Duaaliavaruus

Matematiikassa jokaisella vektoriavaruudella, V, on vastaava duaaliavaruus, joka sisältää kaikki lineaariset funktionaalit V:llä. Duaaliavaruus on myös vektoriavaruus, ja äärellisdimensioista duaalivektoriavaruutta voidaan käyttää määrittelemään tensoreita. Funktioavaruuksien duaaliavaruuksia voidaan käyttää määrittelemään mittoja, jakaumia ja Hilbertin avaruuksia. Tämän vuoksi duaaliavaruudet ovat tärkeitä työkaluja funktionaalianalyysissä.

Duaaliavaruudet voidaan jakaa kahteen tyyppiin: algebraalisiin duaaliavaruuksiin ja jatkuviin duaaliavaruuksiin. 
Algebraalinen duaaliavaruus on määritelty kaikille vektoriavaruuksille. Tämän avaruuden aliavaruus on jatkuva duaaliavaruus, joka koostuu topologisen vektoriavaruuden jatkuvista lineaarisista funktionaaleista.

 Määritelmät 
 Algebrallinen duaali 
Vektoriavaruuden   (algebrallinen) duaaliavaruus on . Sen alkiot ovat kaikki lineaariset funktionaalit , missä   on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus    on määritelty (esim.  tai ).

Myös   on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien  summa  määritellään näin:  kaikilla .

 Topologinen duaali eli jatkuva duaali 
Usein duaaliavaruudella tarkoitetaan kuitenkin topologista duaalia eli jatkuvaa duaalia  .
Se tarkoittaa niitä algebrallisen duaalin alkioita, jotka ovat jatkuvia. Se on siis jatkuvien lineaaristen funktioiden joukko (vektoriavaruus). Merkintöjä  ja  voidaan käyttää kummasta tahansa eri teksteissä.

Topologinen duaali on tietysti määritelty vain silloin, kun  ja  ovat topologisia avaruuksia, koska muuten jatkuvuutta ei ole määritelty.

 Duaalin ja primaalin heikot topologiat 
Joskus vektoriavaruudessa käytetään heikkoa topologiaa eli (jommankumman) duaalin indusoimaa topologiaa. Tämä on heikoin topologia, jossa kaikki kyseisen duaalin alkiot ovat jatkuvia. Tällöinkin pitää siis tietää, kummasta duaalista puhutaan.

Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa käytetään heikko-*-topologiaa eli avaruuden    siihen indusoimaa topologiaa.

 Ominaisuuksia 
Jotkin avaruudesta  tutut ominaisuudet pätevät kaikille vektoriavaruuksille. Esimerkiksi:

Duaalin duaali (eli biduaali)  on myös vektoriavaruus. Primaalin alkio  on tapana samaistaa biduaalin alkioon , joka määritellään  kaikilla . Tämä samaistuskuvaus  on lineaarinen ja injektiivinen eli (vektori)isomorfismi omalle kuvalleen . Jos V on Hilbertin avaruus (esimerkiksi ) ja duaalilla tarkoitetaan jatkuvaa duaalia, se kuva on koko .

Lineaarikuvaus  määrittää toisen lineaarikuvauksen 
kaavalla  jokaiselle duaalin  alkiolle .
Siis kun , selvästikin .
Jos  ja L ovat jatkuvia, selvästi myös  on jatkuva.

Lähteet

Luokka:Lineaarialgebra