/3 5/2 | 3Kärkikuvio75px3.4.3/2.475px3.6.3/2.675px3.10.3/2.1075px3.10/3.3/2.10/375px5/2.6.5/3.6Kvasisäännöllinen (hemipolyedrit) 75pxKubohemioktaedri4/3 4 | 375pxPieni dodekahemidodekaedri5/4 5 | 575pxSuuri dodekahemidodekaedri5/3 5/2 | 5/375pxSuuri dodekahemidodekaedri5/4 5 | 3Kärkikuvio 75px4.6.4/3.675px5.10.5/4.1075px5/2.10/3.5/3.10/375px5.6.5/4.6

Sitä paitsi on kolme ditrigonaalista muotoa, jotka kaikki saadaan poistamalla palasia säännöllisestä dodekaedrista. Niiden kärkikuvioina esiintyy kolme muunelmaa kahdesta tahkotyypistä:
KuvaMonitahokkaan nimiWythoffin symboliCoxeterin diagrammiKärkikuvio 125pxDitrigonaalinen dodekadodekaedri3 | 5/3 5Tiedosto:Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png tai 6px6px9px9px6px100px(5.5/3)3 125pxPieni trigonaalinen ikosaedri3 | 5/2 3Tiedosto:Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai 9px6px6px6px6px100px(3.5/2)3 125pxSuuri ditrigonaalinen ikosidodekaedri3/2 | 3 5Tiedosto:Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png tai 9px9px6px6px6px100px((3.5)3)/2

Euklidisella tasolla hemipolyedrien sarjaa jatkavat seuraavat neljä tähtimäistä laatoitusta eli  tessellaatiota, joissa apeirogonit vastaavat edellä mainittuja ekvatoriaalisia monitahokkaita:

AlkuperäinensuoritettulaatoitusSärmä-kuvioKärki-konfiguraatioWythoffSymmetria100pxNeliö-laatoitus100px4.∞.4/3.∞4.∞.-4.∞  4/3 4 | ∞ p4m 100pxKolmio-laatoitus100px(3.∞.3.∞.3.∞)/2  3/2 | 3 ∞p6m 100pxTriheksagonaalinenlaatoitus100px 6.∞.6/5.∞6.∞.-6.∞  6/5 6 | ∞ ∞.3.∞.3/2∞.3.∞.-3  3/2 3 | ∞ 

Kvasisäännölliset duaalit

Jotkut kirjoittajat ovat sitä mieltä, että kun kvasisäännöllisten kappaleiden duaalikappaleilla on sama symmetria, näitä duaalikappaleitakin pitäisi nimittää kvasisäännöllisiksi. Kaikki eivät tätä terminologiaa kuitenkaan käytä. Nämä duaalikappaleet ovat transitiivisia särmiensä ja tahkojensa, mutta eivät kärkiensä suhteen; ne ovat särmätransitiivisia Catalanin kappaleita. Niistä kuperia ovat seuraavat:
rombidodekaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: kahdeksan kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä kuusi kärkeä, joissa neljä tällaista tahkoa kohtaa toisensa.
rombinen triakontaedri, jolla on kahdenlaisia kärkiä: 20 kärkeä, joissa kolme neljäkkään muotoista tahkoa kohtaa toisensa, sekä 12 kärkeä joissa viisi tällaista tahkoa kohtaa toisensa.

Sitä paitsi oktaedrin duaalikappale, kuutio, jota yleensä pidetään säännöllisenä monitahokkaata, voidaan käsittää myös kvasisäännölliseksi värittämällä sen kärjet vuorotellen eri väreillä.

Näiden tahkokonfiguraatiot ovat muotoa V3.n.3.n, ja Coxeterin–Dynkinin diagrammi on 6px6px6px6px6px.
120px140px120px120px120px120pxKuutioV(3.3)26px6px6px6px6pxRombidodekaedriV(3.4)26px6px6px6px6pxRombinen triakontaedriV(3.5)26px6px6px6px6pxRombinen laatoitusV(3.6)26px6px6px6px6pxV(3.7)26px6px6px6px6pxV(3.8)26px6px6px6px6px

Näillä kvasisäännöllisillä duaaleilla on sivutahkoina vinoneliöitä eli neljäkkäitä.  Niiden sarjaa jatkaa rombinen laatoitus, V(3.6)2.

 Kvasisäännölliset polytoopit ja hunajakennot

Korkeammissa ulottuvuuksissa Coxeter määritteli kvasisäännöllisen polytoopin tai hunajakennon sellaiseksi, jolla on säännölliset sivut ja kvasisäännölliset kärkikuviot. Tästä seuraa, että sen kaikki kärkikuviot ovat yhtenevät ja että siinä vuorottelevat kahdenlaiset sivut.

Euklidisessa 4-avaruudessa säännööllinen 16-solu voidaan myös käsittää kvasisäännölliseksi, vuodottelevaksi tesseraktiksi, h{4,3,3}, jonka Coxeterin diagrammi on: 6px6px6px6px6px6px6px = 9px9px6px6px6px ja joka muodostuu vuorottelevista tetraedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri eli oktaedri, jolla on tetraedrinen symmetria, 6px3px30px6px6px

Euklidisessa 3-avaruudessa ainoa kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kuutiollinen hunajakenno h{4,3,4}, jonka Coxeterin diagrammi on seuraavanlainen: 6px6px6px6px6px6px3px. Se muodostuu vuorottelevista tetraedrin ja oktaedrin muotoisista soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kuboktaedri, 6px6px6px6px6px.

