Toisen kertaluvun derivaatta

Differentiaali- ja integraalilaskennassa funktion ƒ 
derivaattafunktion derivaattaa sanotaan funktion ƒ 
toisen kertaluvun derivaataksi. Myös nimitys toinen derivaatta on 
yleisesti käytössä. Funktion toisen kertaluvun derivaatalla 
voidaan muun muassa tutkia funktion kuvaajan kaarevuutta ja sen derivaatan nollakohtien luonnetta. Toisen kertaluvun derivaatan 
fysikaalisista sovelluksista voidaan mainita esimerkiksi kappaleen kiihtyvyyden määrittäminen. Kappaleen nopeus on sen paikan 
derivaatta ajan suhteen. Kiihtyvyys on kappaleen nopeuden derivaatta 
ajan suhteen. Siten kiihtyvyys on paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan 
suhteen. Funktion korkeamman kertaluvun derivaattojen tuntemista 
hyödynnetään myös monissa funktion approksimaatio-menetelmissä, 
kuten esimerkiksi Taylorin sarjassa.

 Merkinnät 
Funktion  toisen kertaluvun derivaatta merkitään 
yleensä , jossa

Muita käytettyjä merkintöjä ovat:

 Esimerkki 
Olkoon

Funktion ƒ derivaatta on funktio

Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta on funktion ƒ′ 
derivaatta

 Suhde kuvaajaan 
500px|thumb|Funktion  kuvaaja 
välillä . Tangenttisuora on sininen, kun käyrä on 
kupera alaspäin, vihreä, kun käyrä on kupera ylöspäin, ja punainen käännepisteissä 
(0, /2, and ).

 Kaarevuus 
Funktion ƒ toisen kertaluvun derivaatta mittaa sen kuvaajan kaarevuutta. 
Funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kupera alaspäin eli 
jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on, sivuamispistettä lukuun ottamatta, käyrän 
alapuolella. Vastaavasti, funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, 
on kupera ylöspäin eli jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on käyrän 
yläpuolella.

 Käännepiste 

Pistettä, jossa funktion toisen kertaluvun derivaatan merkki vaihtuu, kutsutaan käänne­pisteeksi. Käännepisteessä funktion kuvaajan kaarevuussuunta vaihtuu. 
Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on jatkuva käännepisteessä, sen on oltava 
0. Toisen kertaluvun derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole riittävä ehto 
käännepisteelle.

 Toisen kertaluvun derivaatan testi 
Funktion toisen kertaluvun derivaatan testillä voidaan tietyissä olosuhteissa 
selvittää funktion derivaatan nollakohdan luonne. 
Olkoon . Jos
 , funktiolla  on paikallinen maksimi pisteessä .
 , funktiolla  on paikallinen minimi pisteessä.
 , funktiolla  voi olla pisteessä  joko paikallinen maksimi, paikallinen minimi tai käännepiste.

 Raja-arvo 
Jos funktiolla  on pisteessä  olemassa toisen 
kertaluvun derivaatta, se voidaan esittää raja-arvona:

 Approksimointi 

Funktion approksimointiin voidaan käyttää erilaisia esimerkiksi korkeampia 
derivaattoja käyttäviä polynomeja taikka potenssi­sarjoja. Eräät esimerkit tällaisista ovat Taylorin polynomi ja Taylorin sarja.

Funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä  on:

Maclaurinin polynomi on Taylorin polynomin erikoistapaus, jossa kehityskeskus on 
origo:

Taylorin sarja on yksinkertaistettu versio potenssisarjasta. Taylorin sarjalla 
funktiolle saadaan seuraava sarjakehitelmä:

Edellisessä ! tarkoittaa kertomaa ja  funktion 
 n:ttä derivaattaa. Maclaurinin sarja on Taylorin sarjan 
erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo.

 Kiihtyvyys 

Tarkastellaan objektia, joka liikkuu suoralla (esimerkiksi x-akselilla). 
Sen paikka  saadaan ajan funktiosta 
. Keski­nopeudeksi  aikavälillä 
 saadaan 

Nopeus  ajanhetkellä  on tämän keskinopeuden 
raja-arvo, kun . Siten

Nopeus ajanhetkellä  on siis paikan derivaatta ajan suhteen. 
Tämän derivaatan arvo voi olla luonnollisesti myös nolla tai negatiivinen, joten 
nopeus kertoo myös liikesuunnan.

Derivoimalla edelleen nopeus ajan suhteen saadaan objektin kiihtyvyys ajanhetkellä 

Kiihtyvyys on siis paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen.

 Katso myös 

 Derivaatta
 Käännepiste
 Taylorin sarja

 Lähteet 

 (englanniksi)

 Kirjallisuutta 


Luokka:Differentiaalilaskenta
Luokka:Analyysi