Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

 Lauseen muotoilu 
Olkoon funktio  esitettävissä funktioiden  ja  osamääränä . Olkoot lisäksi funktiot  ja  derivoituvia pisteessä  ja . Tällöin .

 Todistus 
Derivaatan määritelmän mukaan

Sijoitetaan funktion  tilalle osamäärä 

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

Lisätään ja vähennetään termi 

Otetaan  ja  yhteisiksi tekijöiksi

Supistetaan termillä 

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin 
osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden  ja  erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

.

Esimerkkejä

Esimerkki 1
Määritä funktion ,  derivaatta pisteessä .

Funktio  voidaan selvästi esittää kahden funktion,  ja  osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä  ja funktiolla  ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden  ja  derivaattafunktiot: , . Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

Esimerkki 2
Määritä funktion  derivaatta pisteessä .

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä  ei ole derivoituva pisteessä , mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon , jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet


Luokka:Differentiaalilaskenta