0,999...

Luku 0,999... (merkitään myös  tai ) on matematiikassa päättymätön jaksollinen desimaaliluku, joka on tasan yhtä suuri kuin luku 1.Cut-the-knot.org Poikkeavan merkintätavan vuoksi monen on ollut vaikea mieltää, että luku on sama kuin 1. Se seuraa kuitenkin melko suoraan reaalilukujen täydellisyysaksioomasta. Mikäli luottaa laskusääntöjen toimivuuteen, yhtäläisyyden voi todistaa myös yksinkertaisella koulumatematiikalla. Samaten esimerkiksi lauseet 0,333...=⅓ ja 0,666...=⅔ pitävät paikkansa saman periaatteen mukaan. Kaikki päättymättömät ja jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukumuodossa. 

Se, että luvulla 1 on useampi kuin yksi esitystapa, ei ole mitenkään erikoista. Erinäköisillä luvuilla voi olla sama arvo, esimerkiksi 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 3/1 ja niin edelleen.

 Todistuksia 
Alla esitetyistä todistuksista kaksi ensimmäistä ovat maallikolle havainnollisimpia, mutta niissä oletetaan, että päättymättömiä desimaalilukuja voi laskea yhteen ja kertoa allekkain kuten päättyviä desimaalilukuja. Tämän täsmällinen todistaminen vaatisi suppenevien sarjojen tutkimista.

 Murtolukutodistus 

 Algebrallinen todistus 

 Geometriseen sarjaan perustuva todistus 

Tämä todistus tosin edellyttäisi geometrisen sarjan summakaavan todistamisen, mutta se voidaan tässä yhteydessä sivuuttaa.

 Hyperreaalilukutodistus 

 Täydellisyysaksioomaan perustuva todistusidea 

Reaalilukujen täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja eli supremum, joka on helppo osoittaa yksikäsitteiseksi. Tarkastelemalla joukkoa {0,9, 0,99, 0,999, ...} voidaan todeta, että se on ylhäältä rajoitettu, ja esimerkiksi antiteesillä osoittaa, että sen supremumeja ovat sekä 0,999... että 1. Supremumin yksikäsitteisyydestä seuraa tällöin että 0,999... = 1. Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei päde, mutta koska 1 ja 0,999... ovat rationaalilukuja, yleistyy tulos automaattisesti myös rationaalilukujen joukkoon.

Lähteet

 Aiheesta muualla 

Why does 0.9999… = 1 ? 
Ask A Scientist: Repeating Decimals 
Point nine recurring equals one 
David Tall's research on mathematics cognition 

Luokka:Matemaattiset paradoksit
Luokka:Matemaattiset todistukset
Luokka:Reaalianalyysi
Luokka:Reaaliluvut