Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu

Matematiikassa äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu on lause, jonka mukaan jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä kuuluu johonkin alla olevista neljästä pääkategoriasta. Nämä ryhmät voidaan nähdä samanlaisina perusrakennuspaloina kuin alkuluvut toimivat ykköstä suuremmille kokonaisluvuille. Jordanin–Hölderin lause on tarkempi tapa ilmaista tämä äärellisten ryhmien ominaisuus. Kuitenkin luokittelulauseella ja alkutekijöihinjaolla on merkittävä eroavaisuus, sillä tällaiset "rakennuspalikat" eivät välttämättä määritä ryhmää yksikäsitteisesti, sillä on olemassa epäisomorfisia ryhmiä, joilla on sama kompositiojono. Toisin sanoen ryhmien laajentaminen ei ole yksikäsitteistä.

Luokittelulauseen todistus on kymmeniä tuhansia sivuja pitkä ja se on julkaistu useissa sadoissa osissa eri julkaisuissa. Yli sata henkilöä on osallistunut julkaisujen kirjoittamiseen. Suurin osa julkaisuista on kirjoitettu vuosien 1955 ja 2004 välillä. Daniel Gorenstein, Richard Lyons ja Ronald Solomon ovat vähitellen julkaisemassa yksinkertaistettua todistusta.

Mitä luokittelulause sanoo?
Luokittelulause kuuluu seuraavasti: Jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä on isomorfinen jonkun seuraavista ryhmistä kanssa:

 Syklinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku.
 Alternoiva ryhmä, jonka aste on vähintään viisi.
 Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä. Tämän tyyppisiä ryhmiä on kaksi erilaista:
 Klassiset Lien ryhmät eli yksinkertaiset ryhmät, jotka liittyvät projektiiviseen spesiaaliseen lineaariseen ryhmään, unitaariseen ryhmään, symplektiseen tai ortogonaaliseen äärellisen kunnan muunnoksiin.
 Chevalleyn ja Steinbergin ryhmät, joita kutsutaan myös nimillä poikkeukselliset ja kieroutuneet Lien tyyppiset ryhmät. Näihin kuuluu myös Titsin ryhmä.
 26 sporadista yksinkertaista ryhmää, jotka ovat (tai tarkoittaa, että samalla ryhmällä on vaihtoehtoisia merkintätapoja):
Mathieun ryhmät M11, M12, M22, M23, M24
 Jankon ryhmät J1, J2 tai HJ, J3 tai HJM, J4
 Conwayn ryhmät Co1 tai F2−, Co2, Co3
 Fischerin ryhmät Fi22, Fi23, Fi24′ tai F3+
 Higmanin–Simsin ryhmä HS
 McLaughlinin ryhmä McL
 Heldin ryhmä He tai F7+ tai F7
 Rudvalisin ryhmä Ru
 Suzukin sporadinen ryhmä Suz tai F3−
 O'Nanin ryhmä O'N
 Haradan–Nortonin ryhmä HN tai F5+ tai F5
 Lyonsin ryhmä Ly
 Thompsonin ryhmä Th tai F3|3 tai F3
 Vauva-monsteri ryhmä B tai F2+ tai F2
 Fischerin–Griessin monsteriryhmä M tai F1

Luokittelulauseella on sovelluksia monilla matematiikan osa-alueilla, sillä äärellisten ryhmien rakenne ja niiden toiminta muiden matemaattisten objektien kanssa voidaan toisinaan palauttaa äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä koskevaksi. Luokittelulauseen ansiosta kysymyksiin voidaan vastata tutkimalla yksinkertaisten ja sporadisten ryhmien joukkoa.

Vuonna 1983 Daniel Gorenstein ilmoitti, että äärelliset yksinkertaiset ryhmät on luokiteltu, mutta tämä johtui siitä, että hän oli saanut väärää tietoa kvasiohuiden ryhmien luokittelusta. Nämä ryhmät onnistuttiin luokittelemaan vuonna 2004, kun Aschbacher ja Smith julkaisivat 1221-sivuisen todistuksenAschbacher M., Smith S. D. The Classification of Quasithin Groups: II. Main Theorems: The Classification of Simple QTKE-groups (2004) kyseisille ryhmille.

Luokittelulauseen yleiskuva
Gorenstein kirjoitti kaksi nidettäGorenstein, D. (1982), Finite simple groups, University Series in Mathematics, New York: Plenum Publishing Corp., , MR 698782Gorenstein, D. (1983), The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type, The University Series in Mathematics, Plenum Press, , MR 746470, joissa on hahmoteltu niiden ryhmien luokittelu, joiden karakteristika on pariton tai rankki on pieni. Michael Aschbacher, Richard Lyons ja Stephen D. Smith et al.Aschbacher, Michael; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type, Mathematical Surveys and Monographs 172,  kirjoittivat kolmannen niteen, jossa on käsitelty jäljelle jäävä karakteristikan kaksi tapaus. Todistus voidaan jakaa useaan pääosaan seuraavasti:

Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni
Koska "suurin osa" äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä on matriisiryhmiä äärellisten kuntien suhteen, aikainen tulos, jotka koettivat hahmotella äärellisten ryhmien luokitteluongelman todistusta oli dikotomialause. Sen mukaan yksinkertainen ryhmä on joko komponenttityyppinen tai karakteristikan kaksi tyyppinen tai sen 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi. Jos 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi, niin ryhmä muistuttaa ryhmää paritonta kertalukua olevan kunnan suhteen ja karakteristikan kaksi tyyppinen ryhmä muistuttaa ryhmää karakteristikaa kaksi olevan kunnan suhteen.

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat useimmiten Lien tyyppisiä ryhmiä paritonta karakteristikaa olevan kunnan suhteen. Tällainen ryhmä voi olla myös alternoiva (viisi tapausta), karakteristikan kaksi tyyppinen (seitsemän tapausta) tai sporadinen ryhmä (yhdeksän tapausta).

