Monikulmioluku

Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle.

Johdanto
Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.
{|
| align="center" | 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.
{|
| align="center" | 16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.
{|
|- align="center" valign="bottom"
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|
|16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*16px|*
|}
Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut. 

Säännönmukaisia piirteitä
Merkitään jatkossa  monikulmion sivujen lukumääräksi ja  lukujonon jäsenen indeksiksi.

 Lausekkeita 
Ensimmäinen n-monikulmioluku on aina 1 ja seuraava s.

Lauseke  antaa monikulmioluvun arvon, kun


Seuraava lauseke lausuu :nnen monikulmioluvun kolmiolukujen avulla:


Monikulmiolukujonon kahden peräkkäisen luvun erotuksen lauseke on

Kahden monikulmioluvun, joiden sivujen lukumäärä eroaa vain yhdellä, saman jäsenen  arvot eroavat kolmioluvun verran:

Jos tiedetään monikulmioluvun  sivujen lukumäärän , voidaan laskea sen indeksi  lausekkeesta


Lukuarvoja
Alle on koottu ensimmäisten monikulmiolukujen tietoja. Sarakkeessa "Jonon jäsenten lauseke" annetaan sijoitetussa muodossa lauseke, jolla voidaan laskea monikulmioluvun indeksillä  annetun jäsenen arvo. Sen perässä on luettelo kymmenestä ensimmäisestä monikulmioluvusta. Joistakin monikulmioluvuista tunnetaan niiden käänteislukujen sarjan arvo. Gottfried Wilhelm Leibniz ratkaisi ensimmäisenä kolmiolukujen sarjan arvon. Viimeisessä sarakkeessa on linkki kokonaislukujen jonojen sivustolle (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

 s Nimi Jonon jäsenen lauseke Jäsenet n:n arvoilla 1…10 Käänteislukujen summa OEIS-numero 3 kolmioluku  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55  A000217 4 neliöluku  1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100  A000290 5 viisikulmioluku  1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145  A000326 6 kuusikulmioluku  1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190  A000384 7 seitsenkulmioluku  1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235  A000566 8 kahdeksankulmioluku  1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280  A000567 9 yhdeksänkulmioluku  1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325 A001106 10 kymmenkulmioluku  1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370  A001107 11 yksitoistakulmioluku  1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415 A051682 12 kaksitoistakulmioluku  1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460 A051624 13 kolmetoistakulmioluku  1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505 A051865 14 neljätoistakulmioluku  1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550  A051866 15 viisitoistakulmioluku  1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595 A051867 16 kuusitoistakulmioluku  1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640 A051868 17 seitsemäntoistakulmioluku  1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685 A051869 18 kahdeksantoistakulmioluku  1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730 A051870 19 yhdeksäntoistakulmioluku  1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775 A051871 20 kaksikymmentäkulmioluku  1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820 A051872 21 kaksikymmentäyksikulmio­luku  1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865 A051873 22 kaksikymmentäkaksikulmio­luku  1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910 A051874 23 kaksikymmentäkolmekulmio­luku  1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955 A051875 24 kaksikymmentäneljäkulmio­luku  1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000 A051876

Yhteisiä lukuja
Jotkin monikulmioluvut, kuten yllä oleva esimerkki 36, joka kuuluu kolmio- ja neliölukuihin, kuuluvat kahteen ryhmään saman aikaisesti. Pellin yhtälöllä on mahdollista selvittää kahden ryhmän yhteiset luvut. 

Seuraavassa taulukossa on luetteloitu joidenkin monikulmiolukujen yhteiset luvut. Luku  esittävät lukujen kulmien määrää. Joissakin tapauksissa ainoa yhteinen jäsen on ensimmäinen luku 1. Näin on esimerkiksi, kun .

 s t Jono OEIS-numero 4 3 1, 36, 1225, 41616, … A001110 5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979 5 4 1, 9801, 94109401, … A036353 6 3 kaikki kuusikulmioluvut A000384 6 4 1, 1225, 1413721, … A046177 6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180 7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194 7 4 1, 81, 5929, 2307361, … A036354 7 5 1, 4347, 16701685, … A048900 7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903 8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183 8 4 1, 225, 43681, 8473921, … A036428 8 5 1, 176, 1575425, … A046189 8 6 1, 11781, 113123361, … A046192 8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906 9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909 9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … A036411 9 5 1, 651, 180868051, … A048915 9 6 1, 325, 5330229625, … A048918 9 7 1, 26884, 542041975, … A048921 9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

Historiaa
Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen  kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.

Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmät avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla hän perusti lukuteorian. Hän ehdotti haasteena muille, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintaan k:lla k-kulmioluvulla (Fermat’n monikulmiolause). Hän myös väitti todistaneensa väitteensä, mutta todistusta ei ole löydetty hänen paperiensa joukosta. Carl Gustav Jacob Jacobi ja Joseph-Louis Lagrange (Lagrangen neljän neliön lause, vuonna 1772) sekä Leonhard Euler ovat todistaneet sen neliölukujen tapauksessa ja Carl Friedrich Gauss kolmiolukujen tapauksessa vuonna 1796. Vasta Augustin-Louis Cauchy todisti sen yleisessä tapauksessa vuonna 1813.

Lähteet



Viitteet

Aiheesta muualla
 Hobson, N.: "Triangular Numbers" 
 Rajesh Ram: TRIANGLE Numbers that are Perfect Squares 
 Pell's equation Englanninkielisessä Wikipediassa.

Luokka:Kuvioluvut
Luokka:Luonnolliset luvut

ru:Последовательность двенадцатиугольника