Maxwellin–Boltzmannin jakauma

Maxwellin–Boltzmannin jakauma on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.

 Yleinen Maxwellin jakauma 

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa

missä

 π on vakio pii
  on Neperin luku
  on vakio, joka on suurempi kuin 0
  on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

missä  on virhefunktio.

 Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulle 


Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

eli



tai

missä

  on nopeudella  liikkuvien kaasumolekyylien osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
  on keskimääräinen molekyylimassa kilogrammoina
  on Boltzmannin vakio 1,3806503·10-23 JK-1 
  on lämpötila Kelvineinä
  on kaasumolekyylin vauhti 
  on yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
  on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla

 Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksia 

Yleisin kaasuosasen nopeus  lasketaan kaavasta

missä

  Boltzmannin vakio
  lämpötila
  molekyylimassa
  yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
  yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

 Kvanttiteoreettiset jakaumat 

Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle.  Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Silloin kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon, energiatilojen miehitys vastaa Boltzmannin jakaumaa. Nopeusjakauma, eli Maxwellin-Boltzmannin jakauma, puolestaan voidaan johtaa energiajakaumasta.

 Katso myös 
 Ideaalikaasu
 Normaalijakauma

Lähteet


Aiheesta muualla

 Maxwellin jakauma MathWorld 

Luokka:Kaasulait
Luokka:Statistinen mekaniikka
Luokka:Todennäköisyysjakaumat