Heinen–Borelin lause

Heinen–Borelin lause on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heinen ja Émile Borelin mukaan. 

Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.

Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin . Jos S on jokin :n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
S on suljettu ja rajoitettu joukko
Jokaisella joukon S avoimista joukoista muodostetulla peitteellä on äärellinen osapeite, siis S on kompakti.

Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:
Metrisen avaruuden osajoukko on kompakti, jos ja vain jos se on  täydellinen ja täysin rajoitettu.

 Todistus avaruudessa Rn  

 Kompakti joukko on suljettu 

Olkoon S kompakti joukko joka ei ole suljettu. Tällöin on olemassa kasautumispiste a, joka ei kuulu joukkoon  S. Valitaan peite , missä jokainen Bx on pisteen x ympäristö, joka on erillinen jostakin pisteen a ympäristöstä. Olkoon C1 jokin tämän peitteen äärellinen osapeite. Kuitenkin nyt löytyy jokaista  kohti pisteen a ympäristö , joka ei leikkaa joukkoa Bx. Näiden ympäristöjen leikkaus  sisältää pisteen , mutta . Siis  ei ole joukon S peite. Tämä on ristiriita ja täten väite on tosi.

 Kompakti joukko on rajoitettu 

Valitaan kompaktille joukolle S peite  . Tällöin on olemassa äärellinen peite . Joukon   S halkaisijaa voidaan arvioida ylöspäin seuraavasti:

.

Siis  S on rajoitettu.

 Kompaktin joukon suljettu osajoukko on kompakti 

Olkoon S kompaktin joukon T suljettu osajoukko, jonka komplementti U on avoin ja C joukon S avoin peite.  Tällöin peite  on joukon T avoin peite. Kompaktiuden nojalla löytyy joukon T peite C2, joka on peitteen C2 osapeite. Peite  on peitteen C avoin, äärellinen osapeite.

 Suljettu ja rajoitettu joukko on kompakti 

Olkoon S rajoitettu ja suljettu osajoukko avaruudessa Rn. Nyt S on osajoukko jossakin joukosta

Yllä todetun nojalla riittää osoittaa, että T0 on kompakti.

Oletetaan, että T0 ei ole kompakti. Tällöin on olemassa avoin peite C, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Jakamalla jokainen sivu kahtia saadaan 2n pienempää n- laatikkoa, joista vähintään yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Kutsutaan yhtä tällaisista joukoista nimellä T1. Vastaavasti laatikon T1 sivut voidaan halkaista, mistä saadaan 2n pienempää n-laatikkoa, joista yhdellä ei ole äärellistä peitteen C osapeitettä. Annetaan tälle joukolle nimi T1. Tällä tavalla jatkamalla saadaan jono suljettuja n-laatikoita, joista jokainen sisältyy jonon aikaisempiin jäseniin.

Tässä joukon Tk  sivun pituus  lähestyy lukua 0, kun k kasvaa rajatta.
Poimitaan joukosta Tk alkio xk kaikilla k. Tämä jono on Cauchy-jono, joten sillä on raja-arvo p. 
p ∈ Tk kaikilla k, koska Tk on suljettu ja sisältää koko jonon lukuun ottamatta sen ensimmäisiä alkioita.

Koska C peittää joukon T0, se sisältää avoimen joukon U, jolle pätee p ∈ U ∈ C. Koska U on avoin, jokin p-keskeinen kuula . Nyt voidaan valita k siten että . Tällöin kuitenkin joukolla Tk on peitteen C äärellinen osapeite , mikä on ristiriita.

Siten T on kompakti, mistä seuraa, että  S on kompakti, MOT.

Vaihtoehtoinen todistus hoitaisi ensin yksiulotteisen avaruuden jollain toisella menetelmällä. Sitten yleiselle S voisi päätellä, että sen jokaisella jonolla olisi osajono, jonka ensimmäiset koordinaatit suppenevat, sillä osajono, jonka toiset koordinaatit suppenevat, jne. Siis S olisi jonokompakti, joten S olisi kompakti.

 Lähteet 

Kirjallisuutta


Luokka:Reaaliluvut
Luokka:Topologia
Luokka:Matemaattiset teoreemat