Fibonaccin alkuluvut

Fibonaccin alkuluvut ovat Fibonaccin lukujonossa esiintyvät alkuluvut. Ensimmäiset Fibonaccin alkuluvut ovat:

 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1 597, 28 657, 514 229, 433 494 437, 2 971 215 073

Tunnetut Fibonaccin alkuluvut

Ei tiedetä, onko Fibonaccin alkulukuja äärettömän monta. Fibonaccin jonon Fn ensimmäiset 33 alkulukujäsentä löytyvät seuraavista paikoista, kun alaindeksi n kertoo, monesko jonon jäsen on kyseessä:

 n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2 971, 4 723, 5 387, 9 311, 9 677, 14 431, 25 561, 30 757, 35 999, 37 511, 50 833, 81 839.

Näiden todistettujen alkulukujen lisäksi sarjasta on löydetty seuraavat mahdolliset alkuluvut:

 n = 104 911, 130 021, 148 091, 201 107, 397 379, 433 781, 590 041, 593 689, 604 711, 931 517, 1 049 897, 1 285 607, 1 636 007, 1 803 059, 1 968 721PRP Top Records, Search for : F(n). Viitattu 6.6.2020.

Tapaus n=4 pois lukien kaikilla Fibonaccin alkuluvuilla on alkulukuindeksi, mutta kaikki alkulukuindeksit eivät osoita alkulukua.

Fp on alkuluku kahdeksalla ensimmäisestä kymmenestä alkuluvusta. Poikkeukset ovat F2 = 1 ja F19 = 4 181 = 37 × 113. Indeksin kasvaessa Fibonaccin alkuluvut ovat kuitenkin harvinaisempia, ja Fp on alkuluku vain kahdellekymmenellekuudelle 1 229 alkuluvusta, jotka ovat pienempiä kuin 10 000.Sloane's , 

Suurin tunnettu Fibonaccin alkuluku on F81 839. Sen osoittivat alkuluvuksi David Broadhurst ja Bouk de Water vuonna 2001.Chris Caldwell, The Top Twenty: Fibonacci Number. Viitattu 6.6.2020. Suurin tunnettu mahdollinen Fibonaccin alkuluku on F1 968 721. Siinä on 411 439 numeroa ja sen löysi Henri Lifchitz vuonna 2009.PRP Top Records, Search for : F(n). Viitattu 6.6.2020.

 Fibonaccin lukujen jaollisuus 
Alkulukuindeksisillä Fibonaccin luvuilla Fp ei ole lukua 1 suurempia yhteisiä jakajia identiteetin

 syt(Fn, Fm) = Fsyt(n,m).Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000

vuoksi.

Jokaiselle n ≥ 3, Fn jakaa Fm:n jos ja vain jos n jakaa m:n.Wells 1986, s. 65 

Jos oletetaan, että m on alkuluku p yllä mainitusta identiteetistä ja n < p, niin selvästi nähdään, että Fp:llä ei voi olla yhteisiä tekijöitä aikaisempien Fibonaccin alkulukujen kanssa:

 syt(Fp, Fn) = Fsyt(p,n) = F1 = 1

Lähteet

Luokka:Lukujonot
Luokka:Alkuluvut