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat:
Ryhmät, joiden 2-rankki on 0. Toisin sanoen ryhmät, joiden kertaluku on pariton. Tämä ovat ratkeavia Feitin–Thompsonin lauseen nojalla.
Ryhmät, joiden 2-rankki on 1. Näiden Sylowin 2-aliryhmät ovat joko syklisiä tai yleistettyjä kvaternioita. Syklinen tapaus on helppo käsitellä muunnoskuvauksen avulla ja kvaternioiden tapauksessa voidaan käyttää Brauerin–Suzukin lausetta, josta seuraa, että ei ole olemassa yksinkertaista ryhmää, jonka 2-rankki on yksi.
Ryhmät, joiden 2-rankki on 2. Alperin osoitti, että Sylowin aliryhmän on oltava dihedraalinen, kvasihedraalinen, köynnöstulo tai ryhmän U3(4) Sylowin 2-aliryhmä.
Ensimmäinen tapaus seuraa Gorensteinin–Walterin lauseesta, jonka avulla saadaan, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia ryhmän L2(q) kanssa jollakin parittomalla luvulla q tai A7. Toinen ja kolmas tapaus seuraa Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lauseesta, josta seuraa, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia joko L3(q):n, U3(q):n tai M11:n kanssa jollakin parittomalla luvulla q.
Ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan 4. Nämä ryhmät voidaan luokitella Gorensteinin–Haradan teoreeman avulla.
Pienen 2-rankin omaavien ryhmien luokittelussa käytetään paljon tavallista ja modulaarista karakterien teoriaa eikä näitä teorioita käytetä melkein missään muualla luokittelussa. Erityisesti tämä korostuu tapauksissa, jossa 2-rankki on korkeintaan kaksi.

Kaikki ryhmät, joiden 2-rankki ei ole pieni, voidaan jakaa kahteen tapaukseen: komponenttityyppiset ryhmä ja karakteristikaa kaksi tyyppiset ryhmät. Tämä seuraa siitä, että jos ryhmällä on sektionaalinen 2-rankki vähintään viisi, on MacWilliams osoittanut, että tällaisen ryhmän 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, jolloin balanssilauseen mukaan kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden Sylowin 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, ovat yksinkertaisia. Ryhmille, joiden 2-rankki on pieni, todistus ei päde koska esimerkiksi signalisoivan funktorin lause toimii vain niille ryhmille, joiden elementaariset Abelin aliryhmät ovat vähintään rankkia kolme.

Komponenttityyppiset ryhmät
Ryhmän sanotaan olevan komponenttityyppinen, jos jollakin involuution keskittäjällä C, ryhmällä C/O(C) on komponentti (missä O(C) on C:n ydin, paritonta kertalukua oleva maksimaalinen normaali aliryhmä). Komponenttityyppisiin äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin sisältyy useimmat Lien tyyppiset paritonta karakteristikaa olevat Chevalleyn ryhmät, useimmat alternoivat ryhmät ja monet sporadiset yksinkertaiset ryhmät.http://math.stackexchange.com/questions/495528/are-groups-of-component-type-always-of-lie-type-alternating-or-sporadic/495587?noredirect=1#495587
Tämän tapauksen suurin askel on eliminoida involuution ytimen tukos. Tämä voidaan tehdä niin sanotun B-teoreeman avulla, jonka mukaan jokainen C/O(C):n komponentti on C:n komponentin kuva.

Ideana on, että näillä ryhmillä on involuution keskittäjänä komponentti, joka on pienempi kvasiyksinkertainen ryhmä, joka voidaan olettaa tunnetuksi induktion avulla. Siten luokitellakseen nämä ryhmät otetaan kaikki keskustamaiset laajennukset jokaisesta tunnetusta äärellisestä yksinkertaisesta ryhmästä ja etsitään kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden involuution keskittäjä on komponenttina. Tämä antaa suuren määrän eri tapauksia tarkastettavaksi. Ei ole pelkästään 26 sporadista ryhmää ja 16 perhettä Lien tyyppisiä ja alternoivia ryhmiä, vaan myös suuri joukko ryhmiä, joiden rankki on pieni tai jotka käyttäytyvät eri tavalla tarkasteltuna pienten kuntien suhteen. Nämä on käsiteltävä erikseen. Lisäksi Lien tyyppisten ryhmien tarkastelu parittoman ja parillisen karakteristikan tapauksessa on aika erilaista.

Komponenttityyppisen ryhmän luokittelua kutsutaan myös parittomaksi tapaukseksi. Tämä perustui Aschbacherin mielikuvaan standardimuotoa olevasta kvasiyksinkertaisesta komponentista L, missä ryhmän G keskittäjällä on kertalukua kaksi oleva alkio t. Aschbacher ja muut tutkijat käsittelivät erilaisia mahdollisia komponentteja L. Parillinen eli karakteristikan 2-tyyppinen tapauksessa käsiteltiin analogisia menetelmiä, missä t korvattiin paritonta alkulukukertalukua p olevalla alkiolla. Tässä alkuperäinen "pieni" tapaus vastasi kvasiohuita ryhmiä G, nimittäin tarvittavien p-aliryhmien rankki on korkeintaan kaksi. Tämä tapaus on hyvin monimutkainen ja sen käsitteli pitkässä artikkelissaan Aschbacher ja Smith.

Kvasiohuet ryhmät
Thompson esittely ryhmän  leveyden mitalle suureen  joka on maksimaalinen rankki paritonta kertalukua olevan ryhmän  Abelin aliryhmälle, joka normalisoi :n epätriviaalin 2-aliryhmän. Nyt  on kvasiohut, jos http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01071-2/S0273-0979-05-01071-2.pdf The classification of quasithin groups I, II, by Michael Aschbacher and Stephen D. Smith, Mathematical Surveys and Monographs, vols. 111–112, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, 1221 pp., US$228.00,  (Vol. 111), 0-8218-3411-8 (Vol. 112) arvostelu

Aschbacherin ja Smithin mukaan (2004b, teoreema 0.1.1), äärellinen yksinkertainen parillista karakteristikaa oleva kvasiohut ryhmä on

 Lien tyyppinen karakteristikaa kaksi ja rankkia 1 tai 2 oleva, pois lukien tapaus .
 PSL4(2), PSL5(2), Sp6(2)
 Alternoiva ryhmä, jossa on 5, 6, 8 tai 9 alkiota.
PSL2(p) kun p on Fermat'n tai Mersennen alkuluku, 
 Mathieun ryhmä M11, M12, M22, M23, M24, Jankon ryhmä J2, J3, J4, Higmanin–Simsin ryhmä, Heldin ryhmä ja Rudvalisin ryhmä.

Jos ehto "parillinen karakteristika" heikennetään muotoon "parillistyyppinen" (Gorensteinin–Lyonsin–Solomonin tarkistus luokittelusta), niin ainoa uusi kvasiohut ryhmä äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaan on Jankon ryhmä J1.

Ryhmät, joiden karakteristika on tyyppiä 2
Ryhmä on karakteristikan kaksi tyyppinen, jos yleistetty Fittingin aliryhmä F*(Y) jokaiselle 2-lokaalille aliryhmälle Y on 2-ryhmä. Kuten nimestä voi päätellä, nämä ovat suurin piirtein Lien tyyppiset ryhmät yli karakteristikaa kaksi olevien kuntien sekä hankalasti käsiteltäviä toisia ryhmiä, jota ovat alternoivia tai sporadisia tai paritonta karakteristikaa. Näiden luokittelu on jaettu pienten ja suurten rankkien tapauksiin, missä rankilla tarkoitetaan suurinta rankkia parittomalle Abelin aliryhmälle, joka normalisoi epätriviaalin 2-aliryhmä, joka on usein (mutta ei aina) sama kun Cartanin alialgebran rankki kun ryhmä on Lien tyyppinen ryhmä, jonka karakteristika on kaksi.

