Ekvivalenssirelaatio

Joukon  alkioiden välillä määritelty relaatio  on ekvivalenssirelaatio, jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

 .
 Jos , niin myös .
 Jos  ja , niin .

Ensimmäistä ominaisuutta sanotaan refleksiivisyydeksi, toista symmetrisyydeksi ja kolmatta transitiivisuudeksi. Jokin yksittäinen määritelty relaatio eli suhde joukon alkioiden välillä on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.

 Esimerkkejä ekvivalenssirelaatioista 
Esimerkiksi yhtäsuuruus reaalilukujen joukossa on selvästikin ekvivalenssirelaatio, koska se toteuttaa varmasti kaikki kolme ekvivalenttisuuden ehtoa.

Toinen esimerkki: Määritellään relaatio  reaalilukujen välillä siten että  jos  on kokonaisluku.  on refleksiivinen, koska  on kokonaisluku. Jos  eli  on kokonaisluku, niin myös  on kokonaisluku eli , joten  on symmetrinen. Myös jos  ja , niin  ja  ovat kokonaislukuja eli myös  on kokonaisluku. Tällöin  ja  on transitiivinen. Kaikki kolme ehtoa ovat :lle voimassa, joten  on ekvivalenssirelaatio.

Kolmas esimerkki: Oppilaat a, b ja c kuuluvat samalle koululuokalle (relaatio  on täten "kuuluu samalle luokalle"). Tällöin kukin oppilas on itsensä kanssa samalla luokalla (refleksiivisyys), jos henkilö a on b:n kanssa samalla luokalla, myös b on a:n kanssa samalla luokalla (symmetrisyys) ja kolmanneksi, jos a on b:n kanssa samalla luokalla, ja b c:n kanssa, pätee transitiivinen riippuvuus, eli myös a on c:n kanssa samalla luokalla.

 Ekvivalenssiluokat 
Ekvivalenssirelaatio muodostaa joukon alkioista ekvivalenssiluokkia, joissa kaikki keskenään ekvivalentit alkiot kuuluvat samaan luokkaan. Esimerkiksi luvun  muodostaman luokan kaikki jäsenet ovat muotoa , missä n on kokonaisluku.

Ekvivalenssiluokat voidaan myös esittää edustajien avulla. Esimerkiksi edellä määritellyssä relaatiolla  jokainen luokka voidaan valita edustettavaksi luvulla puoliavoimelta väliltä [0,1). Kaikki reaaliluvut ovat tällöin ekvivalentteja jonkin tämän välin luvun kanssa.

 Ekvivalenssirelaatioiden peruslause 
Ekvivalenssirelaatiota joukossa X vastaa aina tietty joukon X ositus (jako erillisiin osajoukkoihin). Vastaavasti, jos X:ssä on annettu ositus, sen avulla voidaan määrittää ekvivalenssirelaatio. Tätä keskeistä yhteyttä kutsutaan ekvivalenssirelaatioiden peruslauseeksi.

 Lähteet 

Kirjallisuutta



Luokka:Joukko-oppi
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit