Vektorikimppu

Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö. 

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon  topologinen avaruus ja  mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen :n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus . Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus . Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä , ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko , joka "käännetään ympäri".

 Määritelmä 

Olkoon  topologisia avaruuksia, ja olkoon  jatkuva kuvaus. Tällöin pari  on topologinen vektorikimppu, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet .

 Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite , joille  ja  kaikille . Eli on olemassa homeomorfismi .

 Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset  ovat homeomorfismeja ja lineaarisia  koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (bundle map).

Avaruus  on pohja-avaruus, ja  on nk. totaaliavaruus. Kuvaus  on projektio, ja on esimerkki topologisesta submersiosta. Kokonaisluku  on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

 Säiekuvaukset 

Olkoot  topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat ja ulottuvuudet , vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus  on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

 Kommutointi: On olemassa kuvaus , jolle . 

 Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, , pätee, että .

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus  on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia. 

 Sektiot 

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden  tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden  kanssa. Yleisesti ottaen sektio  on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen  vektorin, joka kuuluu joukkoon , eli 

missä  on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot nolla-sektio, jossa . 

  Lähteet  

*