Fresnelin integraalit

Fresnelin integraalit ovat kaksi integraalia, jotka esiintyvät tutkittaessa aaltoliikkeen, tavallisimmin valon, lähikenttädiffraktiota eli Fresnel'n diffraktiota. Fresnelin integraalit ovat

sekä

Fresnelin integraalit ovat tyyppiä 0, 1 tai 2. http://www.mathworks.de/matlabcentral/fileexchange/28765-fresnels-and-fresnelc/content/Fresnel_Integrals/fresnelC.m. Tyypissä 1 integraalimerkin edessä käytetään kerrointa . Mikäli integraali määritetään sarjakehitelmällä tai numeerisesti integroimalla on se tyyppiä 1.

Näitä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja niitä pidetään siksi omina funktioinaan. Niille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmät

ja 

missä  tarkoittaa kertomaa.

Kun x on ääretön niin s(x)=0.5 ja c(x)=0.5.http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/frameindex.htm: Handbook of Mathematical Functions sivu 300

Kuvan integraalit on laskettu numeerisesti integroimalla. Fresnelin integraalit voi laskea tarkasti ja suoraan yhtälöllä, kun x on vähintään 7.5.

 Cornun spiraali 
pienoiskuva|Cornun spiraali eli klotoidi

Piirtämällä koordinaatistoon käyrä  saadaan käyrä, joka tunnetaan Cornun spiraalina eli klotoidina. Siitä käytetään myös nimitystä Eulerin spiraali keksijänsä Leonhard Eulerin mukaan. Muita klotoidin tutkijoita ovat mm. Marie Alfred Cornu, joka keksi klotoidin laskentakaavan. Klotoidissa käyrän kaarevuus muuttuu suoraviivaisesti käyrän mukana.

Sitä käytetään teiden ja rautateiden linjauksen suunnittelussa, sillä se on erityisen tehokas siirtymäkaaren muoto suoran ja ympyränkaaren välissä. Klotoidin kohdalla myös keskipakovoima muuttuu suoraviivaisesti.

Kaikki klotoidit ovat keskenään yhdenmuotoisia, erot selittyvät eriarvoisesta a parametrista. 
Symbolit:
   Kaarevuussäde   Ympyränkaaren säde klotoidin lopussa.   Klotoidin kulma alusta (Äärettömän suuri ) määrättyyn pisteeseen.    Täyden klotoidin kulma   Pituus mitattuna klotoidia pitkin tähän määrättyyn pisteeseen.   Klotoidin pituus.

 Määritetään kaarevuus,






 Kirjoitetaan muotoon,

Jossa a-parametri

Tai

Täten

 Lähteet 

 Aiheesta muualla 
Mathworld: Fresnelin integraalit 
Mathworld: Cornun spiraali 
Handbook of Mathematical Functions sivu 300 

Luokka:Erikoisfunktiot
Luokka:Optiikka
Luokka:Spiraalit