Luottamusväli

Luottamusväli on tilastotieteen käsite, joka kuvaa arviota välille, jolla populaation generoivan mallin parametri sijaitsee. Luottamusväliä käytetään määrittämään arvion luotettavuutta. Se on yksinkertaisesti havaittu väli (eli esimerkiksi väli, joka on laskettu havainnoista), joka vaihtelee otoksesta toiseen ja joka usein, mutta ei välttämättä, sisältää mielenkiinnon kohteena olevan parametrin, kun otantakoetta toistetaan. Sen, kuinka usein havaittu väli sisältää tämän parametrin, määrittelee luottamustaso.

Matemaattinen määritelmä
Soong määrittelee luottamusvälin seuraavasti:

Olkoon otos  peräisin jakaumasta , jonka parametriä  halutaan arvioda. Olkoot  ja  kaksi tilastollista lukua siten, että . Tällöin väli  on luottamusväli luottamustasolla  parametrille , jos  ja  voidaan valita siten, että 

.

Luottamusväli on siis pari satunnaismuuttujia, jossa rajat ovat muuttujia ja arvioitava parametri  koko populaation oikea parametri, joka siis ei ole satunnaismuuttuja. Yleensä  saa arvot 0,05 tai 0,01.

Käyttö ja tulkinnat
Luottamusväliä käytetään kuvaamaan epävarmuutta, joka syntyy siitä, että otoksesta laskettuja arvoja käytetään kuvaamaan koko populaatiota, vaikka otos itsessään ei välttämättä edusta täydellisesti koko populaatiota. Esimerkiksi, jos haluttaisiin arvioida suomalaisten keskimääräistä pituutta käyttäen vain 1000 ihmisen otosta, pitäisi laskea luottamusväli saadulle otoskeskiarvolle.

pienoiskuva|Sata otosta, joista on laskettu 95 %:n luottamusvälit (vaakasuorat viivat). Normaalijakauman keskiarvo (pystysuora viiva) sisältyy 94:een laskettuun väliin.

Luottamusvälin tulkinnalla on vahva yhteys toistokokeeseen. Kun luottamusväli lasketaan, voidaan olla varmoja vain :n varmuudella (esim. "95-prosenttisesti"), että arvioitu populaatioparametri sisältyy siihen luottamusväliin, joka on laskettu juuri kyseisestä otoksesta. Jos samasta populaatiosta otettaisiin useita otoksia, niin lopulta esimerkiksi 95 % niistä sisältäisi arvioidun parametrin.

Luottamusvälejä voidaan käyttää laadulliseen tulkintaan. Esimerkiksi, jos luottamusväli sisältää vain arvoja, jotka ovat tutkittavan ilmiön kannalta merkityksettömiä, voidaan olla halutulla varmuustasolla varmoja, että ilmiön vahvuus on merkityksetön. Toisena esimerkkinä voidaan pitää kahden keskiarvon vertailua. Jos tutkittavan erotuksen luottamusväli sisältää nollan, voidaan ajatella, että erotus ei ole merkittävä valitulla varmuudella.

 Esimerkkejä 
 Populaatiokeskiarvo 
Jakauman keskiarvoa  voidaan arvioida otoskeskiarvolla

jossa  on otoskoko ja  on satunnaismuuttuja. Mikäli satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita tai keskeisen raja-arvolauseen ehdot toteutuvat, otoskeskiarvo noudattaa normaalijakaumaa , jossa  on satunnaismuuttujien  keskihajonta. Koska sitä ei yleisesti ottaen ole mahdollista tietää, pitää sitä arvioida käyttäen otoskeskihajontaa 

Tällöin otoskeskiarvo noudattaa Studentin
t-jakaumaa vapausasteella  ja luottamusväliksi saadaan



jossa  vastaa t-jakauman kertymäfunktion argumenttia todennäköisyydelle .  

 Lineaarisen regression kerroin 
Soong määrittelee lineaarisen regression kerrointen luottamusvälit seuraavasti. Noudattakoon tutkittava ilmiö lineaarista suhdetta

, jossa  

Tällöin datapisteisiin sovitettu suora on muotoa

Estimaattori residuaalien  varianssille  on

.

Estimaattoria hyödyntäen kertoimille  voidaan laskea luottamusväli kaavalla

Vakiotermille  rajat ovat

 Bootstrappaus 
Mikäli halutaan laskea luottamusvälejä esimerkiksi heteroskedastisuuden vallitessa, tai silloin, kun estimoitava parametri ei noudata normaalijakaumaa, voidaan käyttää ei-parametristä bootstrap-menetelmää.

 Lähteet 

 Aiheesta muualla 

 Luottamusväli

Luokka:Tilastotiede
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit