Linnikin lause

Linnikin lause vastaa analyyttisen lukuteorian alalla Dirichlet’n aritmeettisia lukujonoja koskevan lauseen pohjalta nousevaan luonnolliseen kysymykseen. 

Olkoot a ja d sellaisia keskenään jaottomia positiivisia kokonaislukuja, että 1 ≤ a ≤ d.
Tällöin aritmeettinen lukujono

a + nd, 

missä n käy läpi kaikki positiiviset kokonaisluvut, sisältää Dirichlet'n lauseen mukaan äärettömän määrän alkulukuja. 

Olkoon p(a,d) näistä pienin kullakin a ja d.

Linnikin lauseen mukaan on tällöin olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut c ja L, että:



Lause on nimetty Juri Vladimirovitš Linnikin mukaan. Hän todisti sen vuonna 1944. Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 139–178Linnik, Yu. V. On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57) (1944), pages 347–368 Vaikka Linnikin todistuksen mukaan c ja L ovat efektiivisesti laskettavissa, hän ei esittänyt niille numeerisia arvoja.

Vakiota L kutsutaan Linnikin vakioksi. Seuraava taulukko kuvaa edistysaskeleita sen arvon laskemisessa.

 L ≤  Julkaisuvuosi  Tekijä 10000  1957  PanPan Cheng Dong On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957) pp. 311–313 5448  1958  Pan 777  1965  ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965) pp. 1868–1871 630  1971  Jutila 550  1970   JutilaJutila, M. A new estimate for Linnik's constant. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471 (1970) 8 pp. 168  1977  ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. Sci. Sinica 20 (1977), no. 5, pp. 529–562 80  1977  JutilaJutila, M. On Linnik's constant. Math. Scand. 41 (1977), no. 1, pp. 45–62 36  1977  GrahamApplications of sieve methods Ph.D. Thesis, Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1977 20  1981  GrahamGraham, S. W. On Linnik's constant. Acta Arith. 39 (1981), no. 2, pp. 163–179 (tehty ennen Chenin 1979 artikkelin ilmestymistä) 17  1979  ChenChen Jingrun On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II. Sci. Sinica 22 (1979), no. 8, pp. 859–889 16  1986  Wang 13.5  1989  Chen and LiuChen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. III. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 6, pp. 654–673Chen Jingrun and Liu Jian Min On the least prime in an arithmetical progression. IV. Sci. China Ser. A 32 (1989), no. 7, pp. 792–807  5.5  1992  Heath-BrownHeath-Brown, D. R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression, Proc. London Math. Soc. 64(3) (1992), pp. 265–338

Lisäksi Heath-Brownin tuloksessa vakio c on efektiivisesti laskettavissa. 

Tiedetään, että L ≤ 2 lähes kaikilla kokonaisluvuilla d.E. Bombieri, J. B. Friedlander, H. Iwaniec. "Primes in Arithmetic Progressions to Large Moduli. III", Journal of the American Mathematical Society 2(2) (1989), pp. 215–224.

Yleistetyn Riemannin hypoteesin avulla voidaan osoittaa, että 



missä  on Eulerin funktio. 

On myös esitetty olettamus, että:



  Lähteet  

Luokka:Analyyttinen lukuteoria