Lissajous’n käyrät

Lissajous’n käyrät, Lissajous’n kuviot eli Bowditchin käyrät ovat joukko matemaattisia käyriä, joiden yhtälöt voidaan esittää parametrimuodossa seuraavasti:

 .

Fysikaalisesti Lissajous’n käyrä on hiukkasen liikerata, kun se on tasossa harmonisessa värähdys­liikkeessä samanaikaisesti kahdessa kohtisuorassa suunnassa. Yleensä edellytetään lisäksi, että näiden kohtisuorissa suunnissa mitattujen taajuuksien suhde on rationaaliluku.

Näitä käyriä tutki Nathaniel Bowditch vuonna 1815 ja yksityis­kohtaisemmin Jules Antoine Lissajous vuonna 1857. Niillä on sovelluksia fysiikassa, elektroniikassa, tähti­tieteessä ja muissa tieteissä.

 Yleistä 

Lissajous'n käyrät voivat olla hyvinkin eri muotoisia riippuen suhteesta .  Yksinkertaisimpia erikois­tapauksia ovat seuraavat:
 Jos suhde on 1, kuvio on ellipsi, paitsi
 jos lisäksi A = B ja ,  kuvio on ympyrä
 jos δ = 0, kuvio on pelkkä jana.
 Jos suhde  ja , kuvio on paraabelin kaari.

Muilla suhteen b/a arvoilla saadaan moni­mutkaisempia kuvioita, ja ne ovat suljettuja käyriä vain, jos tämä suhde on rationaaliluku. Käyrien ulkonäkö tuo usein mieleen kolmiulotteisen solmun, ja itse asiassa monien solmujen, muun muassa Lissajous'n solmujen projektio tasolla on Lissajous'n käyrä.

pienoiskuva|right|Lissajous’n kuvio oskilloskoopilla. Tällainen kuvio saadaan aikaan kahdella syötetyllä signaalilla, jotka värähtelevät sinimuotoisesti ja joiden taajuuksien suhde on 1:3, kun toinen niistä asetetaan ohjaamaan kuvapisteen sijaintia vaakasuunnassa ja toinen pystysuunnassa.

Visuaalisesti suhde a:b määrittää kuvion silmukoiden tai liuskojen lukumäärän. Esimerkiksi jos suhde on 3:1 tai 1:3,  saadaan oheisen kuvan muotoinen kolmisilmukkainen kuvio.  Samaan tapaan suhteella 5:4, saadaan kuvio, jossa on viisi vaakasuoraa ja neljä pystysuoraa silmukkaa.  Jos suhde on rationaalinen, kuvio on suljettu, yhtenäinen käyrä, kun taas irrationaalisilla suhteilla saadaan kuvio, joka näyttää pyörivän. Suhde a:b määrittää kuvion leveyden ja korkeuden suhteen, tai täsmällisemmin sanottuna pienimmän sellaisen suorakulmion leveyden ja korkeuden suhteen, jonka sisään Lissajous'n käyrä kokonaan mahtuu. Esimerkiksi jos suhde on , saadaan kuvio, joka on kaksi kertaa niin korkea kuin se on leveä. 

Yhtälöissä esiintyvä termi δ määrittää, minkä verran kuvio näyttää "kääntyneeltä", vinossa asennossa olevalta, jos sitä katsotaan ikään kuin se olisi kolmi­ulotteinen käyrä. Jos esimerkiksi δ = 0, komponentit x ja y ovat tarkalleen samassa vaiheessa, niin että kuvio näyttää samalta kuin kohti­suorasta suunnasta katsottu kolmi­ulotteinen kuvio. Sen sijaan δ:n ollessa nollasta poikkeava kuvio näyttää siltä kuin sitä katsottaisiin vinosta suunnasta, suhteesta  riippuen joko vaaka- tai pysty­suorassa suunnassa vinoon kääntyneeltä. Fysikaalisesti parametri δ osoittaa erisuuntaisten värähdysten vaihe-eron hetkellä t = 0.

Lissajous'n kuviot, joilla a = 1 ja b luonnollinen luku ja joille 



ovat samalla ensimmäisen asteen Tšebyšovin polynomeja. Tätä seikkaa käytetään hyväksi muodostettaessa Paduan pisteiksi sanottu pistejoukko, joissa jokin funktio voidaan mallintaa, jotta sen arvot voidaan laskea bivariaatilla inter­polaatiolla tai neliöimällä funktio suorakulmiossa [−1,1] × [−1,1].

Esimerkkejä

Oheinen animaatio osoittaa, miten Lissaous’n käyrän muoto muuttuu, kun suhde  kasvaa arvosta 0 arvoon 1. 

