Heronin kolmio

Heronin kolmio on sellainen kolmio, jonka sivujen pituudet ja pinta-ala ovat rationaalilukuja. Myös korkeudet on tällöin rationaalisia. Heronin kolmioita etsittäessä voidaan käyttää Heronin kaavaa. Heronin kaava on nimetty Heron Aleksandrialaisen mukaan, kuten myös Heronin kolmio. 

Esimerkkejä
Mikä tahansa kolmio, jonka sivunpituudet on Pythagoraan kolmikko, on Heronin kolmio.

Kolmio jolla ei ole suorakulmaa ja jonka sivujen pituudet on 5, 5, ja 6 ja pinta ala on 12. Tämä kolmio saadaan konstruoitua, kun otetaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 5. Nämä kolmiot asetetaan siten, että 4:n pituiset sivut ovat vastakkain. Luvut 3, 4 ja 5 muodostavat tunnetusti Pythagoraan kolmikon. 

Tämä esimerkki voidaan laajentaa yleiseksi tapaukseksi. Eli oletetaan olevan olemassa Pythagoraan kolmikko(a, b, c) ja valitaan, että c  on pisin sivu. Tarvitaan myös toinen Pythagoraan kolmikko (a, d, e), missä e voidaan valita pisimmäksi sivuksi. Nämä kolmiot yhdistetään siten, että sivut a. Näin saadaan kolmio, jonka sivujen pituudet ovat c, e, and b + d. Tällöin kolmion pinta-ala on siis

 .

Lause
On olemassa Heronin kolmio siten, että se voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden sivujenpituudet muodostavat rationaalilukuiset Pythagoraan kolmikot.

Lauseen todistus

Käytetään todistuksessa apuna aiemmin esitettyä esimerkin yleistystä: Olkoon Heronin kolmion sivujen pituudet c, e, b + d ja pinta-ala A määritelmän mukaan rationaalilukuja. Oletetaan myös, että sivu jonka pituus on b + d is  on pisin. Jotta saadaan osoitettua, että (a, b, c) and (a, d, e) ovat Pythagoraan kolmikoita täytyy todistaa, että luvut  a, b, ja d ovat rationaalisia.

Osoitetaan ensin, että luku "a" on rationaalinen. Koska kolmion pinta-ala on

niin

Oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia, siis myös a on rationaaliluku. Osoitetaan sitten, että luvut b ja d ovat rationaalisia.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisille kolmioille pätee, että

ja

Joista saamme, että

ja

Taas oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia ja siten myös b − d täytyy olla rationaalinen. Oletuksen mukaan b + d  on rationaalinen, joten täytyy olla, että b ja d ovat rationaalisia.

Täsmällinen kaava Heronin kolmioille
Kaavan kaikille Heronin kolmioille kehitti Euler. Tässä on Brahmagubtan ja Carmichaelin esittämä versio:

Missä s on puolikas piiri ja A on pinta-ala. Pätee myös, että

.

Taulukko
Tässä taulukossa on listattu pienimmät sellaiset Heronin kolmiot, joiden sivujen pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1.
 Pinta-ala Ympärysmita Pituus b+d Pituus e Pituus c 6 12 5 4 3 12 16 6 5 5 12 18 8 5 5 24 32 15 13 4 30 30 13 12 5 36 36 17 10 9 36 54 26 25 3 42 42 20 15 7 60 36 13 13 10 60 40 17 15 8 60 50 24 13 13 60 60 29 25 6 66 44 20 13 11 72 64 30 29 5 84 42 15 14 13 84 48 21 17 10 84 56 25 24 7 84 72 35 29 8 90 54 25 17 12 90 108 53 51 4 114 76 37 20 19 120 50 17 17 16 120 64 30 17 17 120 80 39 25 16 126 54 21 20 13 126 84 41 28 15 126 108 52 51 5 132 66 30 25 11 156 78 37 26 15 156 104 51 40 13 168 64 25 25 14 168 84 39 35 10 168 98 48 25 25 180 80 37 30 13 180 90 41 40 9 198 132 65 55 12 204 68 26 25 17 210 70 29 21 20 210 70 28 25 17 210 84 39 28 17 210 84 37 35 12 210 140 68 65 7 210 300 149 148 3 216 162 80 73 9 234 108 52 41 15 240 90 40 37 13 252 84 35 34 15 252 98 45 40 13 252 144 70 65 9 264 96 44 37 15 264 132 65 34 33 270 108 52 29 27 288 162 80 65 17 300 150 74 51 25 300 250 123 122 5 306 108 51 37 20 330 100 44 39 17 330 110 52 33 25 330 132 61 60 11 330 220 109 100 11 336 98 41 40 17 336 112 53 35 24 336 128 61 52 15 336 392 195 193 4 360 90 36 29 25 360 100 41 41 18 360 162 80 41 41 390 156 75 68 13 396 176 87 55 34 396 198 97 90 11 396 242 120 109 13

Aiheesta muualla 
 Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
 Wm. Fitch Cheney, Jr., Heronian Triangles Am. Math. Montly 36 (1) (1929) 22-28.
 S. sh. Kozhegel'dinov On fundamental Heronian triangles Math. Notes 55 (2) (1994) 151-156.

Luokka:Geometria