Fuhrmannin lause

Fuhrmannin lauseFuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929. on Geometriassa jännenelikulmioita käsittelevän Ptolemaioksen lauseen yleistys syklisille kuusikulmioille.

 Tilanteen kuvailu 
Syklinen monikulmio muodostetaan merkitsemällä ympyrän kehältä kuusi pistettä, josta kaikki vierekkäiset pisteet yhdistetään toisiinsa janalla. Näin syntyy kuusikulmio, jolla on muihin kuusikulmioihin nähden joitakin erityispiirteitä jännenelikulmion tapaan. Syntynyt kuusikulmio on konveksi eli monikulmiolla on yksi avoin sisäosa, jossa kaikki kulmat ovat koveria. Jos kaksi muuta kuin kehän vierekkäiset pistettä yhdistää janalla, saadaan lävistäjiä joita on aina yhdeksän kappaletta. Kuusikulmiosta voidaan valita kolmella tapaa lävistäjä (keskilävistäjä), jonka kummallekin puolelle jää kaksi muuta kehäpistettä eli kuusikulmion kärkeä. Vierekkäiset pisteet yhdistäviä monikulmion sivuja kutsutaan vastakkaisiksi sivuiksi, sillä ne sijaitsevat aina oppositiossa toisiinsa nähden. Fuhrmann havaitsikin näiden keskilävistäjien ja vastakkaisten sivujen muodostamien yhdistelmien noudattavan laskennallista sääntöä, jota kutsutaan keksijänsä mukaan Fuhrmannin lauseeksi.

 Väite 
Olkoon konveksi ympyrän sisään piirretyn kuusikulmion (vertaa edelle selostettuun) sivut  ja olkoon kuusikulmion lävistäjät  ja  valittu siten, että janoilla  ja lävistäjällä  ei ole yhteistä kuusikulmion kärkeä (keskilävistäjä ja vastakkaiset sivut), ja vastaavasti samoin on janoilla  ja lävistäjällä  sekä niin on myös janoilla  ja lävistäjällä . Tällöin on lävistäjien tulolle on aina voimassa

Lähteet

Aiheesta muualla
 Mathworld: Fuhrmann's Theorem 
 Glasgow’n yliopisto: Lauseen todistus  
Luokka:Euklidinen geometria