Seitsenkulmio

Seitsenkulmio eli heptagoni on monikulmio, jossa on seitsemän kulmaa ja sivua. Seitsenkulmion kulmien summa on 900 astetta. Säännöllisen seitsenkulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja jokainen kulma on noin 128,5714 astetta (tarkalleen 128 4/7 astetta).

 Ominaisuuksia 
Olkoot säännöllisen seitsenkulmion pinta-ala A ja sivun pituus a. Tällöin

Jos lisäksi eripituisten lävistäjien pituudet ovat d1 ja d2, on voimassa 1/a = 1/d1 + 1/d2. Tämä tulos seuraa helposti Ptolemaioksen lauseesta. Jos valitaan indeksointi siten, että , on voimassa  ja http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=577568  sekä http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=371285

Säännöllinen seitsenkulmio voidaan jakaa seitsemään yhtenevään tasakylkiseen kolmioon. Jos seitsenkulmio on ympyrän sisään piirretty, näiden kolmioiden kaksi kärkeä on ympyrän kehällä ja kolmas ympyrän keskipisteessä. Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä, on suuruudeltaan 360/7 = 51 3/7 astetta eli  radiaania.

 Konstruointi 

Koska luku 7 on pariton alkuluku, joka ei kuulu Fermat’n alkulukuihin, säännöllistä seitsenkulmiota ei voida klassisten sääntöjen mukaan piirtää harpilla ja viivoittimella. Tämä seuraa siitä, että  on jaottoman kolmannen asteen polynomin  nollakohta. Näin ollen tämä polynomi on :n minimaalipolynomi. Näin konstruoitavissa ovat kuitenkin vain sellaiset pisteet ja etäisyydet, joiden minimaalipolynomin aste on kahden potenssi.

Jos sen sijaan viivoittimeen sallitaan tehdä merkintöjä ja sallitaan sen liu'uttaminen annetun pisteen ympäri, tällaisen viivoittimen ja harpin avulla voidaan piirtää myös säännöllinen seitsenkulmio. Tällöin kyseessä ei kuitenkaan ole enää klassinen geometrinen konstruktio, vaan tällaisia konstruktioita sanotaan neusis-konstruktioiksi.

Tämä voidaan tehdä useammallakin tavalla. Eräs neusis-konstruktio, jolla säännöllinen seitsenkulmio voidaan konstruoida, on seuraava:

Piirretään ensin neliö OPQR sekä sen sivujen OP ja QR yhteinen keskinormaali ja jatketaan sitä neliön ulkopuolelle. Piirretään O keskipisteenä ja lävistäjä OQ säteenä ympyrä ja jatketaan sivua OP sinne saakka, missä se leikkaa tämän ympyrän. 

Kaikki tähän mennessä suoritetut toimenpiteet voidaan suorittaa klassisten sääntöjen mukaan geometrisena konstruktiona. Seuraava vaihe on kuitenkin neusis-konstruktio: piirretään pisteen P kautta kulkeva, neliön sivun pituinen jana, jonka toinen päätepiste (A) on neliön sivuille piirretyllä keskinormaalilla, toinen taas edellä piirretyllä ympyrällä. Tämä edellyttää, että viivoittimeen on merkitty kaksi pistettä, joiden välinen etäisyys on sama kuin neliön sivu.

Tämän jälkeen piirretään pisteestä A lähtevä, neliön kärkipisteen O kautta kulkeva jana, joka sekin on neliön sivun pituinen. Tämä jana sekä jana AB ovat kaksi säännöllisen seitsenkulmion sivuista. Kun täten on saatu konstruoiduiksi säännöllisen seitsenkulmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, voidaan kuvio täydentää säännölliseksi seitsenkulmioksi.

File:Approximated Heptagon Inscribed in a Circle.gifAnimaatio erään säännöllisestä vain vähän poikkeavan seitsenkulmion piirtämisestä harpin ja viivottimen avulla.

 Katso myös 

 Monikulmio
 Seitsenkulmioluku

 Aiheesta muualla 

MathWorld: Heptagon 
Leon Bankoff, Jack Garfunkel The Heptagonal Triangle  

Luokka:Monikulmiot

  Lähteet