Catalanin kappale

Catalanin kappaleet eli Arkhimedeen duaalit ovat avaruusgeometriassa Arkhimedeen kappaleiden duaalikappaleita. Samoin kuin Arkhimedeen kappaleita, on myös Catalanin kappaleita olemassa 13 erilaista. Ne ovat saaneet nimensä belgialaisen matemaatikko Eugène Catalanin mukaan, joka ensimmäisenä kuvaili ne vuonna 1862.

 Yhteisiä ominaisuuksia 
Kaikki Catalanin kappaleet ovat kuperia. Ne ovat tahko­transitiivisia, mutta eivät kärki­transitiivisia, toisin sanoen ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kappaleen tahkoista voidaan kuvata mille tahansa toiselle, mutta mitä tahansa niiden kärjistä ei voida kuvata mille tahansa toiselle. Tämä aiheutuu siitä, että niiden duaali­kappaleet, Arkhimedeen kappaleet, ovat kärki­transitiivisia mutta eivät tahko­transitiivisia. Toisin kuin sekä Platonin että Arkhimedeen kappaleilla, Catalanin kappaleiden tahkot eivät ole sännöllisiä moni­kulmioita.  Niiden kärkikuviot, jotka saadaan leikkaamalla jostakin kärjestä pala pois, ovat kuitenkin säännöllisiä moni­kulmioita, ja niistä jokaisen kaikki diedrikulmat ovat yhtä suuria. Tahko­transi­tiivi­suu­tensa vuoksi Catalanin kappaleet ovat isoedrejä.

Kaksi Catalanin kappaleista, rombidodekaedri ja rombinen triakontaedri, on lisäksi särmä­transitiivisia eli ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä kuvautuu mille tahansa toiselle. Nämä ovat kvasi­säännöllisten Arkhimedeen kappaleiden duaali­kappaleet.

Samoin kuin prismoja ja antiprismoja ei yleensä pidetä Arkhimedeen kappaleina, ei myöskään niiden duaali­kappaleita, bipyramideja ja trapetso­edreja yleensä pidetä Catalanin kappaleina, vaikka nekin ovat tahko­transitiivisia.

Kaksi Catalanin kappaleita on kiraalisia eli ne eivät ole identtisiä peilikuvansa kanssa: pentagonaalinen ikositetraedri ja pentagonaalinen heksekontaedri. Ne ovat kiraalisten Arkhimedeen kappaleiden, pullistetun kuution ja pullistetun dodekaedrin duaali­kappaleet. Niillä on kaksi muotoa, enantiomorfia, jotka ovat toistensa peilikuvia samaan tapaan kuin ihmisen oikea ja vasen käsi. Jos enantomorfeja, bipyramideja ja trapetsoedreja ei oteta huomioon, erilaisia Catalanin kappaleita on kaikkiaan 13.

 Arkhimedeen ja vastaavat Catalanin kappaleet 

nArkhimedeen kappaleCatalanin kappale1typistetty tetraedritriakis-tetraedri2typistetty kuutiotriakis-oktaedi3typistetty kuboktaedridisdyakis-dodekaedri4typistetty oktaedritetrakis-heksaedri5typistetty dodekaedritriakis-ikosaedri6typistetty ikosidodekaedridisdyakis-triakontaedri7typistetty ikosaedripentakis-dodekaedri8kuboktaedrirombidodekaedri9ikosidodekaedrirombinen triakontaedri10rombikuboktaedrideltoidaalinen ikositetraedri11rombikosidodekaedrideltoidaalinen heksekontaedri12pullistettu kuutiopentagonaalinen ikositetraedri13pullistettu dodekaedripentagonaalinen heksekontaedri

 Symmetria 
Duaalikappaleidensa eli Arkhimedeen kappaleiden tavoin Catalanin kappaleet voidaan jakaa symmetriaominaisuuksiensa perusteella kolmeen ryhmään: tetraedrisiin, oktaedrisiin ja ikosaedrisiin. Kutakin symmetrialuokkaa vastaa kuusi muotoa, paitsi tetraedrisessa ryhmässä, joka on itsessään symmetrinen siten, että erilaisia muotoja on vain kolme ja niistäkin kaksi on samoja, joilla on myös oktaedrinen symmetria.

+ Tetraedrinen symmetria Arkhimedeen monitahokkaat100px100px100px100px100px100px Catalanin kappaleet100px100px100px100px100px99px

+ Oktaedrinen symmetriaArkhimedeen monitahokkaat100px100px100px100px100px100pxCatalanin kappaleet100px100px100px100px100px100px

+ Ikosaedrinen symmetriaArkhimedeen monitahokkaat100px100px100px100px100px100pxCatalanin kappaleet100px100px100px100px100px100px

 Eri kappaleiden ominaisuuksia 

Alla olevassa taulukossa tahkon kuvan alla oleva merkintä osoittaa, minkälaisia monikulmioita kappaleen kunkin kärjen ympärillä olevat tahkot ovat. Esimerkiksi merkintä V3.6.6 tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä kohtaa toisensa kolme tahkoa, joista yksi on kolmio, molemmat muut kuusikulmioita.

 Catalanin kappale(Duaalinen Arkhimedeen kappale)Conwayn merkintä Kuva Särmienmuodostamaverkko Tahkon muoto Tahkoja Särmiä Kärkiä Symmetria­ryhmä triakis-tetraedri(typistetty tetraedri)"kT" 70px70px 60px60px60px Tasakylkinen kolmio40pxV3.6.6  12  18  8  Td rombidodekaedri(kuboktaedri)"jC" 70px70px 60px 60px60px Neljäkäs40pxV3.4.3.4  12  24  14  Oh triakis-oktaedri(typistetty kuutio)"kO" 70px70px 60px60px60px Tasakylkinen kolmio40pxV3.8.8  24  36  14  Oh tetrakis-heksaedri(typistetty oktaedri)"kC" 70px|Tetrakis hexahedron70px|Tetrakis hexahedron 60px60px60px Tasakylkinen kolmio40pxV4.6.6  24  36  14  Oh deltoidinen ikositetraedri(rombikuboktaedri)"oC" 70px70px 60px60px60px leija40pxV3.4.4.4  24  48  26  Oh disdyakis-dodekaedri(typistetty kuboktaedri)"mC" 70px70px 60px60px60px kolmio40pxV4.6.8  48  72  26  Oh pentagonaalinen ikositetraedri(pullistettu kuutio)"gC" 70px70px| 60px60px60px  Pentagon40pxV3.3.3.3.4  24  60  38  O rombinen trikontaedri(ikosidodekaedri)"jD" 70px70px 60px60px60px Neljäkäs40pxV3.5.3.5  30  60  32  Ih triakis-ikosaedri(typistetty dodekaedri)"kI" 70px70px60px60px60px Tasakylkinen kolmio40pxV3.10.10  60  90  32  Ih pentakis-dodekaedri(typistetty ikosaedri)"kD" 70px70px 60px60px60px Tasakylkinen kolmio40pxV5.6.6  60  90  32  Ih deltoidaalinen heksekontaedri(rombikosidodekaedri)"oD" 70px70px| 60px60px60px leija40pxV3.4.5.4  60  120  62  Ih disdyakis-triakontaedri(typistetty ikosidodekaedri)"mD" 70px70px| 60px60px60px kolmio40pxV4.6.10  120  180  62  Ih pentagonaalinen heksekontaedri(pullistettu dodekaedri)"gD" 70px70px 60px60px60px  Viisikulmio40pxV3.3.3.3.5  60  150  92  I

 Lähteet 






 Viitteet 

Luokka:Monitahokkaat