Schanuelin konjektuuri

Schanuelin otaksuma on seuraava transkendenttisten lukujen teoriaan liittyvä avoin ongelma:
Olkoon annettu n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta kompleksilukua z1,...,zn. Tällöin kuntalaajennuksella Q(z1,...,zn,exp(z1),...,exp(zn)) on transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n.

Otaksuman esitti Stephen Schanuel 1960-luvulla ja se löytyy esimerkiksi Serge Langin kirjasta Lang, Serge: Introduction to Transcendental Numbers. Addison-Wesley 1966, sivut 30–31. Otaksumaa ei ole kyetty ratkaisemaan tai osoittamaan epätodeksi.

Jos otaksuma pitää paikkansa, siitä seuraa muun muassa Lindemannin–Weierstrassin lause, Gelfondin–Schneiderin lause ja useita muita eksponenttifunktioita koskevia trankendenttisia ominaisuuksia, kuten esimerkiksi lukujen π ja e algebrallinen riippumattomuus.

Scott W. Williams Million Bucks Problems on formuloinut seuraavan käänteisen Schanuelin otaksuman:

Olkoon F numeroituva kunta, jonka karakteristika on nolla ja e : F → F on homomorfismi additiiviselta ryhmältä (F,+) multiplikatiiviselle ryhmälle (F,·), jonka ydin on syklinen. Oletetaan edelleen, että mitkä tahansa n F:n alkiota x1,...,xn ovat lineaarisesti riippumattomia Q:n suhteen ja Q:n laajennuksen Q(x1,...,xn,e(x1),...,e(xn))  transkendenttinen aste Q:n suhteen on vähintään n. Tällöin on olemassa kuntahomomorfismi h : E → C jolle h(e(x))=exp(h(x)) kaikilla F:n alkioilla x.

Schanuelin otaksuman potenssisarjoille todisti James Ax vuonna 1971.Ax, James: On Schanuel's conjectures. Annals of Mathematics (2) 93, 1971, sivut 252–268. Sen mukaan:

Olkoon annettu mitkä tahansa n Q:n suhteen lineaarisesti riippumatonta potenssisarjaa f1,...,fn in tC[[t]]:ssä. Tällöin C(t):n laajennuksen C(t,f1,...,fn,exp(f1),...,exp(fn)) transkendenttinen aste C(t):n suhteen on vähintään n.

 Lähteet 

Luokka:Konjektuurit
Luokka:Lukuteoria
Luokka:Transkendenttiset luvut