Vaihdannainen kaavio

Vaihdannainen kaavio on kategoriateoriassa ja monilla muilla matematiikan osa-alueilla käytetty käsite, joka kuvaa tilannetta, jossa kaikki kahden pisteen väliset polut johtavat samaan tulokseen. Vaihdannainen kaavio on keskeinen työkalu matemaattisten rakenteiden yhteensopivuuden kuvaamisessa.

 Merkintöjä 
 Yleiset merkinnät 
 Pisteitä merkitään yleensä isoilla kirjaimilla tai vain pistesymboleilla, kun niitä ei haluta nimetä.
 Nuolia merkitään tavallisilla nuolilla, mutta niitä voidaan täsmentää eräin merkinnöin:
 Injektio 
 Surjektio 
 Bijektio 
 Katkoviivaa käytetään, kun halutaan todistaa kyseisen nuolen olemassaolo tai sitä ei tunneta. Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää nuolen päällä merkintää .
 Huutomerkki nuolen päällä tarkoittaa, että nuoli on yksikäsitteinen.

 Vaihdannaisuus 
Vaihdannaisuutta ei yleensä merkitä erikseen kaavioihin, vaan se mainitaan tekstissä. Tavallisia ilmaisuja ovat:
 "Seuraava kaavio on vaihdannainen"
 "Kaavio kommutoi"

 Määritelmä 
Olkoot A ja B kaavion kaksi mielivaltaista pistettä. Jos nuolten liittäminen kaikkia mahdollisia niiden välisiä polkuja pitkin antaa saman tuloksen, niin kaaviota sanotaan vaihdannaiseksi.

Tarkemmin sanottuna, jos pisteestä A pisteeseen B on useampi polku, jotka koostuvat eri nuolten yhdistelmistä, kaavio on vaihdannainen täsmälleen silloin, kun kaikkien näiden polkujen nuolten liitokset ovat samat.

 Esimerkkejä 
 Yksinkertaiset kolmio- ja neliökaaviot 
Vasemmanpuoleisessa kaaviossa vaihdannaisuus tarkoittaa, että  ja oikeanpuoleisessa, että .
 175px|class=skin-invert 150px|class=skin-invert

 Merkitys matematiikassa 
Vaihdannaiset kaaviot ovat keskeinen työkalu monilla matematiikan osa-alueilla:
 Kategoriateoriassa vaihdannaiset kaaviot esiintyvät lähes kaikissa määritelmissä ja todistuksissa. Esimerkiksi luonnollisen muunnoksen määritelmä vaatii tiettyjen kaavioiden vaihdannaisuutta.
 Algebrassa vaihdannaiset kaaviot kuvaavat homomorfismien yhteensopivuutta. Esimerkiksi ryhmien ja renkaiden teorioissa vaihdannaiset kaaviot osoittavat, että eri kuvausten kautta kulkeminen säilyttää rakenteen.
 Topologiassa vaihdannaiset kaaviot ilmaisevat jatkuvien kuvausten yhteensopivuutta ja ovat tärkeitä esimerkiksi perusryhmien teoriassa.

 Vaihdannaisuuden tarkistaminen 
Käytännössä kaavion vaihdannaisuus tarkistetaan osoittamalla, että jokainen mahdollinen "neliö" tai "silmukka" kaaviossa on vaihdannainen. Usein riittää tarkistaa tietyt perusneliöt, joista koko kaavion vaihdannaisuus seuraa.

Jos kaaviossa on n pistettä ja useita polkuja niiden välillä, vaihdannaisuuden tarkistaminen voi olla monimutkaista. Onneksi monet vaihdannaisuudet seuraavat automaattisesti toisista: jos kaavion tietyt osat ovat vaihdannaisia ja nuolet toteuttavat tiettyjä ehtoja (kuten ylinuolien rakennetta säilyttävät ominaisuudet), myös koko kaavio on vaihdannainen.

 Katso myös 
Kaavio (kategoriateoria)
Kategoriateoria
Ylinuoli
Luonnollinen muunnos

 Lähteet 

 Viitteet 

Aiheesta muualla

Luokka:Kategoriateoria
Luokka:Algebra