Säännöllinen monikulmio

Säännöllinen monikulmio on geometriassa konveksi monikulmio, joka on samalla sekä syklinen monikulmio että tangentiaalinen monikulmio, ja jolla erityisesti kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Säännöllinen monikulmio on siis tasasivuinen ja tasakulmainen. Säännöllisestä muodosta johtuen sillä on olemassa useita symmetria-akseleita ja keskipiste. Säännöllisten monikulmioiden avulla etsittiin antiikin aikana piille likiarvoja.

Säännöllisiä monikulmioita ovat esimerkiksi seuraavat monikulmiot:

 Nimityksiä 
Monikulmioita nimitetään lukusanan avulla esimerkiksi viisikulmioksi. Yleistäen, jos monikulmiossa on n kulmaa, sitä voidaan kutsua n-kulmioksi. Tällaisella säännöllisellä monikulmiolla on siten n kulmaa, kärkeä ja sivua. Kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan saman suuruisia, joten monikulmio on tasakulmainen, ja kaikki sivut ovat saman pituisia, joten se on myös tasasivuinen.

Säännöllinen monikulmio voidaan ajatella säännölliseksi sykliseksi monikulmioksi, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä säännöllisin välein. Ympyrää kutsutaan monikulmion ympäri piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin ulkoympyräksi. Ulkoympyrän keskipiste on samalla monikulmion symmetriapiste, jota voidaan kutsua myös monikulmion keskipisteeksi. Monikulmion kärjet sijaitsevat ison säteen R etäisyydellä keskipisteestä ja säteillä voidaan jakaa monikulmio tasakylkisiin kolmioihin, joita on yhtä monta kuin sivujakin. Kolmioita nimitetään keskuskolmioiksi. Keskipisteen ja sivun välistä etäisyyttä kutsutaan apoteemaksi eli sisään piirretyn monikulmion sivun etäisyydeksi.

Säännöllinen monikulmio voidaan myös ajatella säännölliseksi tangentiaaliseksi monikulmioksi, jonka sivut sivuavat tangentteina monikulmion sisälle piirrettyä ympyrää. Tätä ympyrää voidaan kutsua monikulmion sisälle piirretyksi ympyräksi eli lyhyemmin sisäympyräksi. Sisäympyrän sädettä r kutsutaan pieneksi säteeksi ja sen arvo on sama kuin edellä mainitulla apoteemalla.

 Ominaisuuksia  
Säännölliset monikulmiot perivät kaikki yleisen monikulmion ominaisuudet. Niillä on säännöllisyydestä johtuen paljon erityisiä ominaisuuksia:
 Säännöllisen monikulmion ympäri ja sisälle voidaan aina piirtää edellä kuvatulla tavalla ympyrät.
 Jos annetaan kulmien lukumäärä ja piirin pituus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on suurin pinta-ala.
 Jos annetaan kulmien lukumäärä ja pinta-alan suuruus, kaikista näin muodostetuista monikulmioista säännöllisellä monikulmiolla on lyhin piiri.
 Jos säännöllisen monikulmion sisältä valitaan mielivaltaisesti sisäpiste, niin sisäpisteestä sivuille piirrettyjen kohtisuorien yhteispituus on sama kuin "apoteema kertaa n".

Seuraavissa kaavojen suureet tarkoittavat: s on sivun pituus, a on apoteema, p on piiri, A on  ala, n on kulmien lukumäärä,  on sisäkulman suuruus.

 Kulmat 
 Sisäkulma on .
 Ulkokulma eli sivun ja viereisen sivun jatkeen välinen kulma 
 keskuskolmion keskuskulma β on yhtä suuri kuin ulkokulma: 

 Sivunpituus 
Sivun pituus voidaan määrittää trigonometristen funktioiden avulla.

Sivun pituus lasketaan: 

Tietyillä kulmilla sivun pituus voidaan määrittää tarkastikin:
 tasasivuinen kolmio:  
 neliö:  
 säännöllinen kuusikulmio:  

 Sisä- ja ulkoympyrän säde 
Kummallekin ympyrälle on omat trigonometriset kaavansa:
 Sisäympyrän säde:  
 Ulkoympyrän säde:  
Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan säde ilmoittaa tarkastikin:
 tasasivuinen kolmio:  ja  
 neliö:  ja  
 säännöllinen viisikulmio:  ja  
 säännöllinen kuusikulmio:  ja  

 Pinta-ala 
Pinta-ala voidaan ilmaista monella eri tavalla. Yksinkertainen geometrinen tapa on kertoa puolipiiri apoteemalla


Toisaalta se voidaan laskea trigonometriseti: 
.

