Planckin yksiköt

Planckin yksiköt on Max Planckin vuonna 1899 esittelemä luonnollinen yksikköjärjestelmä, joka perustuu neljään seuraavassa taulukossa esitettyyn luonnonvakioon.

 Vakio Symboli Dimensio Suuruus SI-yksikköinä valonnopeus  L T −1 299 792 458 m/s gravitaatiovakio  M−1L3T −2 6,67428 · 10-11 m3 kg−1 s−2 Redusoitu Planckin vakio  ML2T −1 1,054571628 · 10-34 Js Boltzmannin vakio  ML2T −2Θ−1 1,380649 · 10-23 J/K

Planckin yksikköjärjestelmässä kaikki nämä luonnonvakiot saavat arvon 1 yksikköjärjestelmän perusyksiköissä esitettynä. Vakiot liittyvät fysiikan perusteorioihin: c suhteellisuusteoriaan, G Newtonin gravitaatioteoriaan ja yleiseen suhteellisuus­teoriaan, ħ kvanttimekaniikkaan ja kB statistiseen mekaniikkaan ja termodynamiikkaan. Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksin­kertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. 

Planckin yksiköt eivät alkuperäisessä muodossaan sisällä sähkömagneettisia yksiköitä, esimerkiksi varauksen tai sähkövirran yksiköitä. Eräät yksikköjärjestelmän laajennokset määrittelevät sähkömagneettiset yksiköt siten että joko tyhjiön permittiivisyys ε0 tai 4πε0 saa arvon 1.

 Perusyksiköt 

Mittayksikköjärjestelmissä suureet esitetään vertaamalla niitä johonkin referenssisuureeseen eli yksikköön. Esimerkiksi SI-järjestelmässä pituuden referenssisuure on pituuden perusyksikkö metri. Luonnollisissa järjestelmissä, kuten Planckin järjestelmässä luonnonvakioita vastaavien suureiden referenssinä käytetään luonnonvakioita itseään, jolloin luonnonvakiot saavat yksikköjärjestelmän koherenteissa yksiköissä ilmaistuna arvon 1. Muut järjestelmän yksiköt rakennetaan luonnonvakioista peruslaskutoimitusten avulla. Planckin järjestelmän perussuureet ovat pituus, aika, massa ja lämpötila. Järjestelmän mukaista pituuden yksikköä sanotaan Planckin pituudeksi, aika­yksikköä Planckin ajaksi ja niin edelleen.

+Perussuureiden Planckin yksiköt Suure Yksikkö Lauseke perusvakioiden avulla Suuruus SI-järjestelmän yksikköinä ja sen epätarkkuusFundamental Physical Constants from NIST Pituus Planckin pituus  1,616252(81) · 10-35 m Aika Planckin aika  5,39124(27) · 10-44 s Massa Planckin massa  2,17644(11) · 10-8 kg Lämpötila Planckin lämpötila  1,415 · 1032 K

 Johdannaisyksiköt 

Perusyksiköistä voidaan johtaa yksiköt myös johdannaissuureille. Muutamien johdannais­suureiden yksiköiksi saadaan Planckin järjestelmässä jokin edellä luetelluista perus­vakioista.

Johdannaissuureiden yksiköitä ovat esimerkiksi seuraavat:

 Suure Yksikkö Lauseke Suuruus SI-yksikköinä Pinta-ala Planckin pinta-ala  2,61227 · 10-70 m2 Tilavuus Planckin tilavuus  4,22419 · 10-105 m3 Tiheys Planckin tiheys  5,1 · 1096 kg/m3 Nopeus Valonnopeus c 299 792 458 m/s Liikemäärä Planckin liikemäärä  6,52485 Ns Pyörimismäärä Redusoitu Planckin vakio  1,054571628 · 10-34 Js Voima Planckin voima  1,210 · 1044 N Paine Planckin paine  4,635 · 10113 P Energia Planckin energia  1,956 · 109 J Teho Planckin teho  3,629 · 1052 W Lämpökapasiteetti ja entropia Boltzmannin vakio k 1,380649 · 10-23 J/K

 Merkitys 

Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä on syvällinen merkitys, sillä niiden avulla fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksin­kertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. Erityisen suuri merkitys niillä on kehiteltäessä yhtenäis­teorioita kuten kvanttigravitaation teoriaa. 

Luonnollisten yksiköiden avulla eräät fysiikan perus­kysymykset on myös voitu muotoilla uudelleen. Monet fyysikot kuten Richard Feynman ja Paul Dirac ovat yrittäneet etsiä selitystä esimerkiksi sille, miksi gravitaatio on niin heikko, esimerkiksi kahden protonin välillä, on niin heikko verrattuna niiden väliseen sähköiseen voimaan. Gravitaation heikkoutta kuvaa dimensioton luku 

missä G on gravitaatiovakio, mp protonin massa,  redusoitu Planckin vakio ja c valonnopeus.  Koska näistä G, h ja c ovat perusvakioita, joiden arvo Planckin yksiköissä on 1, oikea kysymys ei Frank Wilczekin mukaan ole, miksi gravitaatio on niin heikko, vaan pikemminkin: miksi "Miksi protonin massa on niin pieni?".  Luonnollisten (Planckin) yksiköiden kannalta gravitaatiovakio on yksinkertaisesti yksi perusvakioista, kun taas protonin massa on hyvin pieni luku,  Itse asiassa luku N kuvaa gravitaatioon liittyvän sidosenergian osuutta protonin lepomassasta.

 Planckin yksiköt ja fysiikan perusyhtälöt 

Eri dimensiota olevia fysikaalisia suureita, kuten pituutta ja aikaa, ei voida suoraan verrata toisiaan. Teoreettisessa fysiikassa käytetään kuitenkin usein nondimensionalisaatioksi nimitettyä menetelmää, jolla eri suureet saadaan vertailu­kelpoisiksi ja joka perustuu oleellisesti Planckin yksikköihin.  Alla oleva taulukko osoittaa, miten Planckin järjestelmä yksin­kertaistaa monia fysiikan perus­yhtälöitä verrattuna niiden tavan­omaisiin, esi­merkiksi SI-yksiköissä esitettäviin muotoihin.

+Planckin yksiköillä yksinkertaistettuja fysiikan yhtälöitä Tavanomainen muoto Nondimensionalisoitu muoto Newtonin gravitaatiolaki    Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa    Massan ja energian ekvivalenssi suppeassa suhteellisuusteoriassa   Lämpöenergia hiukkasta ja vapausastetta kohti   Boltzmannin lauseke entropialle   Planckin relaatio energian ja kulmataajuuden välillä   Mustan kappaleen säteilyä koskeva Planckin laki   Stefanin-Boltzmannin vakio σ (määritelmä)Bekensteinin–Hawkingin lauseke mustan aukon entropialle Schrödingerin yhtälö   Schrödingerin yhtälö Hamiltonin operaattorin avulla   Diracin yhtälön kovariantti muoto

 Sähköyksiköt 

Planckin esittämässä muodossa yksikköjärjestelmä ei sisältänyt sähkösuureiden yksiköitä. Myöhemmin sille on esitetty laajennuksia, joissa joko Coulombin vakiolle  tai sähkövakiolle eli tyhjiön permittiivisyydelle   on annettu arvo 1. Edellisessä tapauksessa sähkö­varauksen yksiköksi saadaan
,
jälkimmäisessä
.

