Epämääräinen muoto

Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".

Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä  ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.

Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:

Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.

 Epämääräiset muodot ja raja-arvot 

Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos 
  ja , 
on 
  ja , 
olivatpa f ja g mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.

Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:

 Esimerkkejä funktioista 

Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja:  et . 

 Kaikilla reaaliluvilla  on . Niinpä .
 Kaikilla reaaliluvilla , on . Niinpä .

Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla,  ja , on sama raja-arvo , kun , mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään  ja , missä A on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo , kun , mutta osamäärien raja-arvot ovat
 ja
,
olipa A mikä positiivinen luku tahansa.

Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on . Tämän vuoksi lauseketta  sanotaan epämääräiseksi muodoksi.

 Esimerkki lukujonoista 

Olkoot  ja  kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville  siten, että  ja . Täten on siis  ja .

Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla  on . Koska   ja , saadaan raja-arvojen tuloksi .

Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla  on . Koska  ja , saadaan raja-arvojen tuloksi.

Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on , näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on . Tämän vuoksi myös lauseke  kuuluu epämääräisiin muotoihin.

 Epämääräiset muodot 

Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että  kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon . Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

 Epämääräinen muoto  Etsitty raja-arvo  Ehto :n avulla  Ehto :n avulla                                                 

Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot  ja . Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

 Epämääräinen muoto  Raja-arvot                                           

 Sovelluksia 

 Neperin luku ja eksponenttifunktio 

Epämääräinen muoto  liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion .  Neperin luku e määritellään seuraavasti:

 , 

ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle  pätee:


Jos määritellään lukujonot  ja , saadaan

 , ja tietenkin
 , 

ja kuitenkin  voi x:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.

 Funktion derivaatta 

Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:

.

Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun , ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja x:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.

 Lähteet 

Luokka:Analyysi