Koska trigonometriset funktiot antavat tarkkoja arvoja tietyillä kulmilla, voidaan pinta-ala ilmoittaa tarkastikin:
 tasasivuinen kolmio:  
 neliö:  
 säännöllinen viisikulmio:  
 säännöllinen kuusikulmio:  

 Konstruktiot 
Geometriassa on antiikin ajoista lähtien yritetty konstruoida säännöllisiä monikulmioita pelkästään harppia ja viivainta käyttämällä. Jo se kysymys, onko se ylipäätään mahdollista, on ollut vaikea kysymys vastattavaksi. Saksalainen Carl Gauss todisti, että sellaiset säännölliset n-kulmiot ovat konstruoitavissa, jossa  (jossa ), tai  (jossa  on alkuluku). Ensimmäisen säännön mukaan konstruoitavia n-kulmioita ovat 4-, 8-, 16-, 32-, ... ja niin edelleen. Toisen säännön mukaan näiden lisäksi voidaan konstruoida vielä 3-, 6-, 12-, 24-, ... sekä 5-, 10-, 20-, 40-, ... sekä 17-, 34-, 68-, ... sekä 257- ja 65537-kulmioita ja niin edelleen.

 Historiaa: Piin määritys 
pienoiskuva|Arkhimedeen tapa laskea piin arvo käyttämällä säännöllisiä monikulmioita ympyrän sisä- ja ulkopuolella. Kun kulmien lukumäärää kasvatettiin, saatiin monikulmioiden piirin pituuksiksi arvoja, joiden välissä 2πr tuli olla.
pienoiskuva|N-kulmioiden kulmia lisättiin puolittamalla edellisen laskun monikulmion keskuskulmaa. Lähtien 4-kulmiosta liikkeelle jatkettiin 8-, 16-, 32- ja 64-kulmiolla. Samaa tehtiin tahdissa ympyrää ympäröivälle n-kulmiolle.
Antiikin suureen ajattelijaan Arkhimedeeseen on liitetty piin arvon laskeminen. Hän piirsi ympyrän ympärille ja sisäpuolelle n-kulmiot, joiden piirien pituudet hän laski. Ulkopuolen piirin pituus oli luonnollisesti pitempi kuin ympyrän kehä, ja sisäpuolisen n-kulmion piiri sitä pienempi. Piin likiarvoksi saatiin tällä menetelmällä piin ylä- ja alarajan keskiarvo. Kun kulmien lukumäärää n suurennettiin puolittamalla edellisen kuvion kulmia, tarkentui piin likiarvo. Piin määrittämiseksi on keskitty lukuisia muitakin menetelmiä, joten tällä menetelmällä on enää lähinnä historiallinen arvo.

 Vertailutaulukko 
: Kulmaluku
: Sivua vastaava keskuskulma
: Sivunpituus
: Ulkoympyrän säde
: Sisäympyrän säde 
: Sisäkulma
: Pinta-ala

  Nimitys      Kuvio 2   Jana               180°    2,0000  0,0000    0     0,0000  50px 3   Kolmio             120°    1,7321  0,5000   60     1,2990  50px 4   Nelikulmio         90°     1,4142  0,7071   90     2,0000  50px 5   Viisikulmio        72°     1,1756  0,8090  108     2,3776  50px 6   Kuusikulmio        60°     1,0000  0,8660  120     2,5981  50px 7   Seitsemänkulmio    51,43°  0,8678  0,9010  128,57  2,7364  50px 8   Kahdeksankulmio    45°     0,7654  0,9239  135     2,8284  50px 9   Yhdeksänkulmio     40°     0,6840  0,9397  140     2,8925  50px 10  Kymmenenkulmio     36°     0,6180  0,9511  144     2,9389  50px 11  11-kulmio          32,73°  0,5635  0,9595  147,27  2,9735  50px 12  12-kulmio          30°     0,5176  0,9659  150     3,0000  50px 13  13-kulmio          27,69°  0,4786  0,9709  152,31  3,0207  50px 14  14-kulmio          25,71°  0,4450  0,9749  154,29  3,0372  50px 15  15-kulmio          24°     0,4158  0,9781  156     3,0505  50px 16  16-kulmio          22,5°   0,3902  0,9808  157,5   3,0615  50px 17  17-kulmio          21,18°  0,3675  0,9830  158,82  3,0706  50px 18  18-kulmio          20°     0,3473  0,9848  160     3,0782  50px 19  19-kulmio          18,95°  0,3292  0,9864  161,05  3,0846  50px 20  20-kulmio          18°     0,3129  0,9877  162     3,0902  50px 21  21-kulmio          17,14°  0,2981  0,9888  162,86  3,0949  50px 22  22-kulmio          16,36°  0,2846  0,9898  163,64  3,0991  50px 23  23-kulmio          15,65°  0,2723  0,9907  164,35  3,1027  50px 24  24-kulmio          15°     0,2611  0,9914  165     3,1058  50px 25  25-kulmio          14,4°   0,2507  0,9921  165,6   3,1086  50px 26  26-kulmio          13,85°  0,2411  0,9927  166,15  3,1111  50px 27  27-kulmio          13,33°  0,2322  0,9932  166,67  3,1133  50px 28  28-kulmio          12,86°  0,2239  0,9937  167,14  3,1153  50px 29  29-kulmio          12,41°  0,2162  0,9941  167,59  3,1171  50px 30  30-kulmio          12°     0,2091  0,9945  168     3,1187  50px

  Lähteet  



 Lähteet 

 Aiheesta muualla 



Luokka:Geometria
Luokka:Monikulmiot