Idempotentti matriisi

Idempotentti matriisi on sellainen neliömatriisi, jolle

.

Esimerkiksi voidaan laskea, että

eli kyseinen matriisi on idempotentti. Jos matriisi A on idempotentti ja I on identiteettimatriisi, niin

 on idempotentti

on diagonalisoituva

:n ainoat ominaisarvot ovat nolla ja/tai yksi ja ominaisarvon 1 kertaluku on sama kuin :n aste.

Tässä merkintä  tarkoittaa kunnan K muodostamaa n-ulotteista vektoriavaruutta,  on A:n ydin ja  on A:n kuva. Geometrisesti idempotentit matriisit vastaavat projektioita avaruudesta jollekin sen aliavaruudelle. Esimerkiksi jos  on jokin :n vektori

,

eli edellisen esimerkin idempotentti matriisi kuvaa :n suoran -tasoon. Jos idempotentti matriisi on lisäksi itseadjungoitu, sen kuvaama projektio on ortogonaalinen.

 Ortogonaalisesti idempotentit matriisit  
Erityisen tärkeän joukon muodostavat ortogonaalisesti idempotentit matriisit. Nämä ovat sellainen joukko matriiseja , että kaikille joukon jäsenille pätee

aina kun . Jos lisäksi 

,

missä  on identiteettimatriisi sanotaan ortogonaalisesti idempotenttien matriisien muodostavan täyden joukon. Ortogonaalisilla idempotenteilla on seuraavat ominaisuudet:

 on ortogonaaliseti idempotentti.
Summa  on ortogonaalisesti idempotentti kaikilla .
Jos  niin myös  on ortogonaalisesti idempotentti.
Eräs täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on joukko , missä kukin  on sellainen matriisi, jonka päädiagonaalilla sijaitseva alkio  on ykkönen ja kaikki muut alkiot nollia.

Täysi joukko ortogonaalisesti idempotentteja matriiseja on keskeinen tekijä matriisien spektraliesityksissä ja spektraalihajotelmissa, sillä ne muodostavat hajotelmaa vastaavan matriisin generoiman alialgebran kannan.

Kirjallisuutta



Luokka:Matriisit