Senaarijärjestelmä

Senaarijärjestelmä (kuusijärjestelmä) on lukujärjestelmä, jonka kantaluku on 6. Lukujen esittämiseen käytetään numeroita 0–5. Kuusijärjestelmän lukuja merkitään alaindeksillä 6.

+ Senaarijärjestelmän pieni kertotaulu2345102 4  10  12  14  203 10  13  20  23  304 12  20  24  32  405 14  23  32  41  5010 20  30  40  50  100

 Alkuluvut senaarijärjestelmässä 

Kuusijärjestelmää sopii hyvin esimerkiksi alkulukujen tutkimiseen, koska kaikki alkuluvut, paitsi luvut 2 ja 3, päättyvät järjestelmässä joko numeroon 1 tai 5. Toisin sanoen, jos p on alkuluku, niin p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6).

Yllä oleva ominaisuus todistetaan kongruenssin ominaisuuksien perusteella. Nimittäin jos x ≡ a (mod n), niin x = k n + a, missä x, a, k, n ovat tiettyjä kokonaislukuja.

Tarkastellaan nyt alkulukua p modulo 6.

Ensinnäkin p ei ole parillinen. Näin ollen mikään ehdoista p ≡ 0 (mod 6), p ≡ 2 (mod 6) tai p ≡ 4 (mod 6) ei ole voimassa, koska muuten voisi esimerkiksi olla p = 6k + 4 = 2(3k + 2) jollain kokonaisluvulla k osittelulain nojalla.

Toisaalta tiedetään esimerkeistä, että on olemassa alkulukuja, jotka toteuttavat joko yhtälön p ≡ 1 (mod 6) tai p ≡ 5 (mod 6). Riittää siis tarkastella vielä tapausta p ≡ 3 (mod 6).

Jos p ≡ 3 (mod 6), niin p = 6k + 3 = 3(2k + 1) jollain k, jälleen osittelulain perusteella. Toisin sanoen, on olemassa alkuluku p, joka on jaollinen luvulla 3, joten p ei ole alkuluku. Tämä on ristiriita, joten oletuksen p ≡ 3 (mod 6) täytyy olla väärä ja alkuperäinen väite tosi. M.O.T. 

Huomautettakoon, että kaikki senaarijärjestelmässä numeroihin 1 tai 5 päättyvät luvut eivät kuitenkaan ole alkulukuja. Esimerkiksi luku 25 = 416 on neliöluku, eikä siis alkuluku. Luku 7775 = 555556 on puolestaan jaollinen 25:llä, eikä sekään näin ollen ole alkuluku.

 Murtoluvut 

+ Murtolukujen vertailua kymmen- ja senaarijärjestelmissä Murtoluku  Kymmenjärjestelmä  Senaarijärjestelmä 1:2    1:3    1:4    1:5    1:6    1:7    1:8    1:9    1:10    1:11    1:12    1:13    1:14    1:15    1:16   

Luokka:Lukujärjestelmät