Yhdensuuntaisprojektio

Yhdensuuntaisprojektio on analyyttisen tasogeometrian tapa kuvata kolmiulotteinen kappale kaksiulotteisessa mediassa. Siinä kuvaussäteet ovat keskenään yhdensuuntaisia ja leikkaavat kuvatason jokaisessa pisteessä samassa kiinteässä kulmassa. Yhdensuuntaisprojektio kuvaa pisteet pisteiksi, suorat suoriksi, yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi ja janojen jakosuhteet samansuuruisiksi. Siispä kuvatason suuntaiset kuviot säilyvät oikean mittaisina.

thumb

Yhdensuuntaisprojektiolla voidaan projisoida koko avaruus kuvatasoon, toisin kuin esimerkiksi keskusprojektiolla eli perspektiivillä.

Yhdensuuntaisprojektio voi olla
 koordinaattiakseleiden suuntainen eli ortografinen yhdensuuntaisprojektio
 koordinaattiakseleiden suhteen vino eli vino yhdensuuntaisprojektio

 Ortografinen projektio 

Ortografiset yhdensuuntaisprojektiot (ts. ortogonaaliprojektiot) voivat olla joko yhdensuuntaisia tasoprojektioita tai aksonometrisiä projektioita. Ortografinen projektio on kuvien muodostuksessa luontevampi kuin vino yhdensuuntaisprojektio, koska kuvaa katsotaan normaalisti lähes kohtisuoraan paperin tasoa vastaan.

 Tasoprojektio 

Yleisin kuvaustapa ovat ortografiset yhdensuuntaiset tasoprojektiot. Projisointitapa kappaleiden mallintamisessa on yksinkertainen. Kappale ikään kuin heijastetaan ympärillä olevan kuvitteellisen laatikon sisäpinnoille. Tästä saadaan kaksi pohjapiirrosta ja neljä sivunäkymää. Kaksiulotteinen esitys saadaan, kun laatikko ”taitetaan auki”, jolloin sisäpintojen projektiot saadaan näkyville. Tasoprojektioita käytetään teknisessä piirtämisessä. Esimerkkinä näistä ovat kone-, asema-, pohja-, leikkaus- ja julkisivupiirustukset.

 Aksonometrinen projektio 


Aksonometrisellä projektiolla saadaan parhaiten aikaan kolmiulotteinen vaikutelma.

Aksonometrisen projektion tyypit ovat
 Isometrinen projektio
Yleisin aksonometrisistä projektioista.
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, esim. 120°.
 Dimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden välisistä kulmista kaksi ovat yhtä suuria, esim. 105°, 105° ja 150°.
 Trimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat erisuuria, esim. 155,1°, 106,1° ja 98,79°.

 Vino projektio 

Vinot projektiot ovat yleisiä niiden yksinkertaisen piirtämisen vuoksi, vaikka pituudet eivät näytäkään aivan luonnollisilta. Niitä käytetään yksinomaan piirtämiseen, eikä niinkään muodollisiin laskutoimituksiin. Pystyjanat pyritään havainnollisuuden vuoksi suuntaamaan aina suoraan ylöspäin. Akseleiden välisistä kulmista yksi on tasan 90° ja muut kaksi kulmaa ovat mielivaltaisia.

Vinoja yhdensuuntaisprojektioita ovat esimerkiksi kavaljeeri- ja sotilasprojektio.

 Lauseita yhdensuuntaisprojektiolle 

Bijektio ²→ ² on yhdensuuntaisprojektio, jos sen antamat kuvaussuorat ovat yhdensuuntaisia.

Huom.
Kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste ei välttämättä ole yhdensuuntaisprojektio.

Lause

Yhdensuuntaisprojektio
 kuvaa suoran suoraksi
 kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi
 säilyttää janan osien suhteet.

Lause

Yhdensuuntaisprojektio on affiini kuvaus.

Lause

Jokainen affiini kuvaus on kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste.

 Katso myös 
 Perspektiivi
 Projektio (lineaarialgebra)
 Analyyttinen geometria
 Affiini kuvaus
 Tekninen piirtäminen

 Lähteet 
D. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray: Geometry, Cambridge University Press 1999
Dosentti Petteri Harjulehdon luentomuistiinpanot 14.4.2010 Geometrian kurssilla Helsingin yliopistossa 
Petteri Harjulehto: Kavaljeeri- ja sotilasprojektiot, artikkeli matematiikkalehti Solmussa 2/2007
Erkki Rosenberg: Geometria, Limes ry, Helsinki 1991

Luokka:Projektiivinen geometria