Ryhmähomomorfismi

Ryhmähomomorfismi on luotu matematiikassa ryhmien vertailun helpottamiseksi. 
Olkoot (G, *) ja (H, ·), ryhmiä ja f : G → H jokin kuvaus. Kuvaus f on ryhmähomomorfismi, jos kaikilla x, y kuuluu G pätee.

Tarkastellaan esimerkiksi luonnollisia lukuja ja niiden yhteenlaskua. Funktiolla, joka säilyttää laskutoimituksen, tulee olla seuraava ominaisuus: f(a + b) = f(a) + f(b). Huomaa, että esimerkiksi f(x) = 3x on homomorfismi, sillä f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b).

Jos f : (G, *) → (H, ·) on ryhmähomomorfismi, niin

i) f(eG) = eH

ii) f(a−1) = f(a)−1 kaikilla a ∈ G.

Lisäksi bĳektiivistä ryhmähomomorfismia kutsutaan isomorfismiksi.

Jos kahden ryhmien G ja H välille voidaan määritellä isomorfismi, niin
sanotaan, että ryhmät ovat isomorfiset ja merkitään
G ≅ H.

Isomorfisilla ryhmillä on samanlaiset kertotaulut.

Lähteet
 Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Algebra I, Johanna Rämö
 Metsänkylä ja Näätänen; Algebra; Limes ry

Kirjallisuutta


Luokka:Ryhmäteoria