Seuraavat kuviot esittävät Lissajous’n käyriä eri δ:n arvoilla ja muutamilla suhdeluvuilla a:b, kun ainakin jompikumpi luvuista a tai b on 1:

 δ 1:1 1:2 1:3 2:10Tiedosto:Lissajous 1 1 0.svgTiedosto:Lissajous 1 2 0.svgTiedosto:Lissajous 1 3 0.svgTiedosto:Lissajous 2 1 0.svg¹/₄·πTiedosto:Lissajous 1 1 0.25.svgTiedosto:Lissajous 1 2 0.25.svgTiedosto:Lissajous 1 3 0.25.svgTiedosto:Lissajous 2 1 0.25.svg¹/₂·πTiedosto:Lissajous 1 1 0.5.svgTiedosto:Lissajous 1 2 0.5.svgTiedosto:Lissajous 1 3 0.5.svgTiedosto:Lissajous 2 1 0.5.svg³/₄·πTiedosto:Lissajous 1 1 0.75.svgTiedosto:Lissajous 1 2 0.75.svgTiedosto:Lissajous 1 3 0.75.svgTiedosto:Lissajous 2 1 0.75.svg1·πTiedosto:Lissajous 1 1 1.svgTiedosto:Lissajous 1 2 1.svgTiedosto:Lissajous 1 3 1.svgTiedosto:Lissajous 2 1 1.svg1¹/₄·πTiedosto:Lissajous 1 1 1.25.svgTiedosto:Lissajous 1 2 1.25.svgTiedosto:Lissajous 1 3 1.25.svgTiedosto:Lissajous 2 1 1.25.svg1¹/₂·πTiedosto:Lissajous 1 1 1.5.svgTiedosto:Lissajous 1 2 1.5.svgTiedosto:Lissajous 1 3 1.5.svgTiedosto:Lissajous 2 1 1.5.svg1³/₄·πTiedosto:Lissajous 1 1 1.75.svgTiedosto:Lissajous 1 2 1.75.svgTiedosto:Lissajous 1 3 1.75.svgTiedosto:Lissajous 2 1 1.75.svg2·πTiedosto:Lissajous 1 1 2.svgTiedosto:Lissajous 1 2 2.svgTiedosto:Lissajous 1 3 2.svgTiedosto:Lissajous 2 1 2.svg

Kuten näistä esimerkeistäkin ilmenee, jos luvut a ja b vaihdetaan keskenään, saatava Lissajous'n kuvio on muodoltaan muutoin samankaltainen mutta kääntynyt peilikuvakseen suoran y = x (taustaneliön yläoikealta alavasemmalle johtavan lävistäjän) suhteen.

Seuraavassa vielä muutamia Lissajous'n käyriä suhdeluvuilla 2:3 ja 3:4 vaihe-eron δ eri arvoilla:

 δ 2:3 δ 3:40Tiedosto:Lissajous 2 3 0.svg0Tiedosto:Lissajous 3 4 0.svg¹/₂·¹/₄·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.125.svg¹/₃·¹/₄·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.083.svg¹/₂·¹/₂·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.25.svg¹/₃·¹/₂·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.167.svg¹/₂·³/₄·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.375.svg¹/₃·³/₄·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.25.svg¹/₂·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.5.svg¹/₃·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.33.svg5/8·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.625.svg5/12·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.417.svg³/₄·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.75.svg¹/₂·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.5.svg7/8·πTiedosto:Lissajous 2 3 0.875.svg7/12·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.583.svg1·πTiedosto:Lissajous 2 3 1.svg²/₃·πTiedosto:Lissajous 3 4 0.67.svg

Lissajous'n käyrä, joka saadaan, kun suhde  = 1:2 tai 2:1 ja kun , tunnetaan myös Geronon lemniskaattana.  Se muistuttaa muodoltaan numeroa 8 tai äärettömän merkkiä , ja se on samalla yhtälön  

kuvaaja.

Lissajous'n käyrien tuottaminen ja sovelluksia 

Ennen nykyaikaisten elektronisten laitteiden kehittymistä Lissajous'n kuviot saatiin helpoimmin aikaan mekaanisesti harmonografin avulla.

Lissajous'n kuvioita voidaan myös saada aikaan optisesti kahden ääniraudan avulla, joihin on kiinnitetty peilit ja joista toinen on kiinnitetty telineeseen  värähtelemään vaaka­suorassa, toinen pysty­suorassa suunnassa. Jos valo saapuu pienestä valolähteestä, Lissajous'n komparaattorista, kohti­suorasti ensin vaaka­suoraan äänirautaan, jossa olevasta peilistä se heijastuu pysty­suorassa ääniraudassa olevaan peiliin ja sieltä edelleen varjostimelle, tälle varjostimelle muodostuu Lissajous'n käyrän muotoinen valokuvio, jonka muoto riippuu äänirautojen värähtely­taajuuksien suhteesta.

 Lissajous'n käyrät oskilloskoopilla 


Lissajous'n kuvioita saadaan helposti aikaan myös oskilloskoopilla ohjaamalla sen x- ja y-akselien suuntaisille poikkeutuslevyille eritaajuiset vaihto­jännitteet. Käyrän muodosta voidaan tällöin päätellä myös niiden taajuuksien suhde.

