Keskinen kolmio

Keskinen kolmio muodostetaan geometriassa yhdistämällä kolmion sivujen keskipisteet janoilla toisiinsa.

Kolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, kutsutaan sisäkolmioksi. Keskinen kolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Kolmiota, josta keskinen kolmio muodostettiin, on keskisen kolmion antikomplementtinen kolmio.

 Ominaisuudet 
Merkitään kolmion  kärjen vastaisia sivuja  ja sivujen keskipisteitä , jolloin keskinen kolmio voidaan merkitä . Keskisen kolmion sivuja voidaan merkitä , jolloin esimerkiksi sivuja , ja muutkin vastaavasti, ovat toistensa vastinsivuja.

 Yhdenmuotoisuus 
Keskinen kolmio  on yhdenmuotoinen  kanssa.
Voidaan nimittäin osittaa, että kaikki kolmion  sivut ovat yhdensuuntaisia jonkin kolmion  sivujen kanssa. Yhdensuuntaisuus kulkee vastinsivupareina, esimerkiksi . Yhdensuuntaisuudesta johtuen kaikki keskisen kolmion vastinkulmat ovat samat kolmion  kulmien kanssa.

Koska keskinen kolmio määriteltiin sivujen keskipisteiden avulla, ovat sen sivut puolet kolmion  sivuista

Keskisen kolmion pinta-ala  on


Kolmion  ja kärjen  väliin jäävä kolmio on yhdenmuotoinen ja samankokoinen, eli yhtenevä keskisen kolmion kanssa. Sama pätee muihin vastaaviin kolmioihin ja tämä voidaan tiivistää sanomalla, että kolmio  voidaan jakaa neljään, keskenään yhtenevään mutta kolmion kanssa, yhdenmuotoiseen kolmioon, joilla siis on sama pinta-ala. Nelikulmiot, jotka muodostuvat keskisen kolmion kärjistä ja yhdestä kolmion  kärjestä, ovat suunnikkaita.

 Merkilliset pisteet ja kolmioteoria 
Keskinen kolmio syntyi yhdistämällä kolmion  sivujen keskipisteet toisiinsa. Keskipisteisiin vedetyt keskijanat leikkaavat toisensa painopisteessä (Kimberlingin tunnus  ). Keskisen kolmion sivujen keskipisteet sijaitsevat näillä keskijanoilla, joten keskisen kolmion keskijanat yhtyvät kolmion  keskijanoihin. Tällöin myös keskisen kolmion painopiste on kolmion  painopisteen kanssa sama. Itse asiassa, rekursiivisesti määritellyt kaikkien keskisen kolmioiden keskisten kolmioiden painopisteet ovat samassa paikka.

Kolmion  ulkoympyrän keskipiste on sama kuin keskisen kolmion kolmion keskinormaalien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus  ). Tämä johtuu siitä, että keskisen kolmion korkeusjanat ovat kolmion keskinormaaleilla, joiden leikkauspisteet ovat siksi samat. Keskisen kolmion ulkoympyrä on taas kolmion  yhdeksän pisteen ympyrä ja sisäympyrä on sen Spiekerin ympyrä, jonka keskipiste on Spiekerin piste (Kimberlingin tunnus  ).

 Trilineaarit 
Keskisen kolmion kärkien trilineaarit eli trilineaariset koordinaatit ovat
,  ja  
Trilineaarinen matriisi on siksi


 Lähteet 


 Viitteet 

Luokka:Kolmion geometria