Sisätuloavaruus

Sisätuloavaruus on matematiikan käsite, tarkemmin ottaen algebrallinen rakenne. Se on vektoriavaruus, jossa on lisärakenteena sisätulo. Sisätulo mahdollistaa kysymykset muun muassa avaruuden alkioiden välisistä kulmista ja ortogonaalisuudesta. Lisäksi sisätulo indusoi vektoriavaruuteen normin, jolla voidaan mitata alkioiden "suuruuksia" ja metriikan, jolla puolestaan voidaan mitata alkioiden välisiä etäisyyksiä.

 Määritelmä 

Olkoon  vektoriavaruus, jonka skalaarikunta on  (reaaliluvut  tai kompleksiluvut ). Sisätulo on kuvaus , joka toteuttaa aksioomat:

 Konjugaattisymmetrisyys
 (symboli  on kompleksikonjugaatti).

 Seskvilineaarisuus
 ja 
.

 Ei-negatiivisuus

 Ei-degeneratiivisuus
.

 Pistetulo 

Tavalliset tason () tai kolmiulotteisen avaruuden () vektorit muodostavat sisätuloavaruuden, jossa sisätulo on sama kuin vektorien pistetulo. Geometrisesti kahden vektorin pistetulo voidaan määritellä niiden itseisarvojen tulona kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla:

, 

Pistetulo toteuttaa kaikki edellä annetut aksioomat.

 Normi ja kulma yleisesti 

Pistetulon geometriseen määritelmään perustuen voidaan käänteisesti määritellä vektorin itseisarvo eli normi sekä vektorien välinen kulma missä tahansa sisätuloavaruudessa. Vektorin normi määritellään neliöjuureksi sen sisätulosta itsensä kanssa:

Tällöin vektorien x ja y välinen kulma  voidaan yleisesti määritellä jakamalla niiden sisätulo niiden normien tulolla ja ottamalla saadusta osamäärästä arkuskosini: 

Jos kahden vektorin sisätulo on nolla, ne ovat ortogonaaliset, mikä tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien tapauksessa merkitsee, että ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

 Sisätuloavaruus metrisenä avaruutena  

Sisätuloavaruuden normi täyttää metriikan määritelmän, joten jokainen sisätuloavaruus on esitettävissä metrisenä avaruutena.

Jos sisätuloavaruus on lisäksi täydellinen, se on Hilbertin avaruus.

 Katso myös 
 Kanta

 Lähteet 

Kirjallisuutta


Luokka:Algebra