Rankkia yksi olevat ryhmät ovat ohuita ryhmiä, jotka on luokitellut Aschbacher, ja rankkia kaksi olevat ryhmät ovat pahamaineiset kvasiohuet ryhmät, jotka luokitteli Aschbacher ja Smith. Nämä vastaavat karkeasti Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevassa kunnassa, joiden rankki on yksi tai kaksi.

Ne ryhmät, joiden rankki on vähintään kolme jaetaan edelleen kolmeen luokkaan trikotomialauseen avulla, jonka todisti Aschbacher rankin kolme tapauksessa ja Gorenstein sekä Lyons kun rankki on vähintään neljä.
Kolme luokkaa ovat ryhmän GF(2) tyyppisiä, nämä luokitteli suurimmaksi osaksi Timmesfeld, "standardityyppiset ryhmät" jollakin parittomalla alkuluvulla, nämä luokiteltiin Gilmanin–Griessin lauseen avulla ja useiden muiden työn perusteella, ja uniikin tyyppiset ryhmät, missä Aschbacherin tuloksesta seuraa, että ei ole olemassa tämän tyyppisiä yksinkertaisia ryhmiä.
Yleinen korkeamman rankin tapaus käsittää enimmäkseen Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevien kuntien suhteen, joten rankki on vähintään kolme tai neljä.

Ryhmät, joiden p-aliryhmän rankki on vähintään kolme
Jäljelle jäävissä tapauksissa, missä käsiteltävä p-aliryhmän rankki on vähintään kolme, dikotomialause korvattiin trikotomialauseella. Tämän lauseen todistivat pääosin Gorenstein ja Lyons, mutta siihen osallistui myös Aschbacher. Todistus jakautui kolmeen päähaaraan: standardityyppiseksi kutsuttiin p-komponenttihaaraa, GF(2)-tyyppiseksi kutsuttiin enimmäkseen karakteristikan p-tyyppiseksi ja loppua "epäyhtenäistä" haaraa kutsuttiin yksikäsitteisyystapaukseksi. Standardityyppiset ryhmät luokitteli Gilman ja Griess. Tyyppiä GF(2) olevat ryhmät luokitteli useat matemaatikot, kuten Aschbacher, Timmesfeld ja Smith. Yksikäsitteisyystapauksen ratkaisi Aschbacher osoittamalla, että tätä tapausta ei toteuta yksikään äärellinen yksinkertainen ryhmä.

Yksinkertaisten ryhmien olemassaolo ja yksikäsitteisyys

Pääosa luokittelusta tuottaa karakterisoinnin kullekin yksinkertaiselle ryhmälle. Siten on välttämätöntä tarkastaa, että on olemassa yksinkertainen ryhmä kutakin karakterisointia kohti ja että tällainen ryhmä on yksikäsitteinen. Tästä seuraa suuri joukko erillisiä ongelmia. Esimerkiksi alkuperäiset todistukset olemassaololle ja yksikäsitteisyydelle vaativat noin 200 sivua, ja Thompsonin ja Bombierin tekemä Reen ryhmien tunnistaminen oli yksi vaikeimpia osia luokittelussa. Moni olemassaolotodistus ja jotkut yksikäsitteisyystodistukset sporadisille ryhmille tehtiin alun perin tietokoneella, mutta suurin osa niistä on sittemmin korvattu lyhyemmillä käsin tehdyillä todistuksilla.

Todistuksen historia

Gorensteinin ohjelma
Vuonna 1972 Gorenstein aloitti ohjelmanGorenstein, D. (1979), "The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 1 (1): 43–199, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8, ISSN 0002-9904, MR 513750, jolla saatetaan loppuun äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluongelma, joka sisältää seuraavat 16 kohtaa:
 Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni. Tämä teki suurimmaksi osaksi Gorenstein ja Harada, jotka luokittelivat ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan neljä. Suurimman osan tapauksista, joissa 2-rankki on korkeintaan kaksi, oli jo tehty kun Gorenstein julkaisi ohjelmansa.
 2-tasojen puoliyksinkertaisuus. Ongelmana on todistaa, että yksinkertaisen ryhmän involuution keskittäjän 2-taso on puoliyksinkertainen.
 Parittoman karakteristikan standardimuoto. Jos ryhmällä on involuutio ja 2-komponentti joka on Lien tyyppinen paritonta karakteristikaa oleva ryhmä, on tavoitteena osoittaa, että sillä on involuution keskittäjä "perusmuodossa", eli involuution keskittäjällä on komponentti, joka on Lien tyyppinen parittomalla karakteristikalla ja että sillä on keskittäjä, jonka 2-rankki on yksi.
 Paritonta tyyppiä olevien ryhmien luokittelu. Ongelmana on osoittaa, että jos ryhmällä on involuution keskittäjä "standardimuotoa", niin ryhmä on Lien tyyppinen ja paritonta karakteristikaa. Ongelman ratkaisi Aschbacherin klassinen involuutiolause.
 Kvasi-standardi muoto
 Keskeiset involuutiot
 Alternoivien ryhmien luokittelu
 Jotkut sporadiset ryhmät
 Ohuet ryhmät. Vuonna 1978 Aschbacher luokitteli yksinkertaiset ohuet äärelliset ryhmät eli ne, joiden 2-lokaali p-rankki on enintään 1 parittomille alkuluvuille p.
 Ryhmät, joilla on vahva p-upotettu aliryhmä kun p on pariton.
 Signalizer funktorin metodi parittomille alkuluvuille. Suurin hankaluus on todistaa signalizeri funktorin teoreema ei-ratkeaville signalizer funktoreille. Tämän ratkaisi McBride vuonna 1982.
 Karakteristikaa p tyyppisten ryhmien luokittelu. Tämä ongelma on ryhmillä, joilla on vahva p-upotettu 2-lokaali aliryhmä, kun p on pariton. Ongelman ratkaisi Aschbacher.
 Kvasiohuet ryhmät. Kvasiohut ryhmä on sellainen, että sen 2-lokaaleilla aliryhmillä on p-rankki enintään kaksi kaikilla alkuluvuilla p, ja ongelmana on luokitella yksinkertaiset karakteristikan kaksi tyyppiset ryhmät. Nämä luokitteli Aschbacher ja Smith vuonna 2004.
 Ryhmät, joiden 2-lokaali 3-rankki on pieni. Tämän ratkaisi suurimmaksi osaksi Aschbacherin trikotomialause ryhmille, joilla e(G)=3. Todistuksen suurin muutos oli että 2-lokaali 3-rankki on korvattu 2-lokaalilla p-rankilla parittomille alkuluvuille p.
 3-alkioiden keskittäjät standardissa muodossa. Tämän ongelman ratkaisi suurimmaksi osaksi trikotomialause.
 Karakteristikan 2 tyyppisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu. Tämän ratkaisi Gilmanin–Griessin lause, missä 3-alkiot korvattiin p-alkioilla, missä p on pariton alkuluku.

