Tilastollinen tunnusluku

Tilastollinen tunnusluku (myös avainluku tai suure) on otoksen muunnos reaaliluvuksi tai reaalilukujen muodostamaksi vektoriksi. Tunnusluvuksi kutsutaan sekä muunnoksen avulla muodostettua satunnaismuuttujaa että sen saamaa arvoa.Cox, D. R., Hinkley, D. V. (1979): Theoretical Statistics, 18. Chapman and Hall, London. Matemaattisesti ilmaistuna tunnusluku on siis kuvaus , missä  on otoksen koko ja  on tunnusluvun ulottuvuus.

Käyttötarkoituksia

Tunnusluvun tarkoituksena on tiivistää otoksen sisältämä informaatio havainnolliseen muotoon, tyypillisesti yhdeksi luvuksiLindgren, B. W. (1975): Basic Ideas of Statistics, 88. Macmillan Publishing, New York.. Tunnuslukuja voidaan käyttää otoksen kuvailuunMoore, D. S., McCabe, G. P., Craig, B. A. (2009): Introduction to the Practice of Statistics, Sixth Edition, 30–44. W. H. Freeman and Company, New York., mutta niille on muitakin käyttötarkoituksia. Muun muassa merkitsevyystestien testisuureet ja tuntemattomien parametrien estimointiin liittyvät estimaattorit ovat tunnuslukujaFisz, M. (1967): Probability Theory and Mathematical Statistics, Third Edition, 425–499. Wiley, New York.. Tunnusluvun jakauman määrääminen on yksi tilastotieteen keskeisistä ongelmistaFisz, M. (1967): Probability Theory and Mathematical Statistics, Third Edition, 337. Wiley, New York..

Tavanomaisia tunnuslukuja

Yleisimmin käytettyjä tunnuslukuja ovat aineiston sijaintia kuvaavat keskiluvut sekä aineiston vaihteluun liittyvät hajontaluvutLindgren, B. W. (1975): Basic Ideas of Statistics, 89. Macmillan Publishing, New York.. Keskilukuja ovat esimerkiksi aritmeettinen keskiarvo ja mediaani. Hajontalukuihin lukeutuvat muun muassa minimi, maksimi, ala- ja yläkvartiili ja varianssi sekä sen neliöjuuri eli keskihajonta.

Tyhjentävyys

Tunnuslukua kutsutaan tyhjentäväksi, jos se sisältää kaiken otoksesta saatavan tiedon. Muodollisesti kyse on siitä, että otoksen yhteisjakauma ehdollistettuna kyseisellä tunnusluvulla ja jakauman parametreilla ei riipu ollenkaan parametreista. Mikäli tunnusluku on kaikista mahdollisista tyhjentävistä tunnusluvuista yksinkertaisin, se on minimaalisesti tyhjentävä. Esimerkiksi otos itsessään on aina tyhjentävä tunnusluku, mutta se ei lainkaan tiivistä otoksesta saatavaa tietoa, joskin joissakin tapauksissa se on silti myös minimaalisesti tyhjentävä tunnusluku. DeGroot, M. H. (1986): Probability and Statistics, Second Edition, 357–367. Addison-Wesley Publishing, Reading.

Graafinen esittäminen

Tunnusluvuilla on usein olemassa jonkinlainen graafinen vastine, kuten niin sanottu viiksilaatikkoMoore, D. S., McCabe, G. P., Craig, B. A. (2009): Introduction to the Practice of Statistics, Sixth Edition, 6–22, 36–38. W. H. Freeman and Company, New York..

Käytettäköön esimerkkinä 30 havainnon otosta, joka on saatu R-ohjelmalla simuloimalla havainnot eksponenttijakaumasta parametrin arvolla . Otoksen havainnot ovat (kolmen desimaalin tarkkuudella)
0.495, 0.121, 2.152, 2.562, 0.074, 1.362, 0.192, 0.042, 0.336, 2.641, 1.257, 2.000,
0.871, 0.517, 0.951, 0.093, 0.340, 0.688, 1.640, 0.443, 0.552, 0.929, 0.818, 2.327,
0.514, 2.092, 0.466, 0.612, 0.187 ja 0.507.

Otoksen minimi , alakvartiili , mediaani  , yläkvartiili  ja maksimi  . Tällöin tunnuslukua  vastaa alla oleva viiksilaatikko.

Lähteet

Luokka:Tilastotiede