Reunanylityslause

Reunanylityslause on topologiaan liittyvä seuraava tulos: Olkoon  topologinen avaruus, osajoukko  yhtenäinen ja . Jos  kohtaa sekä :n että :n, niin  kohtaa myös :n reunan . 

 Todistus 

Merkitään  ja . Jos , niin . Sisäpisteen ja ulkopisteen määritelmästä seuraa  ja oletuksista seuraa . Nyt . Koska joukot  ja  ovat erillisiä, epätyhjiä ja :ssä avoimia, niin  on epäyhtenäinen. Tämä on ristiriita oletusten kanssa, joten täytyy päteä .

Vaihtoehtoinen todistus: 

Tehdään vastaoletus: joukko  ei kohtaa joukon  reunaa. Täten 

Olkoon 

Tällöin .

Nyt vastaoletuksen, sulkeuman määritelmän ja säännön 
 nojalla

Täten joukko  separoituu, joten se ei ole yhtenäinen. Ollaan päädytty ristiriitaan. 
Täten alkuperäinen väite on tosi. 

Lähteet

Luokka:Topologia