Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. 
Matemaattinen kuvaus
Tehtävänä on laskea integraali , missä  on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja  on analyyttinen :ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä . Tällöin funktio  voidaan esittää Laurentin sarjana
. 
Tästä integraalin arvoksi saadaan
.Saff ja Snider, s. 307
Tässä kerrointa  kutsutaan funktion  residyksi pisteessä  ja sitä merkitään  tai lyhyemmin .Saff ja Snider, s. 308
Esimerkki
Tarkastellaan funktiota  ja lasketaan sille polkuintegraali  pitkin ympyrän kehää . 

Ratkaisu: Tiedetään, että funktiolla on residy  pisteessä . Funktiolla  on Taylorin sarja . Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle  pisteen  ympäristössä
. 

Tällöin . 

Koska piste  on funktion  ainoa nollakohta ympyrän  sisällä, saadaan integraalin arvoksi .Saff ja Snider, s. 308

Lähteet
 Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Viitteet

Kirjallisuutta




Luokka:Kompleksianalyysi
Luokka:Integraalilaskenta