Äänentoistotekniikassa tätä menetelmää käytetään stereolaitteiden vasemman- ja oikean­puoleisen kanavan välisen vaihe-eron reaali­aikaiseen tutkimiseen. Tähän tarkoitukseen rakennettu myös tavallista oskilloskooppia kehittyneempiä konsoleja.

Oletetaan, että kanava CH1 on kytketty oskillo­skoopin x-akselin ja CH2 y-akselin suuntaiseen poikkeutus­levyyn.  Jos kanavalla CH1 esiintyvän signaalin amplitudi on A ja taajuus a, kun taas kanavalla CH2 esiintyvän signaalin amplitudi on B ja taajuus b, oskillo­skoopin näyttö­ruudulle saadaan Lissajous'n käyrä, joka vastaa suhdetta a:b, ja sen määrittelevässä yhtälössä esiintyvä termi δ osoittaa kanavien välisen vaihe-eron.

 LTI-systeemit 

pienoiskuva|right|Lissajous'n kuvio, kun molemmat syötetyt taajuudet ovat yhtä suuri, mutta niillä on vaihe-ero, on muodoltaan ellipsi.
pienoiskuva|right|Yläkuvassa: sisään syötettävä signaali ajan funktiona.Keskellä: Ulos tuleva signaali ajan funktiona.Alakuvassa: Muodostuva Lissajous'n käyrä, kun ulos tuleva signaali esitetään sisään menevän signaalin funktiona.Tässä erikoistapauksessa, kun sisään menevän ja ulos tulevan signaalin vaihe-ero on 90 astetta, syntyvä Lissajous'n kuvio on ympyrä.
Kun LTI-systeemiin (lineaariseen ajan suhteen invarianttiin systeemiin) syötettävä signaali on sinimuotoinen, myös ulos tuleva signaali on sinimuotoinen, mutta sillä saattaa olla eri amplitudi ja vaihesiirto. Koska oskillo­skoopin avulla voidaan esittää jännitteen vaihtelut, paitsi ajan, myös toisen jännitteen funktiona, sen avulla voidaan myös näyttää LTI-systeemin tuottama signaali sisään menevän signaalin funktiona, jolloin tuloksena saadaan sellainen Lissajous'n kuvio, jolle a = b, toisin sanoen yleensä ellipsi (erikoistapauksissa ympyrä tai jana).  Tämän ellipsin aspektisuhde eli sen iso- ja pikkuakselin suhde riippuu vain sisäänmenevän ja ulostulevan signaalin välisestä vaihe-erosta. Jos vaihe-ero on ±90°, aspektisuhde on 1 ja kuvio on ympyrä. Jos taas vaihe-ero on 0° tai 180°, aspektisuhde on ∞ ja kuvio on jana.

Alla oleva kuvio sisältää yhteenvodon siitä, millainen Lissajous'n kuvio saadaan milläkin vaihe-erolla. Nuolet osoittavat Lissajous'n kuvion kiertosuuntaa.  Kaaviossa esitetyt vaihe-erot ovat kaikki negatiivisia, mutta samat kuviot saadaan myös positiivisilla vaihe-eroilla; esimerkiksi vaihe-ero +90° tuottaa saman kuvion kuin −270°.


 Elektroniikassa 

Lissajous'n käyrän avulla voidaan kokeellisesti selvittää, onko tutkittava komponentti kelvollinen memristori.

Lissajous'n käyrät kulttuurissa 

Elokuvissa 

Oskilloskoopin näytöllä esiintyvät Lissajous'n kuviot esiintyivät toisinaan 1960- ja 1970-luvuilla tieteiselokuvissa ja televisio-ohjelmissa eräänlaisina korkean teknologian symboleina.

Lissajous'n kuvioihin perustuu myös John Whitneyn laatima alkukuva Alfred Hitchcockin elokuvassa Vertigo – punainen kyynel vuodelta 1958.

Yrityslogot 

Lissajous'n kuviot esiintyvät myös joidenkin yhtiöiden logoissa. Esimerkkeinä voidaan mainita seuraavat:
 Australian Broadcasting Corporation (a = 1, b = 3 ja )
 MIT:n Lincoln Laboratory (a = 4, b = 3 ja δ = 0)
 japanilainen University of Electro-Communications (a = 5, b = 6 ja .

Modernissa taiteessa 

Dadaistinen taiteilija Max Ernest on eräissä maalauksissaan maalannut Lissajous'n kuvioita keinuttamalla kankaan yllä maalipurkkia, jonka pohjaan oli puhkaistu reikä.

 Lähteet 

 Aiheesta muualla 

Seuraavilla sivuilla on interaktiivisia demonstraatioita, joilla voidaan muodostaa Lissajou'n kuvioita.








Luokka:Käyrät
Luokka:Trigonometria
Luokka:Signaalinkäsittely