Todistuksen aikajana
Monet alla olevan listan yksityiskohdat on otettu Solomonin lähteestä vuodelta 2001Solomon, Ronald (2001), "A brief history of the classification of the finite simple groups", American Mathematical Society. Bulletin. New Series 38 (3): 315–352, doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0, ISSN 0002-9904, MR 1824893 – artikkeli voitti Levi L. Conant -palkinnon. Julkaisuvuosi on yleensä todistuksen julkaisuvuosi, joka voi olla useita vuosia myöhemmin kuin ensimmäisenä löydetyn tuloksen ilmoitettu julkaisuvuosi, joten osa tuloksista voi olla väärässä järjestyksessä.

Julkaisuvuosi1832Galois esitti normaalin aliryhmän käsitteen ja löysi yksinkertaiset ryhmät An (n ≥ 5) ja PSL2(Fp) (p ≥ 5).1854Cayley määritteli ryhmän.Cayley (1854) "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation ," Philosophical Magazine, 4th series, 7 (42) : 40–47. Kuitenkin määritelmää on kritisoitu MacTutorissa sivulla The abstract group concept.1861Mathieu kuvaili ensimmäiset kaksi Mathieun ryhmää M11, M12, ensimmäisen sporadisen yksinkertaisen ryhmän ja osoitti ryhmän M24 olemassaolon.Mathieu, Émile (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 6: 241–3231870Jordan listasi joitakin yksinkertaisia ryhmiä: alternoivat ja projektiiviset lineaariset ryhmät ja korosti yksinkertaisten ryhmien tärkeyttä.Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris: Gauthier-Villars1872Sylow todisti nimeään kantavat lauseensa.Sylow, L. (1872), "Théorèmes sur les groupes de substitutions", Math. Ann. (in French) 5 (4): 584–594, doi:10.1007/BF01442913, JFM 04.0056.021873Mathieu esitteli kolme muuta ryhmää: M22, M23, M24.Mathieu, Émile (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (in French) 18: 25–46, JFM 05.0088.011892Otto Hölder todisti, että mielivaltaisen epäkommutatiivisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluku täytyy olla vähintään neljän alkuluvun tulo ja esitti otaksuman äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelusta.Otto Hölder, Die einfachen Gruppen in ersten und zweiten Hundert der Ordnungszahlen, Math. Annalen 40 (1892), 55–88.1893Cole luokitteli yksinkertaiset ryhmät kertalukuun 660 asti.F. N. Cole, Simple Groups as Far as Order 660, American Journal of Mathematics, Vol. 15, No. 4, Oct., 18931896Frobenius ja Burnside alkoivat tutkimaan äärellisten ryhmien karakteriteoriaa.F. G. Frobenius: Gesammelte Abhandlungen I, II, III (J. P. Serre, ed.), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 19681899Burnside luokitteli yksinkertaiset ryhmät siten, että jokaisen involuution keskittäjä on epätriviaali elementaarinen Abelin 2-ryhmä.W. Burnside,
On a class of groups of finite order, Trans. Cambridge Phil. Soc. 18 (1899),.269–276.1901Frobenius todisti, että Frobeniuksen ryhmillä on Frobeniuksen ydin, joten tällaiset ryhmät eivät ole yksinkertaisia.G. Frobenius, "Ueber auflösbare Gruppen IV" Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissenschaft. (1901) pp. 1216–12301901Dickson määritteli ryhmät mielivaltaisessa äärellisessä kunnassa ja poikkeukselliset ryhmät tyyppiä G2 paritonta karakteristikaa olevassa kunnassa.Dickson, Leonard Eugene (1901), "Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field", Transactions of the American Mathematical Society (in English) (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 2 (4): 363–394,1901Dickson esitteli poikkeuksellisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän tyyppiä E6.Dickson, Leonard Eugene (1901), "A class of groups in an arbitrary realm connected with the configuration of the 27 lines on a cubic surface", The quarterly journal of pure and applied mathematics 33: 145–1731904Burnside käytti karakteriteoriaa osoittaakseen Burnsiden lauseen, jonka mukaan jokainen epäkommutatiivisen äärellisen ryhmän kertaluvun tulee olla jaollinen vähintään kolmella eri alkuluvulla.Burnside, On groups of order , Proc. London Math. Soc. (2) 1 (1904), 388–392.1905Dickson esitteli yksinkertaiset ryhmät tyyppiä G2 parillista karakteristikaa olevassa kunnassa.L. E. Dickson, A new system of simple groups, Math. Annalen 60 (1905), 137–150.1911Burnside otaksui, että jokaisen epäkommutatiivisen äärellisen yksinkertaisen ryhmän kertaluku on parillinen.W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1911.1928Hall todisti, että ratkeavalla ryhmällä on olemassa Hallin aliryhmä.P. Hall, A note on soluble groups, J. London Math. Soc. 3 (1928), 98–105.1933Hall alkoi tutkimaan p-ryhmiä.1935Brauer alkoi tutkimaan modulaarisia karaktereja.1936Zassenhaus luokitteli äärelliset terävästi 3-transitiiviset permutaatioryhmät.H. J. Zassenhaus, Kennzeichnung endlicher linearer Gruppen, Abh. Math. Sem. Hamburg 11 (1936), 17–40.H. J. Zassenhaus,Uber endliche Fastkorper, Abh. Math. Sem. Hamburg 11 (1936), 187–220.1938Fitting esitteli Fittingin aliryhmän ja todisti Fittingin lauseen, että ratkeavalla ryhmällä Fittingin aliryhmä sisältää sen keskittäjän.H. Fitting, Beiträge zur Theorie der Gruppen endlicher Ordnung, Jahr. Deutsch. Math. Ver. 48 (1938), 77–1411942Brauer kuvailee modulaarisen karakterin ryhmälle, joka on jaollinen alkuluvun ensimmäisellä muttei korkeammalla potenssilla.R. Brauer,
On groups whose order contains a prime to the first power. I, II, Amer. J. Math. 64 (1942), 401–440. MR 4:1e; MR 4:2a1954Brauer luokitteli yksinkertaiset ryhmät GL2(Fq) involuution keskittäjän mukaan.1955Brauerin–Fowlerin lauseesta seuraa, että annettua involuution keskittäjää kohti olevien äärellisten ryhmien lukumäärä on äärellinen. Siten luokitteluongelmaa voitiin lähestyä involuutioiden keskittäjien avulla.R. Brauer and K. A. Fowler, On groups of even order, Ann. of Math. 62 (1955), 565–583. MR 17:580e1955Chevalley esitteli Chevalleyn ryhmät. Erityisesti hän esitteli poikkeukselliset yksinkertaiset ryhmät tyyppiä F4, E7 ja E8.C. Chevalley,Sur certains groupes simples,T^ohoku Math. J. 7 (1955), 14–66. MR 17:457c1956Hallin–Higmanin lauseP. Hall and G. Higman, The p-length of a p-soluble group and reduction theorem for Burnside's problem, Proc. London Math. Soc. (3)6(1956), 1–42. MR17:344b1957Suzuki osoitti, että kaikki paritonta kertalukua olevat äärelliset yksinkertaiset CA-ryhmät ovat syklisiä.The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order, Proc. Amer.Math. Soc. 8(1957), 686–695. MR 19:248f1958Brauerin–Suzukin–Wallin lause karakterisoi projektiiviset spesiaalit lineeaariset rankkia yksi olevat ryhmät, sekä luokittelee yksinkertaiset CA ryhmät.R. Brauer, M. Suzuki and G. E. Wall, A characterization of the one-dimensional unimodular groups over finite fields, Illinois J. Math. 2 (1958), 718–745. MR21:34871959Steinberg esitteli Steinbergin ryhmät. Näistä löytyi joitakin uusia äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä tyyppiä 3D4 ja 2E6. Jälkimmäisen löysi samanaikaisesti Steinbergistä riippumatta Jacques Tits.R. Steinberg, Variations on a theme of Chevalley, Pacific J. Math. 9 (1959), 875–891. MR22:791959Brauerin–Suzukin lause yleistetyistä kvaternio-Sylow 2-aliryhmistä osoitti, että mikään näistä ei ole yksinkertainen.R. Brauer and M. Suzuki, On finite groups of even order whose 2-Sylow subgroup is a quaternion group, Proc.Natl.Acad.Sci.USA 45 (1959), 1757–1759. MR22:7311960Thompson todisti, että ryhmä, jolla on alkulukukertalukua oleva kiintopistevapaa automorfismi, on nilpotentti.1960Feit, Hall ja Thompson osoittivat, että kaikki äärellisen yksinkertaiset paritonta kertalukua olevat CN-ryhmät ovat syklisiä.W. Feit, M. Hall, Jr. and J. G. Thompson, Finite groups in which the centralizer of any non-identity element is nilpotent, Math.Zeit. 74(1960), 1–17. MR22:56741960Suzuki esitteli Suzukin ryhmät, joiden tyyppi on 2B2.M. Suzuki, A new type of simple groups of finite order, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 46 (1960), 868–870. MR 22:110381961Ree esitteli Ree-ryhmät, joiden tyypit ovat 2F4 ja 2G2.R. Ree,
A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F4),Amer.J. Math.83(1961), 401–420. MR24:A2617R. Ree,
