Pinta (geometria)

Määritelmä 

Olkoon  topologinen avaruus. Tällöin joukon  pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus , missä joukko  on yhtenäinen. 

Kuvauksen  kuvajoukkoa  kutsutaan pinnan  kuvaajaksi. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

 :n pinnat 

Euklidisen avaruuden  pintoja kutsutaan yleensä parametrisoiduiksi pinnoiksi. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan  kaavan jatkuvien funktioiden  avulla siten, että pisteessä  pinnan  kaava 

.

Funktioita  kutsutaan pinnan  koordinaattifunktioiksi.

Oletetaan, että  on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden  osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan  osittaisderivaatat pisteessä  ovat funktiot ,

.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan  derivaatan. Pinnan  derivaattafunktio on funktio ,

.

Derivaattafunktion kaavaa  kutsumme lyhyesti derivaataksi pisteessä . Lisäksi sanomme, että pinta on derivoituva jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos , niin lineaarinen funktio ,

,

on likimääräisesti sama kuin itse pinta  pisteen  läheisyydessä. Funktiota  kutsutaan pinnan  tangenttitasoksi pisteessä .

:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

 Lähteet 

 Kirjallisuutta 


Luokka:Analyyttinen geometria
*