Lattia- ja kattofunktio

Lattia- ja kattofunktio ovat kaksi matematiikassa ja tietojenkäsittelytieteessä käytettävää funktiota, jotka muuntavat mielivaltaisen reaaliluvun kokonaisluvuksi.Ronald Graham, Donald Knuth ja Oren Patashnik. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".

Nimet "katto" (ceiling) ja "lattia" (floor) sekä vakiintuneet merkintätavat esitti ensimmäisenä Kenneth E. Iverson vuonna 1962. Kenneth E. Iverson. "A Programming Language". Wiley, 1962.
 Lattiafunktio 

Lattiafunktio reaaliluvusta x, joka merkitään  tai floor(x), palauttaa suurimman kokonaisluvun, joka on pienempi tai yhtäsuuri kuin x.
Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:

Esimerkiksi floor(2,9) = 2, floor(−2) = −2 ja floor(−2,3) = −3. 

Positiivisilla luvuilla x funktiota floor(x) voidaan kutsua myös x:n kokonaislukuosaksi. Funktio  (myös x mod 1) on x:n desimaaliosa. 

 Kattofunktio 

Kattofunktio, jota merkitään  tai ceil(x), palauttaa pienimmän kokonaisluvun, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x.
Siis kaikille reaaliluvuille x pätee:


Esimerkiksi ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 ja ceil(−2,3) = −2.

 Lattiafunktion ominaisuuksia 
 Seuraava epäyhtälö on aina voimassa reaaliluvulle x :

Kun x ja n ovat positiivisia lukuja,

 Lattiafunktio on idempotentti: .
 Mille tahansa kokonaisluvulle k ja reaaliluvulle x,

 Luvun x perinteinen pyöristäminen voidaan ilmaista tavalla: floor(x + 0,5)
 Epänegatiivisilla reaaliluvuilla x pätee x = floor(x) + frac(x), missä frac(x) on x:n desimaaliosa
 Lattiafunktio ei ole jatkuva, vaan puolijatkuva funktio. Vakiofunktiona sen derivaatta on nolla jokaisessa pisteessä jotka eivät ole kokonaislukuja.
 Jos x on reaaliluku ja n on kokonaisluku, pätee n ≤ x jos ja vain jos n ≤ floor(x).
 Reaalilukujen x, jotka eivät ole kokonaislukuja, lattiafunktio voidaan esittää Fourier-esityksenä:

 Jos m ja n ovat keskenään jaottomia lukuja, niin

 Jokaisen positiivisen kokonaisluvun k numeroiden määrä määritellään

 Kattofunktion ominaisuuksia 
 Voidaan näyttää, että 

sekä

 Jokaiselle kokonaisluvulle k pätee


  Lähteet  

Luokka:Erikoisfunktiot