A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (G2),Amer. J. Math.83(1961), 432–462. M1963Feit ja Thompson todistivat parittoman kertaluvun lauseen.Feit, Walter; Thompson, John G. (1963), "Solvability of groups of odd order", Pacific Journal of Mathematics 13: 775–1029, ISSN 0030-8730, MR 01662611964Tits esitteli BN parit Lien tyyppisille ryhmille ja löysi Titsin ryhmän.Tits, Jacques (1964), "Algebraic and abstract simple groups", Annals of Mathematics. Second Series 80: 313–329, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970394, MR 01649681965Gorensteinin–Walterin lause luokitteli ryhmät, joilla on dihedraalinen Sylowin 2-aliryhmä.Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965a), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. I", Journal of Algebra 2 (1): 85–151, doi:10.1016/0021-8693(65)90027-X, ISSN 0021-8693, MR 0177032Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965b), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. II", Journal of Algebra 2 (2): 218–270, doi:10.1016/0021-8693(65)90019-0, ISSN 0021-8693, MR 0177032Gorenstein, D.; Walter, John H. (1965c), "The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups. III", Journal of Algebra 2 (3): 354–393, doi:10.1016/0021-8693(65)90015-3, ISSN 0021-8693, MR 01902201965Janko esitteli Jankon ryhmän J1, joka oli ensimmäinen sporadinen ryhmä miltei vuosisataan.Zvonimir Janko, A new finite simple group with abelian Sylow subgroups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 53 (1965) 657-658.Zvonimir Janko, A new finite simple group with abelian Sylow subgroups and its characterization, Journal of Algebra 3: 147-186, (1966) doi:10.1016/0021-8693(66)90010-X1966Glauberman todisti Z*-lauseen.Glauberman, George (1966), "Central elements in core-free groups", Journal of Algebra 4: 403–420, doi:10.1016/0021-8693(66)90030-5, ISSN 0021-8693, MR 0202822, Zbl 0145.028021968Glauberman todisti ZJ-lauseen.Glauberman, George (1968), "A characteristic subgroup of a p-stable group", Canadian Journal of Mathematics 20: 1101–1135, ISSN 0008-414X, MR02308071968Higman ja Sims esittelivät Higmanin–Simsin ryhmän.Higman, Donald G.; Sims, Charles C. (1968), "A simple group of order 44,352,000", Mathematische Zeitschrift 105 (2): 110–113, doi:10.1007/BF01110435, ISSN 0025-5874, MR 02272691968Conway esitteli Conwayn ryhmät.Conway, John Horton (1968), "A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 61 (2): 398–400, doi:10.1073/pnas.61.2.398, MR 0237634Conway, John Horton (1969), "A group of order 8,315,553,613,086,720,000", The Bulletin of the London Mathematical Society 1: 79–88, ISSN 0024-6093, MR 02482161969Walterin lause luokitteli äärelliset ryhmät, joilla Sylowin 2-aliryhmät ovat Abelin ryhmiä.Walter, John H. (1967), "Finite groups with abelian Sylow 2-subgroups of order 8", Inventiones Mathematicae 2: 332–376, doi:10.1007/BF01428899, ISSN 0020-9910, MR 0218445Walter, John H. (1969), "The characterization of finite groups with abelian Sylow 2-subgroups.", Annals of Mathematics. Second Series 89: 405–514, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970648, MR 02495041969Tänä vuonna esiteltiin myös Suzukin sporadinen ryhmäSuzuki, Michio (1969), "A simple group of order 448,345,497,600", in Brauer, R.; Sah, Chih-han, Theory of Finite Groups (Symposium, Harvard Univ., Cambridge, Mass., 1968), Benjamin, New York, pp. 113–119, MR 0241527, Janko-ryhmä J2Janko, Zvonimir (1969), "Some new simple groups of finite order. I", Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68), Vol. 1, Boston, MA: Academic Press, pp. 25–64, MR0244371, Janko-ryhmä J3Z. Janko, Some new finite simple groups of finite order, 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1967/68), Vol. 1 pp. 25-64 Academic Press, London, and in The theory of finite groups (Editied by Brauer and Sah) p. 63-64, Benjamin, 1969., McLaughlinin ryhmäMcLaughlin, Jack (1969), "A simple group of order 898,128,000", in Brauer, R.; Sah, Chih-han, Theory of Finite Groups (Symposium, Harvard Univ., Cambridge, Mass., 1968), Benjamin, New York, pp. 109–111, MR 0242941 ja Held-ryhmäD. Held Some simple groups related to M24, in Richard Brauer and Chih-Han Shah, "Theory of Finite Groups: A Symposium", W. A. Benjamin (1969).1969Gorenstein esitteli signalizer-funktorit, jotka perustuivat Thompsonin ideoihin.Gorenstein, D. (1969), "On the centralizers of involutions in finite groups", Journal of Algebra 11: 243–277, doi:10.1016/0021-8693(69)90056-8, ISSN 0021-8693, MR 02401881970Bender esitteli yleistetyn Fitting aliryhmän.1970Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lause luokitteli ryhmät, joilla on kvasi-dihedraaliset tai köynnösmäiset Sylow 2-aliryhmät. Siten kaikki yksinkertaiset ryhmät, joilla 2-rankki on enintään kaksi, oli luokiteltu.1971Fischer esitteli kolme Fischerin ryhmää.Fischer, Bernd (1971), "Finite groups generated by 3-transpositions. I", Inventiones Mathematicae 13 (3): 232–246, doi:10.1007/BF01404633, ISSN 0020-9910, MR 0294487 This is the first part of Fischer's preprint on the construction of his groups. The remainder of the paper is unpublished (as of 2010).Fischer, Bernd (1976), Finite Groups Generated by 3-transpositions, Preprint, Mathematics Institute, University of Warwick1971Thompson luokitteli kvadraattiset parit.Thompson, John G. (1971), "Quadratic pairs", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) 1, Gauthier-Villars, pp. 375–376, MR 04300431971Bender luokitteli ryhmät, joilla on vahvasti upotettu aliryhmä.Bender, Helmut (1971), "Transitive Gruppen gerader Ordnung, in denen jede Involution genau einen Punkt festläβt", Journal of Algebra 17: 527–554, doi:10.1016/0021-8693(71)90008-1, ISSN 0021-8693, MR 02881721972Gorenstein esitteli 16-osaisen ohjelma äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluun. Lopullinen luokittelu noudattaa tätä ohjelmaa hyvinkin tarkasti.1972Lyons esitteli Lyonsin ryhmän.Richard Lyons (1972,5) "Evidence for a new finite simple group", Journal of Algebra 20:540–569 and 34:188–189.1973Rudvalis esitteli Rudvalisin ryhmänRudvalis, A. (1973), "A new simple group of order 214 33 53 7 13 29", Notices of the American Mathematical Society (20): A–95.1973Fischer löysi vauva-monsteriryhmän (julkaisematon), mitä Fischer ja Griess käyttivät monsteriryhmänGriess, Robert L. (1976), "The structure of the monster simple group", in Scott, W. Richard; Gross, Fletcher, Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press, pp. 113–118, , MR 0399248 löytämisessä, joka johti edelleen Thompsonin löytämään Thompsonin sporadiseen ryhmäänThompson, John G. (1976), "A conjugacy theorem for E8", Journal of Algebra 38 (2): 525–530, doi:10.1016/0021-8693(76)90235-0, ISSN 0021-8693, MR 0399193 ja Nortonin löytämään Haradan–Nortonin ryhmäänS. P. Norton, F and other simple groups, PhD Thesis, Cambridge 1975.. Tämän löysi myös Harada erilaisella menetelmälläHarada, Koichiro (1976), "On the simple group F of order 214 · 36 · 56 · 7 · 11 · 19", Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press, pp. 119–276, MR 0401904.1974Thompson luokitteli N-ryhmätThompson, John G. (1968), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable", Bulletin of the American Mathematical Society 74: 383–437, doi:10.1090/S0002-9904-1968-11953-6, ISSN 0002-9904, MR 0230809Thompson, John G. (1970), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. II", Pacific Journal of Mathematics 33: 451–536, ISSN 0030-8730, MR 0276325Thompson, John G. (1971), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. III", Pacific Journal of Mathematics 39: 483–534, ISSN 0030-8730, MR 0313378Thompson, John G. (1973), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. IV", Pacific Journal of Mathematics 48: 511–592, ISSN 0030-8730, MR 0369512Thompson, John G. (1974), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. V", Pacific Journal of Mathematics 50: 215–297, ISSN 0030-8730, MR 0369512Thompson, John G. (1974), "Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. VI", Pacific Journal of Mathematics 51: 573–630, ISSN 0030-8730, MR 0369512, eli ryhmät, joiden kaikki lokaalit alirenkaat ovat ratkeavia.1974Gorensteinin–Haradan teoreemaGorenstein, D.; Harada, Koichiro (1973), "Finite groups of sectional 2-rank at most 4", in Gagen, Terrence; Hale, Mark P. Jr.; Shult, Ernest E., Finite groups '72. Proceedings of the Gainesville Conference on Finite Groups, March 23-24, 1972, North-Holland Math. Studies 7, Amsterdam: North-Holland, pp. 57–67, , MR0352243Gorenstein, D.; Harada, Koichiro (1974), Finite groups whose 2-subgroups are generated by at most 4 elements, Memoirs of the American Mathematical Society 147, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR0367048 luokittelee äärelliset ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan 4. Tulos jakaa jäljelle jäävät luokittelemattomat äärelliset yksinkertaiset ryhmät komponettityyppisiin ja karakteristikaa 2 tyyppisiin.1974Tits osoitti, että ryhmät, joilla on BN-pari vähintään rankkia 3, ovat Lien tyyppisiä.Tits, Jacques (1974). Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 386 386. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-38349-9. . MR 04700991974Aschbacher luokitteli ryhmät, joilla on aito 2-viritetty ydin.Aschbacher, Michael (1974), "Finite groups with a proper 2-generated core", Transactions of the American Mathematical Society 197: 87–112, ISSN 0002-9947, JSTOR 1996929, MR 03644271975Gorenstein ja Walter todistivat L-balanssilauseen.Gorenstein, D.; Walter, John H. (1975), "Balance and generation in finite groups", Journal of Algebra 33: 224–287, doi:10.1016/0021-8693(75)90123-4, ISSN 0021-8693, MR 03575831976Glauberman todisti ratkeavan signalizer funktorilauseen.Glauberman, George (1976), "On solvable signalizer functors in finite groups", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 33 (1): 1–27, doi:10.1112/plms/s3-33.1.1, ISSN 0024-6115, MR 04172841976Aschbacher todisti komponenttilauseenAschbacher, Michael (1975), "On finite groups of component type", Illinois Journal of Mathematics 19: 87–115, ISSN 0019-2082, MR 0376843Aschbacher, Michael (1976), "Tightly embedded subgroups of finite groups", Journal of Algebra 42 (1): 85–101, doi:10.1016/0021-8693(76)90028-4, ISSN 0021-8693, MR 0422400, joka osoitti, että paritonta tyyppiä olevilla ryhmillä, jotka toteuttava tiettyjä ehtoja, on standardimuotoa oleva komponentti. Ne ryhmät, joilla on standardimuotoa oleva komponentti, oltiin luokiteltu monen eri artikkelin ja matemaatikon yhteistuloksena.1976O'Nan esitteli O'Nanin ryhmän.O'Nan, Michael E. (1976), "Some evidence for the existence of a new simple group", Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 32 (3): 421–479, doi:10.1112/plms/s3-32.3.421, ISSN 0024-6115, MR 04019051976Janko esitteli Janko-ryhmän J4. Tämä oli viimeinen sporadinen ryhmä, joka oli vielä löytämättä.Z. Janko, A new finite simple group of order 86,775,570,046,077,562,880 which possesses M24 and the full covering group of M22 as subgroups, J. Algebra 42 (1976) 564-596.doi:10.1016/0021-8693(76)90115-0 (Artikkelin otsikko on väärin, sillä ryhmän M22 täysi peiteryhmä on suurempi: keskusta on kertalukua 12, ei 6.)1977Aschbacher karakterisoi Lien tyyppiset ryhmät, joiden karakteristika on pariton. Tulos on nimeltään klassinen involuutiolauseAschbacher, Michael (1977b), "A characterization of Chevalley groups over fields of odd order II", Annals of Mathematics. Second Series 106 (3): 399–468, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971063, MR 0498828Aschbacher, Michael (1980), "Correction to: A characterization of Chevalley groups over fields of odd order. I, II", Annals of Mathematics. Second Series 111 (2): 411–414, doi:10.2307/1971101, ISSN 0003-486X, MR 569077. Tämän lauseen jälkeen, joka tavallaan käsittelee "useimmat" yksinkertaiset ryhmät, uskottiin yleisesti, että äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelun loppu olisi näköpiirissä.1978Timmesfeld todisti O2 ekstraerikoisen lauseenTimmesfeld, Franz (1978), "Finite simple groups in which the generalized Fitting group of the centralizer of some involution is extraspecial", Annals of Mathematics. Second Series 107 (2): 297–369, doi:10.2307/1971146, ISSN 0003-486X, MR 486255Correction: Timmesfeld, Franz (1979), "Correction to Finite simple groups in which the generalized Fitting group of the centralizer of some involution is extraspecial", Annals of Mathematics. Second Series 109 (2): 413–414, joka jakoi GF(2)-tyyppisten ryhmien luokittelun useampaan pienempään luokitteluongelmaan.1978Aschbacher luokitteli ohuet äärelliset ryhmätAschbacher, Michael (1976), "Thin finite simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society 82 (3): 484, doi:10.1090/S0002-9904-1976-14063-3, ISSN 0002-9904, MR 0396735
Aschbacher, Michael (1978), "Thin finite simple groups", Journal of Algebra 54 (1): 50–152, doi:10.1016/0021-8693(78)90022-4, ISSN 0021-8693, MR 511458, joista suurin osa on rankkia 1 olevia Lien tyyppisiä parillista karakteristikaa olevan kunnan suhteen.1981Bombieri käytti eliminointiteoriaa viimeistelläkseen Thompsonin työn Reen ryhmien luokittelussaBombieri, Enrico (1980), "Thompson's problem (σ²=3)", Inventiones Mathematicae 58 (1): 77–100, doi:10.1007/BF01402275, ISSN 0020-9910, MR570875. Näiden luokittelu oli luokitteluongelman yksi vaikeimmista tapauksista.1982McBride todisti signalizer funktorin lauseen kaikille äärellisille ryhmille.McBride, Patrick Paschal (1982a), "Near solvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra 78 (1): 181–214, doi:10.1016/0021-8693(82)90107-7, ISSN 0021-8693, MR 677717McBride, Patrick Paschal (1982b), "Nonsolvable signalizer functors on finite groups", Journal of Algebra 78 (1): 215–238, doi:10.1016/0021-8693(82)90107-7, ISSN 0021-8693, MR 6777171982Griess konstruoi monsteriryhmän käsin.R. L. Griess, Jr, The Friendly Giant, Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1–1021983Gilmanin–Griessin lauseGilman, Robert H.; Griess, Robert L. (1983), "Finite groups with standard components of Lie type over fields of characteristic two", Journal of Algebra 80 (2): 383–516, doi:10.1016/0021-8693(83)90007-8, ISSN 0021-8693, MR 691810 luokitteli karakteristikan kaksi tyyppiset ryhmät ja ne, joiden rankki on vähintään neljä ja joilla on standardikomponentit. Tämä on yksi kolmesta trikotomialauseen tapauksesta.1983Aschbacher todisti, että mikään äärellinen yksinkertainen ryhmä ei toteuta yksikäsitteisyystapauksen hypoteesejaAschbacher, Michael (1983a), "The uniqueness case for finite groups. I", Annals of Mathematics. Second Series 117 (2): 383–454, doi:10.2307/2007081, ISSN 0003-486X, MR 690850Aschbacher, Michael (1983b), "The uniqueness case for finite groups. II", Annals of Mathematics. Second Series 117 (3): 455–551, ISSN 0003-486X, JSTOR 2007034, MR 690850. Tämä on yksi kolmesta tapauksesta, jotka trikotomialause luokittelee karakteristikan kaksi tyypeille.1983Gorenstein ja Lyons todistivat trikotomialauseen ryhmille, joiden karakteristika on kakkostyyppiä ja rankki vähintään neljä. Saman aikaisesti Aschbacher todisti saman rankin kolme tapauksessaAschbacher, Michael (1981), "Finite groups of rank 3. I", Inventiones Mathematicae 63 (3): 357–402, doi:10.1007/BF01389061, ISSN 0020-9910, MR 620676Aschbacher, Michael (1983), "Finite groups of rank 3. II", Inventiones Mathematicae 71 (1): 51–163, doi:10.1007/BF01393339, ISSN 0020-9910, MR 688262Gorenstein, D.; Lyons, Richard (1983), "The local structure of finite groups of characteristic 2 type", Memoirs of the American Mathematical Society 42 (276): vii+731, , ISSN 0065-9266, MR 690900. Näin nämä ryhmät jakautuvat kolmeen osatodistukseen. Yksikäsitteisyyteen, GF(2) tyyppisiin ryhmiin ja ryhmiin, joilla on standardikomponentti.1983Gorenstein julkisti, että luokitteluongelma on valmis. Tämä on kuitenkin ennenaikaista, sillä kvasiohuiden ryhmien tapauksesta löytyi myöhemmin aukko.1994Gorenstein, Lyons ja Solomon aloittivat puhtaaksikirjoitetun luokittelun julkaisemisia.2004Aschbacher ja Smith julkaisivat heidän työnsä kvasiohuista ryhmistäAschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004), The classification of quasithin groups. I Structure of Strongly Quasithin K-groups, Mathematical Surveys and Monographs 111, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 2097623Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004b), The classification of quasithin groups. II Main theorems: the classification of simple QTKE-groups., Mathematical Surveys and Monographs 112, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 2097624, joista useimmat ovat Lien tyyppisiä rankiltaan enintään kaksi yli parillista karakteristikaa olevan kunnan. Tämä täydentää tuohon aikaan viimeisen tiedossa olevan aukon luokitteluongelmassa.2008Harada ja Solomon täydensivät luokitteluongelmaan jääneen pienen aukonHarada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008), "Finite groups having a standard component L of type M₁₂ or M₂₂", Journal of Algebra 319 (2): 621–628, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.09.034, ISSN 0021-8693, MR2381799. He kuvailivat ryhmän, jolla on standardikomponentti joka on Mathieun ryhmä 22:n peite. Tämä tapaus oli jäänyt vahingossa pois luokitteluongelman todistuksessa, koska M22:n Schurin kerroin oli alun perin laskettu väärin.2012Georges Gonthier esitti kollegojensa kanssa tietokoneella tarkistetun todistuksen Feitin–Thompsonin lauseelle. Heidän käyttämä tietokoneohjelma on nimeltään Coq.

