Käänteislukufunktio

Käänteislukufunktion arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi

Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten

Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun  ja )

Käänteislukufunktion arvon määrittäminen
Kokonais- ja rationaaliluku
Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun  ja murtoluvun  käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

ja 

Reaaliluku
Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella , mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

Kompleksiluku
Kompleksiluvun  käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen  ja  jakolaskun ominaisuuksia:

Kun  ja  saadaan

missä  on luvun  liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Yleisiä ominaisuuksia
Monotonisuus ja nollakohdat
Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. 
Funktiolla  ei ole nollakohtia.

Symmetrisyys ja parittomuus
Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

Derivaatta ja integraali
Reaalifunktion derivaattafunktio on

ja integraalifunktio

kun  ja 

Raja-arvot
Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat 

Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

Katso myös
Kääntäen verrannollisuus
Hyperbeli

Lähteet ja viitteet

Luokka:Analyysi
Luokka:Funktiot