Käännepiste

Käännepiste on käyrän piste, jossa sen kaarevuussuunta vaihtuu. Käyrä on joko käännepisteen vasemmalla puolella ylöspäin kupera ja oikealla alaspäin kupera tai päinvastoin. Jos käyrä on jonkin kahdesti derivoituvan funktion  kuvaaja, sen toisen derivaatan etumerkki vaihtuu käännepisteessä.

Vaihtoehtoisesti käännepiste voidaan määritellä myös pisteeksi, johon piirretty käyrän tangentti lävistää käyrän.

Jos funktio  on jatkuva ja sillä on kaikkien kertalukujen derivaatat, välttämätön ehto sille, että piste on käännepiste, on että sen toinen derivaatta tässä pisteessä on nolla. Tämä ei kuitenkaan ole riittävä ehto, sillä esimerkiksi myös funktion  toinen derivaatta on nolla origossa, mutta sillä ei ole käännepistettä. Käännepiste edellyttääkin, että kertaluvultaan alin derivaatta, joka ei ole nolla, on paritonta kertalukua. Niinpä esimerkiksi potenssifunktion  kuvaajalla on käännepiste origossa vain, jos n on pariton.

pienoiskuva|Kolmannen asteen polynomi, jonka käännepiste on merkitty.
pienoiskuva|Yhtälön y = x4 – x kuvaaja sekä tangentti pisteessä (0,0), joka ei ole käännepiste.

 Lähteet 

Aiheesta muualla
 Neljännen asteen polynomien käännepisteet
 Matemaattista tietoa käännepisteistä

Kirjallisuutta


Luokka:Analyyttinen geometria