 Toisen sukupolven luokittelu 
Lauseen todistusta sellaisena kuin se oli vuonna 1985 voidaan pitää ensimmäisen sukupolven todistuksena. Koska kyseinen todistus on äärimmäisen pitkä, matemaatikot ovat käyttäneen paljon aikaa löytääkseen yksinkertaisemman, niin sanotun toisen sukupolven todistuksen. Tämän yrityksen laittoi liikkeelle Daniel Gorenstein.

Vuoteen 2005 mennessä on julkaistu kuusi nidettä toisen sukupolven todistuksesta.Gorenstein, D. & Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), The classification of the finite simple groups, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 1303592Gorenstein, D. & Lyons, Richard & Solomon, Ronald (1996), The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 1358135Gorenstein, D. & Lyons, Richard & Solomon, Ronald (1998), The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 1490581Gorenstein, D. & Lyons, Richard & Solomon, Ronald (1999), The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 1675976Gorenstein, D. & Lyons, Richard & Solomon, Ronald (2002), The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 1923000Gorenstein, D. & Lyons, Richard & Solomon, Ronald (2005), The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV, Mathematical Surveys and Monographs 40, Providence, R.I.: American Mathematical Society, , MR 2104668 On arvioitu, että toisen sukupolven todistuksesta tulisi noin 5000 sivua pitkä. Aschbacher ja Smith kirjoittivat kaksi nidettä kvasiohuista tapauksista siten, että nuo niteet voivat olla osana toisen sukupolven todistusta.

