Tasakylkinen kolmio

Osien nimitykset
Kanta
Tasakylkisellä kolmiolla yksi sivu on yleensä erimittainen kuin muut sivut. Tätä kutsutaan kannaksi. Kannan pituus on pisimmillään lähes kaksi kertaa kyljen pituus. Tasakylkisiä kolmioita kohdataan usein sovelluksissa, jossa ihmisen rakennelma on pystytetty symmetrisesti. Nimitys "kanta" lienee käytännöllistä perua. Esimerkiksi niin sanotut A-tikkaiden muoto on tasakylkinen kolmio, jossa kanta on luonnollisella tavalla kolmion alin sivu.

Jos kanta on samanpituinen kuin kylki, on kyseessä tasasivuinen kolmio.

Kylki
Tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtäpitkää sivua, joita kutsutaan kyljiksi. Kyljen pituus on lyhimmillään hieman pitempi kuin kannan puolikas, mutta se voi olla kuinka pitkä hyvänsä. Samoin kuin johdettiin nimitys "kanta", voidaan sana "kylki" johtaa käytännön tilanteista, jossa tasakylkinen kolmio on "kannallaan" ja "kyljet" ovat kolmion sivuilla.

Kantakulma
Kantakulma muodostuu kannan ja toisen kyljen väliin. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat samansuuruisia. Se on suuruudeltaan aina alle 90°. Jos se on 
 45°, on kyseessä suorakulmainen tasakylkinen kolmio
 60°, on kyseessä tasasivuinen kolmio

Huippu ja huippukulma
Kannan vastaista kärkeä kutsutaan huipuksi. Huippukulma muodostuu huippuun kylkien väliin. Se on suuruudeltaan aina alle 180° ja se voidaan laskea kantakulman avulla . Jos huippukulma on 
 60°, on kyseessä tasasivuinen kolmio.
 90°, on kyseessä suorakulmainen tasasivuinen kolmio.
 alle 90°, on se teräväkulmainen tasasivuinen kolmio. 
 yli 90°, on kyseessä tylppäkulmainen tasasivuinen kolmio.

Yleisiä ominaisuuksia
Kantakulmat ja huipun kulmanpuolittaja
Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret. Tämä nähdään seuraavalla päättelyllä, jossa hyödynnetään yleisen kolmion  kulmien summan ominaisuutta:  . Taitetaan ensin tasakylkinen kolmio kahtia niin, että yhtä pitkät kyljet yhtyvät. Silloin taitekohta muodostaa janan kolmion huipusta sen kannalle. Koska kyljet yhtyvät, jakaa taitos huippukulman kahteen yhtäsuureen kulmaan . Kantakulmat yhtyvät myös, koska kanta on suora, ja siksi nekin ovat yhtäsuuret  ja näin on molemmissa puoliskoissa kaksi vastinkulmaparia yhtä suuret. Näillä perusteluilla todetaan tasakylkisen kolmion kantakulmat yhtäsuuriksi ja taitoksen synnyttämän janan olevan huipun kulmanpuolittaja.

Huipun kulmapuolittaja 
Huipun kulmanpuolittajalla on muitakin ominaisuuksia. Kummankin kolmion kolmas kulma voidaan laskea ja todeta yhtäsuureksi

Koska  ja  ovat oikokulman vieruskulmia ja yhtäsuuret, ovat ne 90°. Koska taitoksen jana kulkee huipun kautta ja on kohtisuorassa kantaa vasten, todetaan se myös korkeusjanaksi. Se on myös kannan sivunpuolittaja eli mediaani, sillä taitos jakaa tasasivuisen kolmion yhteneviksi kolmioiksi, joilla on myös yhtäpitkät vastinsivut. Silloin myös kannan puoliskot ovat yhtä pitkät. Kohtisuoruuden vuoksi sivunpuolittajaa voi pitää myös keskinormaalina.

Kaavoja
pienoiskuva|upright|Kolmio on symmetrinen kantaa vastaan piirretyn korkeusjanan suhteen, jolloin kolmion pinta-alan kaavan voi esittää ymmärrettävästi kuviolla.
pienoiskuva|Kolmion alan voi ymmärtää myös katkaisemalla se puolivälistä poikki.
Merkitään seuraavissa yhtälöissä kolmion osat seuraavasti:
 Kolmion sivut: kanta merkitään  ja kyljet .
 Kolmion kulmat: huippukulma meritään  ja kantakulmat 
 Korkeusjanat: kantaa vastaan  ja kylkeä vastaan .
 Kolmion piirin pituuden puolikas on .
Silloin voidaan esittää tasakylkisen kolmion ominauuksia seuraavasti.
 Kolmion kantaa vastaava korkeus on .
 Kolmion kylkeä vastaava korkeus on  
Heronin pinta-alan kaavasta voidaan johtaa korkeusjanoille toiset yhtälöt.


 Kolmion pinta-ala on .
 Jos huippukulma on , niin ala on 
 Sisään piirretty ympyrä 
Tasakylkisen kolmion sisään piirretyn ympyrän säde on  Jos kolmio on suorakulmainen tasakylkinen kolmio, on säde  

Tunnettuja teoreemoja
 Merkilliset pisteet 
pienoiskuva|Kolmion merkilliset pisteet sijaitsevat tasakylkisessä kolmiossa huipun korkeusjanalla. Sinisellä on piirretty keskinormaalit, punaisella sivunpuolittajat ja vihreällä kulmanpuolittajat. Esimerkiksi korkeusjanojen leikkauspiste puuttuu kuvasta.

Kylkien korkeusjanat leikkaavat toisensa huipun halkaisijalla pisteessä, joka on kolmion ortokeskus.

Kantakulmien puolittajat kohtaavat kolmion halkaisijalla pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Keskipiste on yksi kolmion merkillisistä pisteistä. Keskipiste jakaa halkaisijan suhteessa 2 : 1 siten, että lyhyempi osa jää kolmion kannan puolelle.

Kolmion kylkien keskinormaalit leikkaavat kolmion huipun halkaisijalla pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Myös tämä piste on kolmion merkillisiä pisteitä.

Kylkien keskijanat leikkaavat kolmion huipun halkaisjalla pisteessä, joka on kolmion painopiste.

Huipun puolittaja jakaa tasakylkisen kolmion kahdeksi yhteneväksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Kaikki tasakylkisen kolmion merkilliset pisteet sijaitsevat symmetrisesti kolmion halkaisevalla janalla. Koska neljä edellistä pistettä ovat halkaisijalla, on se samalla osa Eulerin suoraa.

Steiner ja Lehmus
pienoiskuva|upright|Steinerin ja Lehmuksen ajatus merkittynä kolmioon.
Jos kolmion kaksi kulmanpuolittajaa ovat yhtäpitkät, on kolmio tasakylkinen kolmio.

Lähteet



Viitteet

Luokka:Monikulmiot
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit