L’Hôpitalin sääntö

L’Hôpitalin sääntö (joskus muodossa l’Hospitalin) on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon Guillaume de l’Hôpitalin mukaan nimetty matemaattinen menetelmä, jossa epämääräistä muotoa olevia raja-arvoja laskettaessa käytetään apuna derivaattaa. L’Hôpital julkaisi säännön vuonna 1696 kirjassaan Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes. L’Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l’Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko Johann Bernoulli. L’Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l’Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään. Ylioppilastutkintolautakunta ei lähtökohtaisesti salli menetelmän käyttöä suomalaisessa ylioppilaskokeessa, jollei sitä ole koesuorituksessa perustellen johdettu.

Olkoot funktiot  ja  derivoituvia (ja täten myös jatkuvia) välillä , missä  on avoin väli, joka sisältää pisteen , mikäli  ei ole  eikä . Siis  voi olla tässä muotoa  tai  (epäoleelliset raja-arvot), jossa  ja  tarkoittavat funktion toispuoleisia raja-arvoja pisteessä . Oletetaan lisäksi, että
 tai
 ja
 on olemassa (äärellisenä tai äärettömänä) ja 
 kaikille .
Nyt l’Hôpitalin säännön mukaan seuraava on tosi: näiden funktioiden osamäärän raja-arvo  kohdassa  on sama kuin funktioiden derivaattojen osamäärän raja-arvo samassa kohdassa. Matemaattisin merkinnöin ilmaistuna saamme jälkimmäisestä lauseesta

Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin joka sovelluskerralla uudelleen. Sääntö muun muassa helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä  poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja. 

l’Hôpitalin säännön todistus
Todistetaan l’Hôpitalin sääntö differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla.

Tapaus 1: Oletetaan, että piste  on äärellinen.
Määritellään , jolloin funktiot  ja  ovat jatkuvia pisteessä . Valitaan nyt piste  niin läheltä pistettä , että funktiot  ja  toteuttavat differentiaalilaskennan väliarvolauseen oletukset välillä  (tai , jos ). 

Nyt saadaan

missä  (tai , jos ).
Lisäksi  jossain pisteen  ympäristössä (). 
Differentiaalilaskennan väliarvolauseen mukaan

kun  on tarpeeksi pieni.
Kun nyt , niin myös , joten väite seuraa yllä olevasta yhtälöstä.
Sama on voimassa myös toispuoleisten raja-arvojen tapauksessa.

Tapaus 2: Oletetaan, että .
Merkitään , jolloin todistus menee vastaavasti kuin tapauksessa 1.
Tällöin 

 Todistus tapauksessa  

Olkoot funktiot  ja  derivoituvia välillä ,  ja . Täten jollakin  pätee  ja , kun . Koska , niin  on aidosti kasvava, kun . 

Olkoon . On olemassa  siten, että 

Koska  on aidosti kasvava, kun , niin , kun . Cauchyn yleisen väliarvolauseen nojalla

Täten 

Kun  on kiinnitetty, niin 


ja


Täten on olemassa  siten, että 

On myös olemassa  siten, että 

Tällöin 

eli

Siis . 

Esimerkkejä l’Hôpitalin säännön käytöstä
Käytetään merkintää == osoittamaan l’Hôpitalin säännön soveltamista esimerkeissä.

 Varsin klassinen esimerkki lauseen käytöstä on funktioiden  ja  osamäärän raja-arvo:

Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältää kehäpäätelmän. Tätä tulosta käytetään sinifunktion derivoimissäännön johdossa, joten l’Hôpitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.

 Esimerkki tilanteesta, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa . L’Hôpitalin säännön soveltaminen ensimmäisen kerran antaa yhä epämääräistä muotoa olevan raja-arvon. Tämä saadaan kuitenkin lasketuksi soveltamalla sääntöä yhteensä kolme kertaa:

 Esimerkki säännön käytöstä tilanteessa, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa :

Ongelmatapauksia
Ennen l’Hôpitalin säännön käyttämistä on tärkeää tarkistaa, että osamäärä on varmasti epämääräistä muotoa. Tämä unohtuu helposti, jos l’Hôpitalin sääntöä käytetään raja-arvoa laskettaessa useita kertoja peräkkäin. Lasketaan raja-arvo

Tämä on väärin, sillä  ei ole epämääräistä muotoa, joten siihen ei voi soveltaa l’Hôpitalin sääntöä.
Oikea tapa:

Joskus l’Hôpitalin säännön käyttäminen johtaa takaisin alkuperäiseen muotoon:

Tämän tilanteen voi välttää sijoittamalla , missä , kun . Nyt raja-arvon laskeminen on helppoa:

Toinen esimerkki tapauksesta, jossa l’Hôpitalin säännön käyttäminen ei johda mihinkään:

Parempi tapa on sieventää lauseketta. Nyt ei tarvitse käyttää l’Hôpitalin sääntöä ja saadaan helposti:

Lähteet

Luokka:Differentiaalilaskenta