Goldbachin heikko konjektuuri

Goldbachin heikko konjektuuri on matematiikan avoin ongelma, jonka mukaan jokainen lukua  suurempi pariton kokonaisluku  on kolmen alkuluvun summa. Otaksuma tunnetaan myös nimillä pariton Goldbachin konjektuuri ja kolmen alkuluvun ongelma.

 Edistyminen 

 1923: Hardy ja Littlewood todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma kaikille riittävän suurille luvuille.G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1–70.  Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561–630, Clarendon Press, Oxford, 1966.

 1937: Vinogradov todisti Siegelin–Walfiszin lauseen avulla otaksuman pätevän kaikille riittävän suurille luvuille ilman yleistettyä Riemannin hypoteesiä.I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179–195. Russian

 1956: Vinogradovin opiskelija K. Borozdkin todisti, että väite pätee kun .

 1997: Deshouillers, Effinger, te Riele ja Zinoviev todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma.J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94–104.

 2002: Liu Ming-Chit ja Wang Tian-Ze onnistuivat todistamaan, että väite on voimassa kun  Raja on vielä liian suuri tietokoneiden läpikäytäväksi, mutta jokainen yksittäinen erikoistapaus on suuruusluokkansa puolesta tarkistettavissa.Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith.,  105, No.2, 133–175 (2002)

 Toukokuuhun 2012 mennessä Goldbachin heikko konjektuuri on todistettu lukuun  asti.H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252

 Vuosina 2012, 2013 ja 2014 H. A. Helfgott lähetti Arxiviin kolme artikkelia, jotka todistivat otaksuman.Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzCH. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748 Todistus perustuu niin sanottuun major- ja minorkaariestimointiin, joka on kehitetty Hardyn–Littlewoodin ympyrämenetelmästä sekä otaksuman laskennalliseen varmistamiseen lukua  pienemmille ja seitsemää suuremmille parittomille luvuille. Tämän laskennallisen osuuden hän teki yhdessä David Plattin kanssaH. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062.

Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana
 Vuonna 1995 Olivier Ramaré osoitti, että jokainen parillinen luku  on korkeintaan kuuden alkuluvun summa. Tästä seuraa, että jokainen pariton luku  on korkeintaan seitsemän alkuluvun summa.Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645–706

 Vuonna 1995 Leszek Kaniecki osoitti, että jokainen pariton kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa, kunhan Riemannin hypoteesi on voimassa. Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374

 2012: Terence Tao todisti, että jokainen pariton positiivinen kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa.Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4

Lähteet

Luokka:Analyyttinen lukuteoria
Luokka:Konjektuurit