Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa , jolle löytyy jokin funktio f siten että:
.

Toisin sanoen  on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli .

Differentiaali  on aina eksakti. 

Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

on  ja .

Koska , on oltava .

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt

 voidaan kirjoittaa muodossa . Jos  on eksakti, eli on funktio f, jolle , on tällöin  ja ratkaisu siten , missä  on vakio.

Integrointitekijät

Funktiota  kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta  eksaktin, eli

on eksakti. Tällöin on oltava

josta

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa  saamme

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle 

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

Katso myös
 Maxwellin relaatiot

 Lähteet 

 Kirjallisuutta 


Luokka:Analyysi

de:Exakte Differentialgleichung