Gorenstein ja hänen työtoverinsa ovat antaneet useita syitä sille, miksi yksinkertaisempi todistus on mahdollinen.

 Tärkein tekijä on se, että ongelman lopullinen muotoilu on tiedossa. Yksinkertaisempia tekniikoita voidaan käyttää saavuttamaan tutut tulokset.

 Koska lopputulos tiedetään, alkuperäisestä todistuksesta voidaan karsia pois turhat osuudet ja päällekkäin menevät osat.

 Äärellisten ryhmien tutkijoilla on käytössä enemmän tekniikoita todistuksen löytämiseen.

AscbacherAschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups". Notices of the American Mathematical Society. on kutsunut matemaatikoiden Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth ja muutamien muiden tekemää luokittelua kolmannen sukupolven todistukseksi. Yksi tämän projektin tarkoituksista on käsitellä kaikki karakteristikan kaksi tapaukset amalgaami-menetelmällä.

Miksi todistus on niin pitkä?

Gorenstein on keskustellut syistä, miksi ei ehkä ole olemassa lyhyttä tapaa todistaa kompaktien Lien ryhmien luokittelua.

Luonnollisin syy on se, että yksinkertaisten ryhmien lista on melko monimutkainen.
Atiyah ja muut ovat ehdottaneet, että luokittelu voisi olla helpommin saavutettavissa konstruoimalla geometrisiä objekteja joissa ryhmät toimivat ja sitten luokitella nämä rakenteet. Ongelma on siinä, että toistaiseksi kukaan ei ole löytänyt selkeää uniformaalia kuvausta näille yksinkertaisille ryhmille samaan tapaan kuin on olemassa parametrisointi kompakteille Lien ryhmille Dynkinin kaavion avulla.
Toinen ehdotettu tapa todistuksen yksinkertaistamiseen on käyttää esitysteoriaa.
Ongelma tässä on se, että esitysteoria näyttää kontrolloivan hyvin tiukasti ryhmän aliryhmiä toimiakseen kunnolla.
Pienten rankkien ryhmille on olemassa tällainen kontrolli ja esitysteoria toimiikin hyvin, mutta isommille rankeille tässä ei ole onnistuttu.

Katso myös

O'Nanin–Scottin lause

  Lähteet  

Aiheesta muualla
 ATLAS of Finite Group Representations. Tietokanta äärellisten yksinkertaisten ryhmien ominaisuuksista.
 Elwes, Richard: An enormous theorem: the classification of finite simple groups, Plus Magazine, Issue 41, December 2006. Maallikoille suunnattu artikkeli.
 Madore, David (2003): Orders of nonabelian simple groups.  Sisältää listan kaikista epäkommutatiivisista yksinkertaisista ryhmistä kertalukuun 1010 asti.

Luokka:Ryhmäteoria
Luokka:Matemaattiset teoreemat
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit