Kolmitulo

Kolmitulo on geometriassa, algebrassa ja useissa fysikaalisissa sovelluksissa yhteisnimi kahdelle kolmen vektorin väliselle laskutoimitukselle kolmiulotteisessa avaruudessa. Skalaarikolmitulossa tuloksi saadaan skalaari, vektorikolmitulossa sen sijaan uusi kolmiulotteisen avaruuden vektori.

 Skalaarikolmitulo 
Kolmen vektorin skalaarikolmitulo määritellään vektoreista yhden pistetulona molempien muiden ristitulon kanssa:

.

Voidaan osoittaa, että mille tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektoreille a, b ja c pätee:

,

joten yhtä hyvin skalaaritulo voitaisiin määritellä myös tulona

.

 Geometrinen tulkinta 

Geometrisesti kolmen samasta pisteestä alkavan vektorin skalaarikolmitulon 

itseisarvo on sama kuin näiden vektorien määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.

 Ominaisuuksia 
 Skalaarikolmitulo pysyy muuttumattomana sen muodostamien vektorien a, b ja c suoritetaan kiertovaihtelussa:

 Skalaarikolmitulon arvo pysyy muuttumattomana, jos sen operaattorit (piste ja risti) vaihdetaan keskenään muuttamatta kerrottavien vektorien järjestystä. Tämä seuraa edellisestä sekä pistetulon vaihdannaisuudesta:

 Jos mitkä tahansa kaksi kerrottavista vektoreista vaihdetaan keskenään, skalaarikolmitulon arvo muuttuu vastaluvukseen. Tämä seuraa siitä, että vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, jos kerrottavat vektorit vaihdetaan keskenään:

 Skalaarikolmitulo voidaan käsittää myös sen 3×3-matriisin determinatiksi, jossa kerrottavat vektorit ovat joko riveinä tai sarakkeina (matriisin determinanttihan on sama kuin sen transpoosin):

 Skalaarikolmitulo on nolla, jos ja vain jos sen muodostavat vektorit ovat samassa tasossa; silloinhan niiden määrittämä suuntaissärmiö on surkastunut tasokuvioksi, jonka tilavuus on nolla.
 Jos mitkä tahansa kaksi skalaarikolmitulon vektoria ovat yhtä suuret, skalaarikolmitulo on nolla:

 Myös:

 Tulo, joka saadaan kertomalla kahden vektorikolmikon skalaarikolmitulot keskenään, on yhtä suuri kuin sellaisen matriisin determinantti, jonka alkiona ovat näiden vektorien pistetulot seuraavasti:

Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on Gramin determinantti.
Skalaarikolmitulon ja sen muodostamien kolmen vektorin normien tuloa sanotaan polaariseksi siniksi:
,
ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].

Skalaarikolmitulo pseudoskalaarina 

Vaikka skalaarikolmitulon itseisarvo osoittaa vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden, se itsessään on etumerkillinen luku, ja sen etumerkki riippuu avaruuden orientaatiosta ja näin ollen se muuttuu vasta­luvukseen, jos orientaatio käännetään, esimerkiksi pariteetti­muunnoksessa tai peilauksessa tason suhteen. Näin ollen skalaari­kolmi­tulo on itse asiassa pseudoskalaari.

Tämä liittyy siihen, että myös vektorien ristitulo vaihtuu vastavektorikseen pariteetti­muunnoksessa ja näin ollen se on itse asiassa pseudovektori. Kahden tavallisen (polaarisen) vektorin pistetulo on skalaari, mutta tällaisen vektorin ja pseudovektorin pistetulo on pseudoskalaari, ja näin ollen myös (polaaristen) vektorien skalaaritulo on pseudoskalaari.

Tavallisen vektorin ja pseudovektorin ristitulo on kuitenkin tavallinen (polaarinen) vektori. Näin ollen jos yksi skalaari­kolmi­tulossa mukana olevista vektoreista on pseudovektori, kolmitulo on normaali skalaari, ei pseudoskalaari.

Jos T on avaruuden aito rotaatio, on
,
mutta jos T on epäaito rotaatio, on

Skalaarikolmitulo skalaaritiheytenä 
Tarkkaan ottaen skalaari ei koordinaattien muunnoksessa muutu lainkaan. Jos esimerkiksi vektorit kerrotaan vakiolla 2, tämä vakio on sama, käytettiinpä suorakulmaisia tai pallo­koordinaatteja. Jos kuitenkin jokainen vektori muunnetaan matriisilla, niiden skalaari­kolmi­tulo tulee kerrotuksi tämän matriisin determinantilla, ja ellei muunnos ole rotaatio, tämä voi saada minkä tahansa reaalilukuarvon. Tämän vuoksi kolmitulo on tarkkaan ottaen katsottava skalaari­tiheydeksi.

Skalaarikolmitulo ulkoisena tulona
Ulkoisessa algebrassa ja geometrisessa algebrassa kahden vektorin ulkoinen tulo on bivektori, kun taas kolmen vektorin ulkoinen tulo on trivektori. Bivektori on suunnattu tasoalkio ja trivektori suunnattu tilavuusalkio samassa mielessä kuin vektori on suunnattu jana.

