Helmholtzin kelat

Helmholtzin kelat ovat laite, joka koostuu kahdesta ympyränmuotoisesta kelasta, joilla on yhteinen keskiakseli ja joiden välinen etäisyys toisistaan on yhtä suuri kuin kelojen yhteinen säde. Helmholtzin keloja käytetään mm. kokeissa kumoamaan ulkoisia magneettikenttiä, kuten Maapallon magneettikenttä. Kelat on nimetty saksalaisen fyysikon Hermann von Helmholtzin mukaan.

 Magneettikenttä keskiakselilla 
vasen|pienoiskuva|Magneettivuon tiheys pisteessä  (joka ei ole origo ) koostuu useiden pisteen  kaltaisten elementtien pienistä kentistä .|180x180pxJohdetaan lauseke magneettivuon tiheydelle kelojen keskiakselilla paikan funktiona. Oletetaan, että ohut virtajohdin ei kulje origon kautta. Olkoon johtimessa kulkeva sähkövirta . Vasemmanpuoleisen kuvan merkinnöin voidaan kirjoittaa Biot’n−Savartin laki, joka kertoo magneettivuon tiheyden mielivaltaisessa pisteessä :

, Grant & Phillips, s. 138

missä

 on tyhjiön permeabiliteetti (eli magneettivakio),

 on johtimen differentiaalinen pituusalkio pisteessä  ja

 merkitsee vektorin normia (pituutta).
pienoiskuva|310x310px|Kahden virtasilmukan aiheuttaman magneettivuon tiheyden laskeminen mielivaltaisessa pisteessä  kelojen keskiakselilla.

Sovelletaan Biot'n−Savartin lakia kahdelle ympyränmuotoiselle johdinsilmukalle siten, että piste  sijaitsee silmukoiden keskiakselilla. Tarkastellaan ensin pelkästään yhtä silmukkaa. Asetetaan tarkastelukoordinaatisto siten, että origo on silmukan keskellä ja -akseli kulkee silmukan keskiakselia pitkin. Olkoon silmukan säde  ja siinä kulkeva sähkövirta  (ks. oikeanpuoleinen kuva). Tässä geometriassa Biot'n−Savartin laista saadaan:

sillä  kaikilla . Pisteessä  termit

 ja

ovat vakioita, joten ne voidaan siirtää ulos integraalista. Jäljelle jää suoritettavaksi suljettu polkuintegraali yli -säteisen ympyrän, eli ympyrän kehän pituus:

.

Jos silmukka korvataan halkaisijaltaan yhtä suurella kelalla, jossa on  kierrosta, kerrotaan edellä saatu tulos :llä:

.

Lisätään -akselille kohtaan  toinen kela, jonka säde on  ja kierrosten lukumäärä . Oletetaan, että tässä kelassa kulkee yhtä suuri sähkövirta samaan kiertosuuntaan kuin ensimmäisessä kelassa. Toisen kelan aiheuttama magneettivuon tiheys keskiakselilla lasketaan hyödyntäen jo saatua tulosta. Tarvitsee vain korvata muuttuja :llä. Kokonaisuudessaan magneettivuon tiheys keskiakselilla saadaan näiden kahden kelan magneettivuon tiheyksien summana:

.
pienoiskuva|500x500px|Magneettivuon tiheys Helmholtzin kelojen keskiakselilla. Molempien kelojen säde on , molemmissa on  kierrosta ja molemmissa kiertää sähkövirta  samaan suuntaan. Ensimmäisen kelan keskipiste on origossa ja toisen pisteessä . Kuten kuvaajasta nähdään, magneettivuon tiheys on suurimmillaan puolessavälissä keloja.

Sijoittamalla tähän yhtälöön , saadaan yhtälö magneettivuon tiheydelle Helmholtzin kelojen keskiakselilla:

.

 Magneettikenttä kelojen puolivälissä 
Keskiakselilla täsmälleen silmukoiden puolivälissä () magneettivuon tiheys on:

 Esimerkkejä 
Maapallon magneettivuon tiheys maan pinnalla voi olla paikoin 50 μT. Olkoon Helmholtzin kelojen säde (ja etäisyys) 0,5 m ja kummassakin 50 kierrosta. Lasketaan, kuinka suuri sähkövirta keloissa pitää kulkea, jotta puolessa välissä kelojen keskellä vastakkaissuuntainen maan magneettikenttä kumoutuu.

Ratkaisu:

Käyttämällä viimeisimpänä johdettua yhtälöä magneettivuon tiheydelle keskiakselilla kelojen puolivälissä, saadaan:

Kuten huomataan, jo suhteellisen pienellä laitteistolla ja pienellä sähkövirralla saadaan maapallon magneettikenttä keskellä laitteistoa kumottua täysin.

 Katso myös 
 Magneettikenttä
 Kela (komponentti)

 Lähteet 

 Aiheesta muualla 

Luokka:Sähkömagnetismi