Hyperbolisessa 3-avaruudessa muuan kvasisäännöllinen hunajakenno on vuorotteleva kertaluvun 5 kuutiollinen hunajakenno, h{4,3,5}, jonka Coxeterin diagrammit ovat: 9px6px6px6px6px6px6px = 12px6px6px6px6px. Se koostuu vuorottelevista tetraedrisista ja ikosaedrisistä soluista. Sen kärkikuvio on kvasisäännöllinen ikosidodekaedri, 6px6px6px6px6px.  Se on sukua parakompaktille vuorottelevalle kertaluvun 6 kuutiolliselle hunajakennolle, h{4,3,6}, jossa vuorottelevat tetraedriset ja kuusikulmaiset solut ja jonka kärkikuvio on kvasisäännöllinen triheksagonaalinen laatoitus, 6px6px6px6px6px.

Kvasisäännölliset polykoorit ja hunajakennot: h{4,p,q}AvaruusÄärellinenAffiininenKompaktiParakompaktiSchäflinsymbolih{4,3,3}h{4,3,4}h{4,3,5}h{4,3,6}h{4,4,3}h{4,4,4}Coxeterindiagrammi9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px9px6px6px6px ↔ 9px6px6px6px6px6px6pxKuva60px80px80px80pxKärkikuvior{p,3}60px6px6px9px6px6px60px6px6px9px6px6px60px6px6px9px6px6px60px6px6px9px6px6px60px6px6px9px6px6px60px6px6px6px6px6px

Muotoa {p,3,4) tai  6px6px6px6px6px6px6px olevien polytooppien ja hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: 6px6px6px6px6px6px6px, jolloin saadaan kvasisäännöllinen muoto 6px6px6px9px9px, jolla eri väriset {p, 3}-solut vuorottelevat. Tällaisiin tapauksiin kuuluu euklidinen kuutiollinen hunajakenno {4,3,4} kuutiomaisine soluineen, kompakti hyperbolinen {4,3,4} kenno dodekaedrin muotoisine soluineen sekä parakompakti {6,3,4}, äärettöminen kuusikulmaisen laatoituksen mukaisine soluineen. Niissä on neljä solua jokaisen kärjen ympärillä vuorottelevin värein. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä tetratetraedrejä, 6px6px6px6px6px = 6px9px9px.
100px|thumb|Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen tetratetraedri, 6px9px9px, joka on sama kuin säännöllinen oktaedri.

 Säännölliset ja kvasisäännölliset hunajakennot: {p,3,4} and {p,31,1}AvaruusEuklidinen 4-avaruusEuklidinen 3-avaruusHyperbolinen 3-avaruusNimi16-solu{3,3,4}{3,31,1} = Kuutiollinen hunajakenno{4,3,4}{4,31,1} = Kertaluvun 4 dodekaedrinen hunajakenno{5,3,4}{5,31,1} = Kertaluvun 4 heksagonaalinen laatoitus{6,3,4}{6,31,1} = Coxeterindiagrammi9px6px6px6px6px6px9px = 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px9px = 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px9px = 9px6px6px6px6px9px6px6px6px6px6px9px = 9px6px6px6px6pxKuva80px80px80px100pxSolut{p,3}80px9px6px6px6px6px80px9px6px6px6px6px80px9px6px6px6px6px80px9px6px6px6px6px

Samaan tapaan muotoa {p,3,6} tai 6px6px6px6px6px6px6px olevien säännöllisten hyperbolisten hunajakennojen symmetria voidaan puolittaa: 6px6px6px6px6px6px6px, jolloin saadaan kvasisäännölliset muodot 6px6px6px9px6px, joilla eri väriset {p,3} -solut vuorottelevat. Niissä jokaisen särmän ympärillä on kuusi solua, joilla vuorottelee kaksi väriä. Niiden kärkikuviot ovat kvasisäännöllisiä kolmiolaatoituksia, 6px9px6px.
100px|thumb|Yleinen kärkikuvio on kvasisäännöllinen kolmiolaatoitus, 6px6px6px6px9px = 6px9px6px

+ Hyperboliset uniformiset hunajakennot: {p,3,6} ja {p,3[3]}MuotoParakompaktitEi-kompaktitNimiKertaluvun 6 tetraedrinen{3,3,6}{3,3[3]}Kertaluvun 6 kuutiollinen{4,3,6}{4,3[3]}Kertaluvun 6 dodekaedrinen{5,3[3]}Kertaluvun 6 heksagonaalinen{6,3,6}{6,3[3]}Kertaluvun 3-6 heptagonaalinen{7,3,6}{7,3[3]}Kertaluvun 3-6 oktagonaalinen{8,3,6}{8,3[3]}Kertaluvun 3-6 apeirogonaalinen{∞,3,6}{∞,3[3]}9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6px9px6px6px6px6px6px6px9px6px6px9px6pxKuva80px80px80px80px60px60px60pxSolut40px{3,3}9px6px6px6px6px40px{4,3}9px6px6px6px6px40px{5,3}9px6px6px6px6px40px{6,3}9px6px6px6px6px40px{7,3}9px6px6px6px6px40px{8,3}9px6px6px6px6px40px9px6px6px6px6px<noinclude>

Lähteet 

 Viitteet 

Luokka:Monitahokkaat