Kulmanpuolittaja

Kulmanpuolittaja on geometriassa suora tai sen osa, joka jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan. Tämä voidaan ilmaista myös kulman suuruudella niin, että jaettava kulma on kaksi kertaa sen puolikas.

 Kulmassa 
pienoiskuva|Kuva 2: Ensimmäinen kaari (sininen) merkitsee kylkiin yhtä pitkät etäisyydet kärjestä. Toiset kaaret muodostavat yhtä pitkät etäisyydet sivupisteistä (punainen). Punaisten kaarien leikkauspisteiden kautta piirretään suora (musta), joka kulkee kärjen kautta. Musta suora on kulmanpuolittaja.
Jokaisella kulmalla on vain yksi kulmanpuolittaja. Kulmanpuolittaja on suora, puolisuora tai jana, jonka pisteet ovat yhtä kaukana kulman molemmista kyljistä. Kulmaan voidaan piirtää ympyrä, jonka säde on tuo etäisyys, ja joka sivuaa molempia kulman kylkiä. Ympyrän keskipiste sijaitsee kulman puolittajalla.

Kulmanpuolittajan konstruktio
Jos käytettävissä on vain viivain ja harppi, voidaan kulmanpuolittaja piirtää geometrisella konstruktiolla seuraavasti. Merkitään kulman molemmille kyljille pisteet kohtiin, jotka ovat yhtä kaukana kulman kärjestä. Nämä pisteet löydetään harpilla vetämällä ympyränkaaren, joka ulottuu kummankin kyljen yli. Lyhennetään harpin sädettä ja piirretään kummastakin pisteestä kulman sisälle uudet kaaret, jotka leikaavat toisensa kahdessa pisteessä. Näiden pisteiden kautta kulkeva suora kulkee myös kärjen kautta ja puolittaa samalla kulman.

 Kolmiossa 
Kolmiossa kulmanpuolittaja on suora, joka kulkee kolmion kärjen kautta ja jakaa kolmion kulman kahteen yhtäsuureen kulmaan. Kulmanpuolittajaksi kutsutaan myös sitä janaa, joka jää kulmanpuolittajasta kolmion sisään. Janan päätepistettä kolmion sivulla kutsutaan kantapisteeksi.

pienoiskuva|Kuva 3: Kulmanpuolittajat kohtaavat kolmion sisällä pisteessä, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste
 Kulmanpuolittajien leikkauspiste 
Kolmiolla on kolme kulmanpuolittajaa. Ne leikkaavat toisensa pisteessä, joka on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste, joka on yksi kolmion merkillisistä pisteistä. Sen trilineaariset koordinaatit ovat 1 : 1 : 1.

Sisään piirretyn ympyrän säde on 

missä  on kolmion piirin pituuden puolikas eli puolipiiri

Ympyrä sivuaa kolmion sivuja, jolloin sivuamispisteisiin koskettavat ympyrän säteet ovat sivuihin nähden kohtisuorassa.

Kolmion ala on  missä r on sisään ympyrän säde ja s piirin pituuden puolikas.

Jos kolmion kaksi kulmanpuolittajaa ovat yhtäpitkät, on kolmio tasakylkinen kolmio.

Jos verrataan kahden eri kolmion kolmea kulmanpuolittajaa keskenään ja todetaan niiden olevan vastinpareittain yhtäpitkät, ovat itse kolmiotkin yhtenevät. Ne yhtyvät, koska kolmiot ovat tasasivuiset kolmiot.

pienoiskuva|Kuva 4: Kolmion ABC kulma A on jaettu janalla AD kahteen yhtäsuureen kulmaan (yhtäsuuret kulmat on merkitty kahdella pisteellä). Vastainen sivu BC jakautuu viereisten sivujen suhteessa.

 Kulmanpuolittajan lause 
Kolmion sisäkulman puolittajasuora jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Lause koskee myös kolmion ulkokulman puolittajaa. Merkitään kolmion ABC (kuva 4) puolitettavaa kulmaa kirjaimella A ja vastaisen sivun kantpistettä D, voidaan kulmanpuolittajan lause kirjoittaa verrannoksi

Merkitsemällä kolmion sivut ,  ja  sekä sivun c osat  ja  (eli ), voidaan osien pituudet laskea 

ja

Lauseen seuraus on, että jos kolmio on tasakylkinen kolmio siten, että viereiset sivut eli kyljet ovat yhtäpitkät eli , jakaa kulmanpuolittaja vastaisen sivun eli kannan yhtäpitkiin osiin.

Kulmanpuolittajan pituus d on

missä s on kolmion piirin pituuden puolikas. Etäisyys kärjestä sisään piirretyn ympyrän keskipisteeseen on kulmanpuolittajan pituus vähennettynä ympyrän säde eli .

 Kulmanpuolittaja vektoreilla 
Merkitään vektoreilla  ja  ja  ja  vastakkaisen sivun osat  ja  ovat 

ja 

Sivunpuolittajan vektoriesitys on silloin 

eli 

Kulmanpuolittaja analyyttisessa geometriassa
Merkitään kolmion kärkien koordinaatit  ja  ja  Silloin kolmion kulmanpuolittajan kantapisteen  koordinaatit ovat 

ja

Katso myös
 Kulman kolmiajako, jossa annettu kulma jaetaan kolmeen yhtäsuureen kulmaan.
 Keskijana eli mediaani kulkee kolmion kärjestä ja jakaa kolmion vastaisen sivun kahtia.

Lähteet








Viitteet

Luokka:Geometria

ta:இருசமக்கூறிடல்