Hagenin–Poiseuillen yhtälö

Hagenin–Poiseuillen yhtälö tai Poiseuillen yhtälö on virtausdynamiikan yhtälö, jonka avulla voidaan määrittää painehäviö laminaariselle virtaukselle poikkileikkaukseltaan ympyränmuotoisessa putkessa. Sen johtivat toisistaan riippumatta Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen vuonna 1839 ja Jean Léonard Marie Poiseuille vuonna 1838. Yhtälön julkaisi ensimmäistä kertaa   Poiseuille vuosina 1840 ja 1846. Poiseuille halusi alkujaan mallintaa veren virtausta verisuonistossa, erityisesti aortassa ja hiussuonistossa, väitöskirjaansa varten. Tämä (ja lisäksi ilmanvirtauksen mallinnus keuhkoissa) ovat edelleen sen tärkeitä sovelluskohteita. 

Hagen–Poiseuillen yhtälö on
,
missä
 Δp on painehäviö (SI: [Δp] = Pa)
 μ on nesteen dynaaminen viskositeetti (SI: [μ] = Pa s)
 L on putken pituus (SI: [L] = m)
 qv on tilavuusvirta (SI: [qv] = m3 s−1)
 d on putken halkaisija (SI: [d] = m).

 Matemaattinen johto 
Lähdetään Navier–Stokesin yhtälöistä. Oletetaan virtaus stationääriseksi ja sylinterisymmetriseksi sekä putken suunnassa homogeeniseksi, jolloin jäljelle jää

missä  on fluidin tiheys,  sen kinemaattinen viskositeetti,  säteestä riippuva virtausnopeus ja  osittaisdifferentiaalioperaattori. Kirjoitetaan tämä vielä skalaarimuotoon sylinterisymmetrisyys ja x-suuntainen homogeenisuus huomioon ottaen:

Nyt kaksi kertaa integroimalla ja asettamalla rajaehdot  ja  saadaan ratkaisu

eli putkivirtauksen poikkileikkaus on paraboloidin muotoinen. 

Toisaalta integroimalla edellinen lauseke putken poikkileikkauksen S yli saadaan tilavuusvirta eli

mistä Hagen–Poiseuillen yhtälö seuraa kirjoittamalla  ja ratkaisemalla painehäviö .

Lähteet

Luokka:Virtausdynamiikka
Luokka:Yhtälöt