Typistetty ikosaedri

Typistetty ikosaedri eli katkaistu ikosaedri on avaruusgeometriassa yksi kolmestatoista Arkhimedeen kappaleesta. Se on monitahokas, jolla on sivutahkoina 12 säännöllistä viisikulmiota ja 20 säännöllistä kuusikulmiota, ja sillä on 60 kärkeä ja 90 särmää. 

Typistetty ikosaedri on Goldbergin monitahokas GPV(1,1) or {5+,3}1,1, jolla on viisi- ja kuusikulmaisia sivutahkoja.

Tavallisin nykyaikainen jalkapallo muistuttaa muodoltaan typistettyä ikosaedria, ja usein siinä kuusikulmaiset tahkot ovat valkoisia, viisikulmaiset mustia. Typistetty ikosaedri on usein rakenteen pohjana myös geodeettisissa kupoleissa, joiden suunnittelijana tuli tunnetuksi erityisesti Buckminster Fuller. Typistetyn ikosaedrin muotoinen on myös tunnetuin fullereenimolekyyli, buckminsterfullereeni C60.

Typistettyä ikosaedriä käytetään myös solutransitiivisessa hyperbolisen avaruuden täyttävässä tessellaatiossa, kaksoistypistetyssä kertaluvun 5 dodekaedrisessa hunajakennossa.

Konstruktio
Typistetty ikosaedri voidaan kostruoida lähtemällä ikosaedrista, jolla on 20 kolmiomaista tahkoa ja 12 kärkeä. Sen jokaisesta kärjestä leikataan pala pois siten, että jokaisen särmän kummastakin päästä leikataan kolmasosa pois. Täten ikosaedrin alkuperäisten kärkien ympärille syntyy 12 uutta viisikulmion muotoista tahkoa, ja ikosaedrin alkuperäisten kolmionmuotoisten tahkojen jäljelle jäävät osat muuttuvat kuusikulmion muotoisiksi.  Näin ollen typistetyn ikosaedrin särmien pituus on vain kolmasosa alkuperäisen ikosaedrin särmien pituudesta.

Karteesiset koordinaatit
Kun typistetyn ikosaedrin keskipiste on origossa, sen kärkipisteiden karteesiset koordinaatit ovat:

(0, ±1, ±3φ)
(±1, ±(2 + φ), ±2φ)
(±φ, ±2, ±φ3)

sekä näiden kaikki parilliset permutaatiot, missä  on kultaisen leikkauksen suhdeluku. Sen ympäri piirretyn pallon säde on , ja särmien pituus on 2.

Ortogonaaliset projektiot 
Typistetyllä ikosaedrilla on viisi erityistä ortogonaalista projektiota, joiden keskuksina ovat kärjet, kahdenlaiset särmät sekä kahdenlaiset sivutahkot: viisi- ja kuusikulmiot. Kaksi viimeksimainittua vastaavat Coxeterin tasoja  A2 and H2.
+ Ortogonaaliset projektiotKeskuksenaKärkiSärmä5-6Särmä6-6TahkoViisikulmioTahkoKuusikulmioKappale120px120px120pxSärmien muodostama kuvio120px120px120px120px120pxProjektiivinensymmetria[2][2][2][6][10]Duaali120px120px120px120px120px

Ympyrän laatoitus 
Typistetty ikosaedri voidaan kuvata myös ympyrän laatoituksena ja projisoida tasoille stereografisella projektiolla. Tämä projektio on konformikuvaus, toisin sanoen siinä kulmat säilyvät ennallaan, mutta pituudet ja pinta-alat eivät. Pallopinnan isoympyrät kuvautuvat tasolle ympyrän kaariksi.
160px160pxviisikulmio keskuksena160pxkuusikulmio keskuksenaOrtografinen projektioStereografiset projektiot

Mittasuhteet
120px|thumb|right|Kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa suorakulmiota ikosaedrin sisällä (ennen kuin sen kärjet on leikattu).
Jos typistetyn ikosaedrin särmän pituus on a, sen ympäri piirretyn eli sen kaikkia kärkiä koskettavan pallon säde on:

missä φ on kultaisen leikkauksen suhdeluku.

Tämä tulos saadaan helposti käyttämällä lähtökohtana yhtä niistä kolmesta toisiaan vastaan kohtisuorasta suorakulmiosta, jotka voidaan piirtää alkuperäisen ikosaedrin sisään, ennen kuin sen kärjet katkaistaan. Niiden janojen välinen kulma, jotka yhdistävät keskipisteen ja kaksi vierekkäistä kärkeä, voidaan laskea tämän konstruktion perusteella, ja se on noin 23,281446°.

Pinta-ala ja tilavuus
Kun typistetyn ikosaedrin särmän pituus on a, sen sivujen yhteenlaskettu pinta-ala on

ja tilavuus
.

Jos särmän pituutta käytetään pituusyksikkönä, viisikulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on suunnilleen 21 ja kuusikulmioiden 52 yksikköä, yhteensä vajaat 73 yksikköä.

Koska typistetty ikosaedri on kupera monitahokas, sen Eulerin karakteristika on
.

Sovelluksia 


Tunnetuin typistettyä ikosaedria muistuttava esine on tavallinen jalkapallo.. Siinä on 20 kuusikulmion ja 12 viisikulmion muotoista nahan tai muovin palasta ommeltu yhteen siten, että ne muodostavat typistetyn ikosaedrin, mutta kappaleen sisäisen paineen ja sen kimmoisuuden vaikutuksesta se on pullistunut tätä monitahokasta pallomaisemmaksi. Usein, esimerkiksi Adidas Telstar -pallossa siinä viisikulmion muotoiset tahkot ovat mustia, kuusikulmion muotoiset valkoisia. Tämän muotoisen jalkapallon suunnitteli tanskalainen jalkapalloilija Eigil Nilsson vuonna 1962, ja se otettiin virallisesti käyttöön jalkapallon maailmanmestaruuskilpailuissa 1970. Koska se muodoltaan muistuttaa geodeettista kupolia, sitä on toisinaan virheellisesti luultu Buckminster Fullerin suunnittelemaksi. Vuodesta 2006 lähtien sen ovat pitkälti syrjäyttäneet uudenlaiset pallot. Myös käsipallossa käytetään typistetyn ikosaedrin muotoista palloa.

Geodeettinen kupoli on pääasiassa Buckminster Fullerin tunnetuksi tekemä rakennustyyppi, joka koostuu yhteen kiinnitetyistä monikulmion muotoisista levyistä ja tavallisimmin perustuu typistetyn ikosaedrin geometriaan. Tunnetuin tämän tyyppinen rakennelma on Fullerin suunnittelema, vuoden 1967 maailmannäyttelyyn rakennettu Biosphère Montréal

Ikosaedrin muunnelmaa käytettiin pohjana, kun Pontiac Motor RIcision vuosina 1971–1976 valmisti rakenteeltaan hunajakennon kaltaisia pyöriä Trans Am- ja Grand Prix -automalleihin.

Tämän muotoisen yhdistelmän muodostivat myös linssit, joilla sytyttimen shokkiaalto saatiin keskitetyksi yhteen polttopisteeseen Gadget- ja Fat Man -atomipommeissa.

Typistetyn ikosaedrin muotoinen on myös tunnetuin fullereenimolekyyli, buckminsterfullereeni (C60), joka on vuonna 1985 löydetty hiilen allotrooppinen muoto. Siinä hiiliatomit ovat sijoittuneet kappaleen kärkiin, ja lähimpien atomiytimien välinen etäisyys eli kappaleen särmän pituus on noin 0,71 nanometria. Kun särmän pituus jalkapallossa on 22 senttimetriä, on sen ja fullereenimolekyylin läpimittojen suhde noin 31,000,000:1.

Typistetty ikosaedri taiteessa 
"Kiinteäsärmäinen" Leonardo da Vincin rakentama typistetty ikosaedri esiintyy eräässä kuvassa Luca Paciolin kirjassa De divina proportione.

Kuvia

Typistettyyn ikosaedriin liittyviä monitahokkaita 

Typistetyn ikosaedrin duaalikappale on pentakis-dodekaedri.

Typistetty ikosaedri kuuluu uniformisiin ikosaedrisiin monitahokkaisiin, joita ovat seuraavat:

Uniformiset ikosaedriset monitahokkaatSymmetria: Ikosaedrinen symmetria [[5,3], (*532)[5,3]+, (532)50px50px50px50px50px50px50px50px{5,3}t{5,3}r{5,3}t{3,5}{3,5}rr{5,3}tr{5,3}sr{5,3}Uniformisten monitahokkaiden duaalikappaleet50px50px50px50px50px50px50px50pxV5.5.5V3.10.10V3.5.3.5V5.6.6V3.3.3.3.3V3.4.5.4V4.6.10V3.3.3.3.5 

On olemassa seuraavat uniformiset tähtimonitahokkaat, joiden uloimmat kärjet muodostavat typistetyn ikosaedrin:

 3 5  264pxU732  ( )64pxTäydellinen stellaatio 3 2 3 3  3 3

 Typistetyn ikosaedrin graafi 

Matemaattisessa graafiteoriassa typistetyn ikosaedrin graafi on graafi, jonka muodostavat typistetyn ikosaedrin kärjet ja särmät. Sillä on 60 solmua ja 90 kaarta, ja se on kuutiollinen Arkhimedeen graafi.Godsil, C. and Royle, G. Algebraic Graph Theory New York: Springer-Verlag, p. 211, 2001Kostant, B. The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois. Notices Amer. Math. Soc. 42, 1995, pp. 959–968 PDF

+ Typistetyn ikosaedrin graafi240pxKuusikulmainen Schlegelin diagrammi
Icosahedron t01 H3.png|240px]]Viisinkertainen symmetria240pxViisikulmainen Schlegelin diagrammi

Historia
Typistetyn ikosa­edrin tunsi jo Arkhimedes, joka tutki kärki­transitiivisia moni­tahokkaita eli Arkhimedeen kappaleita. Hänen teoksensa ei kuitenkaan ole säilynyt. Myöhemmin Johannes Kepler löysi ne uudestaan ja kirjoitti niistä, myös typistetystä ikosa­edristä.

Saman monitahokkaan rakensi tai kuvasi myös Leonardo da Vinci. Myös Albrecht Dürer teki mallin kappaleesta, jolla oli 12 viisikulmaista ja 20 kuusikulmaista tahkoa, joskaan asiasta säilyneet tiedot eivät ole aivan selviä.

 Lähteet 



 Viitteet 

 Aiheesta muualla 

Luokka:Monitahokkaat