Kolmen vektorin a, b ja c, ulkoinen tulo

on trivektori, jonka itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarikolmitulo, toisin sanoen
,

ja se on samalla skalaarikolmitulon Hodgen duaali.  Koska ulkoinen tulo on liitännäinen, sulkumerkit voidaan tästä lausekkeesta jättää pois eikä ole merkitystä sillä, kumpi ulkoisista tuloista,  vai  , lasketaan ensin, joskin vektorien keskinäinen järjestys on merkityksellinen. Geometrisesti trivektori a ∧ b ∧ c vastaa vektorien a, b ja c määrittämää suuntaissärmiötä, kun taas bivektorit a ∧ b}},  ja  vastaavat niitä suunnikkaita, jotka ovat tämän särmiön sivuina.

 Skalaarikolmitulo fysiikassa 

Fysiikassa skalaarikolmitulo esiintyy muun muassa seuraavissa yhteyksissä:

 Tiettyyn pisteen kohdistuvan voiman vääntömomentti akselin suhteen on
,
 missä n on akselin suuntainen yksikkövektori, r voiman vaikutuspisteen paikkavektori akselilla olevan pisteen suhteen F vaikuttava voima.
 Magneettikentässä liikkuvan johtimen lyhyeen osaan indusoima sähkömotorinen voima eli lähdejännite dεi on
, 
 missä v on liikkuvan johtimen nopeus, dl johdinalkion pituus ja B magneettikentän magneettivuon tiheys.

 Vektorikolmitulo 
Kolmen vektorin vektorikolmitulo määritellään niistä yhden ristitulona molempien muiden ristitulon kanssa</ref name=LL />.  Samoille vektoreille a, b ja c voidaan määritellä kaksi vektorikolmituloa, 
 ja
, 

ja koska vektorien ristitulo ei ole liitännäinen, nämä ovat yleensä eri vektoreita. Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin a nähden ja vektorien b ja c määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien a ja b määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria c' vastaan.

Vektorikolmitulolle pätee kolmitulon kehityskaava,

joka tunnetaan myös Lagrangen kaavana, joskin samaa nimeä käytetään useista muistakin kaavoista.  Joseph Louis Lagrange ei tosin käyttänyt vektorien algebrallisena tulona määriteltyä ristituloa, mutta hän käytti niiden komponenttien avulla yhtäpitävällä tavalla määriteltyä lauseketta ja muodosti niiden avulla vastaavan yhtälön.

Vaihtoehtoisesti kehityskaava voidaan esittää myös muodossa 
mihin liittyy muistisääntö: "BAC − CAB", englannin kielessä ikään kuin “back of the cab”, "rattaiden takapää".

Koska vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, kun sen tekijät vaihdetaan keskenään, tämä kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa

Lagrangen kaavasta seuraa edelleen, että vektorikolmitulolle pätee:

mikä on ristitulon Jacobin identiteetti.  Niin ikään pätee:

Nämä kaavat ovat hyvin käyttökelpoisia fysiikassa, jossa niillä voidaan yksinkertaistaa vektoreilla suoritettavia laskutoimituksia.

Muodollisesti aivan vektoritulon kehityskaavan kaltainen sääntö pätee vektorianalyysissa myös, kun vektorikolmitulon kaksi ensimmäistä vektoria korvataan nablaoperaattorilla:

Koska  merkitsee skalaarifunktion gradienttia,  vektorifunktion divergenssiä ja  sen roottoria, voidaan tämä kirjoittaa myös muotoon:

.

Kehityskaavan todistus 

Vektoritulon kehityskaava eli Lagrangen kaava voidaan todistaa seuraavasti:

Ristitulon  -akselin suuntainen komponentti saadaan seuraavasti:

Vastaavasti sen - ja -akselien suuntaiset komponentit ovat:

Yhdistämällä nämä komponentit saadaan:

 Vektorikolmitulo fysiikassa 

Fysiikassa vektorikolmitulo esiintyy muun muassa pyörivässä koordinaatistossa olevaan kappaleeseen kohdistuvan sentrifugaalivoiman lausekkeessa:
,
missä ω on koordinaatiston kulmanopeus ja r'' kappaleen etäisyys pyörimisliikkeen keskipisteestä.

Edellä esitettyä kehityskaavan nablaoperaattoria koskevaa muotoa käytetään johdettaessa Maxwellin yhtälöistä sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälö.

 Tulkintoja 

 Tensorilaskenta 
Tensorilaskennassa vektorien kolmitulot voidaan esittää Levi-Civita-symbolin avulla:

and

jotka viittaavat tuloksena saadun vektorin math>i</math>:nteen komponenttiin. Tätä voidaan yksinkertaistaa suorittamalla Levi-Civita-symbolille kontraktio,  
missä  on Kroneckerin delta (, kun  and  kun ) ja  yleistetty Kroneckerin delta.  Tämä identiteetti voidaan päätellä siitä, että indeksi  summautuu niin, että jäljelle jäävät vain  ja . Ensimmäisessä termissä asetetaan  ja näin ollen . Vastaavasti toisessa termissä asetetaan  ja näin ollen .

Palaamalla vektorikolmituloon saadaan

 Vectorianalyysi 

Tarkastellaan vektorikentän  vuo­pinta­integraalia parametri­muodossa määritellyn pinnan  yli:
. 
Tämän pinnan yksikkönormaalivektori  on 
, 
mistä seuraa, että  on skalaarikolmitulo.

 Lähteet 

Luokka:Lineaarialgebra
Luokka:Analyyttinen geometria