Valinta-aksiooma

Valinta-aksiooma on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen epätyhjien joukkojen kokoelmaan  voidaan liittää uusi joukko  siten, että kukin sen alkioista  kuuluu vastaavaan joukkoon .  Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, valintakuvaus, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja  on äärettömän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, mutta valinta-aksiooma olettaa ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, vaikka sitä ei voitaisi konstruoida.

Valinta-aksioomaa käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin: 

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista  yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomiin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

 Yhtäpitäviä tuloksia 

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:
 Zornin lemma: Jos H on järjestetty joukko ja sen jokaisella ketjulla on H:ssa pienin yläraja, niin H:lla on maksimaalinen alkio.
 Hyvinjärjestyslause: jokainen joukko voidaan järjestää niin, että sen jokaisella osajoukolla on "pienin" tai ensimmäinen alkio.
 Trikotomia: joukkoja voidaan aina vertailla mahtavuusjärjestyksessä, eli mille tahansa joukoille A ja B on aina joko ,  tai 
 Jokainen ääretön joukko A on yhtä mahtava karteesisen tulon A x A kanssa.

 Käyttö 
Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla.  Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:
 Jokaisella vektoriavaruudella on kanta 
 Jokaisella kunnalla on algebrallinen sulkeuma
 Reaalilukujen joukossa  sekä jokaisessa joukossa  on sellaisia osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia
 Boolen algebrojen ultrafiltteriteoreema
 Stonesin esityslause Boolen algebroille
 Tihonovin lause topologiassa: Kompaktien avaruuksien karteesinen tulo on kompakti.
 Hahn-Banachin teoreema funktionaalianalyysissa

 Lähteet 




Luokka:Joukko-oppi
Luokka:Matemaattiset aksioomat
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit