Alkeismatriisi

Matematiikassa alkeismatriisi on yksinkertainen matriisi, joka saadaan yksikkömatriisista yhdellä alkeisrivitoimituksella - jokainen alkeisrivitoimitus pystytäänkin ilmoittamaan jonkin alkeismatriisin avulla. Alkeismatriisien ominaisuuksien ansiosta pystytään käsittelemään  säännöllisiä matriiseja.

Määritelmä
m×m -matriisi E on alkeismatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista Im yhdellä alkeisrivitoimituksella K, jossa K on I, II tai III. Alkeismatriisin E sanotaan tällöin olevan tyyppiä K.

I. Kahden rivin paikat vaihdetaan.
II. Rivi kerrotaan nollasta eriävällä luvulla.
III. Riviin lisätään toisen rivin monikerta.

Esimerkki
 ,
jossa yksikkömatriisin 2. ja 3. rivi on vaihdettu keskenään.
 ,
jossa yksikkömatriisin 3. rivi on kerrottu vakiolla 3.
 ,
jossa yksikkömatriisin 3. riviä on kerrottu luvulla 4 ja lisätty se sitten 1. riviin.

Ominaisuuksia

1. Oletetaan, että alkeismatriisi E on tyyppiä K. Kun tällä alkeismatriisilla kerrotaan jokin matriisi A on tulos sama kuin, jos A:lle tehtäisiin rivitoimitus K. (K = I, II tai III)

Esimerkki
Suoritetaan matriisille

rivitoimitus I alkeismatriisin E avulla. A:n 1. ja 2. rivi vaihdetaan siis seuraavasti:
 .
Myös rivitoimitukset II ja III voitaisi esittää alkeismatriisien avulla.

2. Jos äärellisellä määrällä alkeismatriiseja kerrotaan jotakin matriisia B ja saadaan tuloksi matriisi A, matriisit A ja B ovat  riviekvivalentteja.

3. Alkeismatriisi E on  säännöllinen ja sen käänteismatriisi E -1  on samaa tyyppiä K kuin E.

Käyttö

Alkeismatriisien ominaisuuksia hyödynnetään, kun todistetaan matriisien säännöllisyysehtoa.

Säännöllisyysehto
Matriisi A on säännöllinen, jos ja vain jos A ja sitä vastaava yksikkömatriisi ovat riviekvivalentteja.

Kirjallisuutta

   (pdf)

Luokka:Matriisit