Banachin tulitikkuongelma

Banachin tulitikkuongelma on klassisen todennäköisyyslaskennan tehtävä, joka on kunnianosoitus Stefan Banachille. Feller, William, An Introduction to Probability Theory And Its Applications, Luku VI, Kohta 8, Wiley, 1968 Matemaatikko Hugo Steinhaus kertoi, että ongelman inspiraation lähteenä oli ollut Banachin tupakointi, ja koska nimestä tuli kirjallisuudessa niin suosittu, hän päätti olla muuttamatta ongelman nimeä.

Kuvitellaan tilanne, jossa matemaatikko kantaa aina yhtä tulitikkurasiaa oikeassa taskussaan ja yhtä tulitikkurasiaa vasemmassa taskussaan. Kun hän tarvitsee tulitikun, hän valitsee toisen taskuista sattumanvaraisesti, käyttää yhden tulitikun ja laittaa rasian taskuun katsomatta, kuinka monta tulitikkua rasiaa jäi. Tarkastellaan tilannetta, jossa matemaatikko huomaa ensimmäisen kerran, että toinen rasioista on tyhjä. Oletetaan, että alun perin molemmissa rasioissa on täsmälleen  tulitikkua. Mikä on todennäköisyys, että toisessa rasiassa on täsmälleen  tikkua () silloin, kun matemaatikko havaitsee toisen rasian olevan tyhjä?

Ratkaisu
Olkoon vasemman taskun valinta ”onnistuminen” ja oikean taskun valinta ”epäonnistuminen”. Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen k tikkua jos ja vain jos täsmälleen N−k epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista N+1. Taskun valinnan todennäköisyys on p = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi

.

Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on k tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on

.

Taulukko

Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on , nähdään seuraavasta taulukosta.  on todennäköisyys sille, että rasiassa on  tikkua.  on todennäköisyyksien summa.

 k        k        k     0 0,079 589  0,079 589    17  0,015 447  0,952 469   34  0,000 012  0,999 981 1 0,079 589  0,159 178    18  0,012 283  0,964 752   35  0,000 006  0,999 987  2 0,078 785  0,237 963    19  0,009 587  0,974 338   36  0,000 003  0,999 999    3 0,077 177  0,315 140    20  0,007 338  0,981 676   37  0,000 001  0,999 999    4 0,074 790  0,389 931    21  0,005 504  0,987 180    38  <0,000001  0,999 999   5  0,071 674  0,461 605    22  0,004 041  0,991 220    39  <0,000001  0,999 999   6 0,067 902  0,529 506    23  0,002 901  0,944 121    40  <0,000001  0,999 999 7  0,063 568  0,593 073    24  0,002 034  0,996 155    41  <0,000001  0,999 999 8  0,058 671  0,651 855    25  0,001 392  0,997 547    42  <0,000001  0,999 999 9  0,053 671  0,705 527    26  0,000 928  0,998 475    43  <0,000001  0,999 999 10  0,048 363  0,753 890    27  0,000 602  0,999 077    44  <0,000001  0,999 999 11 0,042 989  0,796 879    28  0,000 379  0,999 456    45  <0,000001  0,999 999 12 0,037 676  0,834 555    29  0,000 232  0,999 688    46  <0,000001  0,999 999 13 0,032 538  0,867 094    30  0,000 137  0,999 825    47  <0,000001  0,999 999 14 0,027 676  0,894 770    31  0,000 078  0,999 903    48  <0,000001  0,999 999 15 0,023 171  0,917 941    32  0,000 043  0,999 946    49  <0,000001  0,999 999 16 0,019 081  0,937 022    33  0,000 023  0,999 969    50  <0,000001  1,0

Katso myös
 Stefan Banach
 Banachin avaruus
 Banachin kiintopistelause
 Banachin–Tarskin paradoksi

Lähteet

Aiheesta muualla
 Java-sovellus

Luokka:Todennäköisyyslaskennan ongelmat