Epäjatkuvuuskohta

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.

 Yhden reaalimuuttujan tapaus 
Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto

jossa kohdassa  toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon  tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa . Jos funktion arvo  on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.

 Epäjatkuvuuskohtien luokittelua 
On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty! Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.

 Hyppäysepäjatkuvuus 
pienoiskuva|250x250px|Hyppäysepäjatkuvuus pisteessä .
Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä .

 ''Karkailu äärettömyyteen'' 
pienoiskuva|251x251px|Funktio ''karkaa äärettömyyteen'' pistettä  lähestyttäessä.
Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä . Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.

 Heilahteluepäjatkuvuus 
pienoiskuva|250x250px|Funktio  heilahtelee rajusti pisteen  ympärillä.
Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä  riippumatta siitä, miten luku  valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä , kun , riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli  mitä tahansa, ei  ole jatkuva origossa.

 Poistuva epäjatkuvuus 
pienoiskuva|250x250px|Poistuva epäjatkuvuus pisteessä .
Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä , mutta ''korjaamalla''  siitä tulisi jatkuva.

Lähteet




Kirjallisuutta


Luokka:Analyysi