Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka on irlantilaisen William Rowan Hamiltonin vuonna 1833 esittämä lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Se muistuttaa jonkin verran Lagrangen mekaniikkaa ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, symplektisten monistojen teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.

Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut kvanttimekaniikassa, jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja Hamiltonin operaattoreihin.

 Hamiltonin yhtälöt ja Hamiltonin funktio 

Olkoon  tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja  vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa Lagrangen funktio . Määritellään uusi, hieman nopeutta muistuttava suure, yleistetty liikemäärä
.

Yleistetty liikemäärä tunnetaan myös nimillä kanoninen liikemäärä ja konjugoitu liikemäärä. Sanan liikemäärä sijasta käytetään myös usein sanaa impulssi (, liikemäärä). Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa :t ovat nopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa täsmälleen kappaleen liikemäärää. Pyörimis­liikkeen tapauksessa :t ovat kulmanopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa kappaleen pyörimismäärää. 

Määritellään nyt uusi funktio 

,

jota kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi (engl. Hamiltonian). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.

sekä

Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen Newtonin ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen, sillä yhtälöillä on syvällinen yhteys kvanttifysiikkaan.

Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että  riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on säilyvä suure muutoin paitsi niissä hyvin epä­tavallisissa poikkeus­tapauksissa, joissa aika esiintyy funktiossa. Voidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.

 Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori 
Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on

ja johon kohdistuu potentiaalienergia
,
missä  on kappaleen massa ja  vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli Lagrangen mekaniikka)

ja koordinaattia  vastaava yleistetty liikemäärä saadaan derivoimalla :n suhteen:
 (huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä  liikemäärän  avulla, jolloin saadaan  ja sijoitetaan
.
Tämä  on systeemiä kuvaava Hamiltonin funktio, jota derivoimalla voidaan kirjoittaa lopulliset Hamiltonin yhtälöt:

Tässä tapauksessa yhtälöpari ratkeaa helposti analyyttisesti, kun derivoidaan ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoitetaan se jälkimmäiseen. Tulokseksi saadaan liikeyhtälö
,
jonka ratkaisuna on
 eli x-akselin suunnassa tapahtuva sinimuotoinen liike.

 Katso myös 
Newtonin mekaniikka
Lagrangen mekaniikka

Kirjallisuutta

Luokka: Klassinen mekaniikka
Luokka: Teoreettinen fysiikka