Kun Coulombin vakiolle on annettu arvo 1, on Planckin varaus 11,707 kertaa alkeis­varauksen suuruinen, mikä luku on sama kuin lukuarvo 11,70, mikä on sama kuin atomi­fysiikassa tärkeän hienorakennevakion  neliö­juuren käänteisarvo.  Tällöin muille sähkösuureille saadaan seuraavat yksiköt:

 Suure Yksikkö Lauseke Suuruus SI-yksikköinä Sähkövirta Planckin sähkövirta   3,479 · 1025 A Jännite Planckin jännite  1,0432 · 1027 V Resistanssi, impedanssi Planckin impedanssi  29,979 245 8 Ω Kapasitanssi Planckin kapasitanssi  1,7949 · 10-45F Magneettivuo Planckin magneettivuo  5,62 · 10-17 Wb

 Suuruusluokat 

Vain muutamat Planckin yksiköt ovat suuruudeltaan lähellä joitakin arkielämästäkin tuttuja vastaavien suureiden arvoja. Tällaisia ovat:
1 Planckin massa on noin 22 mikrogrammaa, suunnilleen tomuhiukkasen massa
1 Planckin liikemäärä on noin 6,5 kg m/s
1 Planckin energia on noin miljardi joulea tai 500 kilowattituntia.

Suurin osa Planckin yksiköistä kuitenkin on useita suuruusluokkia liian suuria tai liian pieniä mihinkään käytännön tarkoituksiin, minkä vuoksi Planckin järjestelmä soveltuu käytettäväksi ainoastaan teoreettisessa fysiikassa. Itse asiassa monien suureiden Planckin yksiköt vastaavat kyseisen suureen pienintä tai suurinta mahdollista tai nykyisen fysiikan mukaan mielekästä määrää. Esimerkiksi:

Nopeuden Planckin yksikkö on valonnopeus, joka suhteellisuusteorian mukaan on suurin mahdollinen signaalinopeus 
Nykyiset kosmologiset teoriat voivat kuvata vain sitä, mikä tapahtui Planckin epookin jälkeen, jolloin maailmankaikkeus oli yhden Planckin ajan ikäinen ja läpi­mitaltaan Planckin pituuden kokoinen ja sen lämpötila oli Planckin lämpötila. Sen tutkiminen, mitä tätä ennen tapahtui, edellyttäisi kvanttigravitaatiota koskevaa teoriaa, joka yhdistäisi kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuus­teorian, mutta sellaista teoriaa ei vielä ole.

Myöhemmin Moisey Markov on päätellyt, että Planckin massa on alkeis­hiukkasten massan teoreettinen yläraja, kun taas Planckin tiheys on aineen suurin mahdollinen tiheys. Stephen Hawkingin mukaan Planckin massa on myös mustan aukon massan alaraja, kun taas Planckin lämpötila on Andrei Saharovin mukaan korkein mahdollinen lämpötila. Planckin lämpötilassa kaikki fysiikan tuntemat symmetriat rikkoutuisivat ja kaikki perus­vuoro­vaikutukset yhdistyisivät yhdeksi voimaksi.

Nykyisen maailman­kaikkeuden koko Planckin yksiköissä on erittäin suuri, kuten seuraava taulukko osoittaa:

+Nykyinen maailmankaikkeus Planckin yksiköissä. Ominaisuus Likimääräinen lukuarvoPlanckin yksiköissä SI-yksiköissä Ikä 8,0 · 1060 tP 4,3 · 1017 s Näkyvän maailmankaikkeuden läpimitta 5.4 · 1061 lP 8.7 · 1026 m Näkyvän maailmankaikkeuden massa noin 1060 mP 3 · 1052 kg (vain tähdet luettuina) (1080 protonia, mitä joskus sanotaan Eddingtonin luvuksi) Kosmisen taustasäteilyn lämpötila 1,9 · 10−32 TP 2,725 K

Se seikka, että näistä luvuista monet ovat lähellä samaa suuruusluokkaa 1060, on mahdollisesti pelkkä yhteen­sattuma mutta on myös antanut muutamille teoreetikoille kuten Paul Diracille ja Arthur Stanley Eddingtonille aiheen kehitellä vaihto­ehtoisia fysikaalisia teorioita.  Tällaiset teoriat tunnetaan Diracin suurten lukujen hypoteesin nimellä, mutta valtaosa fyysikoita on hylännyt ne nimittäen niitä vähättelevästi numerologiaksi.

Lähteet
Viitteet

*