Korkeus (geometria)

Korkeus on geometriassa korkeusjanan pituus pisteen ja toisen janan välillä siten, että korkeusjana on kohtisuorassa toista, usein kannaksi kutsuttua, janaa, tai sen jatketta, vastaan. Tällöin sanotaan, että korkeus(jana) on kannan normaali(jana), ja päinvastoin. Janojen kohtaamispistettä kutsutaan kantapisteeksi.

Korkeusjanan monikulmion sivuja suurempi merkitys perustunee pinta-alojen ja tilavuuksien tunnettuihin laskukaavoihin, joissa korkeuden tunteminen on tärkeää. Korkeus on ilmeisesti tärkeä myös siksi, että ihmisen rakentaminen suuntautuu painovoimaa vastaan ja rakenteet ovat pystysuorassa eli kohtisuorassa vaakasuoraa alustaa vastaan.

 Korkeus pinta-ala- ja tilavuuslaskuissa 
Monikulmion pinta-alan määritys voidaan tehdä käyttämällä pelkästään sivujen pituuksia, sekä pituuksia ja kulmia tai sitten sivun pituuksia ja korkeutta. Seuraavassa joitakin tilanteita, joissa korkeuksia käytetään ja miten korkeus näissä tilanteissa on määritelty.

 Kolmio 
pienoiskuva|Teräväkulmaisella kolmiolla ABC on kolme normaalia, jotka kulkevat kolmion kärkien kautta ja leikkaavat kolmion sivut tai niiden jatkeet kohtisuorasti. Sivun leikkauspistettä kutsutaan kantapisteeksi. Kuvassa kantapiseet Ha sijaitsee sivulla a = BC, kantapiste Hb sivulla b = AC ja Hc sivulla c = AB. Jana AHa on korkeusjana ja samoin ovat janat BHb ja CHc. Kolmiossa korkeusjanat tai niiden jatkeet leikkaavat aina samassa pisteessä H, jota kutsutaan ortokeskukseksi.
Kolmiolla on kolme eri korkeusjanaa, jotka kulkevat kolmion kärjen ja kantapisteen välissä. Teräväkulmaisella kolmiolla kantapiste sijaitsee aina kolmion sivulla eli kannalla, mutta tylppäkulmaisella kolmiolla jotkin kantapisteet saattavat sijaita sivun eli kannan jatkeella.

Sivujen lisäksi myös kolmion korkeusjanat määrittelevät kolmion yksikäsitteisesti. Jos kahdella kolmiolla on yhtä pitkät korkeusjanat, ovat ne yhtenevät kolmiot.

 Ortokolmio ja ortokeskus 
pienoiskuva|Kolmion korkeusjanojen kantapisteistä voidaan muodostaa kolmio (tummansininen), jota tutsutaan ortokolmioksi. Sen sisään piirretyn ympyrän keskipiste on sama kuin kolmion ortokeskus.Korkeusjanat, tai niiden jatkeet, leikkaavat aina yhdessä pisteessä, jota kutsutaan ortosentriksi tai ortokeskukseksi.

Kantapisteistä voidaan piirtää kolmio, jota kutsutaan ortokolmioksi. Ortokolmion kulmanpuolittajina ovat kolmion korkeusjanat. Ortokolmion sisälle piirretyn ympyrän keskipiste on siksi ortokeskuksessa.

Kolmion ortokeskus H, painopiste G ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O ovat kollineaariset eli sijaitsevat samalla suoralla. Pisteiden välisille etäisyyksille pätee HG = 2·GO.

 Yleinen kolmio 
Kolmion pinta-ala voidaan kolmion korkeusjanojen avulla laskea kolmella eri tavalla

Kun R on kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde, ja kun  ja  ovat sivujen b ja c vastaiset kulmat, määräytyy kolmiossa sivua a vastaan olevan korkeusjanan  pituus lausekkeista


 Tasakylkinen ja -sivuinen kolmio 
Tasakylkisessä kolmiossa kylkien pituudet ovat b ja kanta a, jolloin kolmion korkeudet ovat

ja 

Tasasivuisessa kolmiossa sivujen pituudet ovat a, jolloin korkeus on aina

 Katso myös 
 Korkeus

 Lähteet 




 Viite 

Luokka:Geometria