Picardin lause

Picardin lause tarkoittaa kahta funktioteorian lausetta, jotka koskevat analyyttisiä funktioita ja on nimetty Charles Émile Picardin mukaan.

Picardin lause on eri kuin Picardin ja Ernst Lindelöfin mukaan nimetty Picardin-Lindelöfin lause, joka liittyy differentiaaliyhtälön yksikäsitteisen ratkaisun olemassaoloon. Eddie Nijholt :"The Picard-Lindelöf Theorem: Existence and Uniqueness of Solutions", 2025 

Lauseiden väittämät

Ensimmäinen lause eli Picardin pieni lause sanoo, että jos funktio f(z) on kokonainen eikä ole vakio, niin tällöin f(z) saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta.

Picardin toinen lause eli Picardin suuri lause sanoo, että jos analyyttisellä funktiolla f(z) on oleellinen singulariteetti pisteessä w, on kaikissa w:n sisältävissä avoimissa joukoissa voimassa, että f(z) saa kaikki kompleksiset arvot mahdollisesti yhtä lukuun ottamatta. Tämä on vahvempi tulos kuin Weierstrassin–Casoratin lause, joka takaa vain, että f:n kuvajoukko on tiheä kompleksitasossa.

Huomaa
 Molemmissa lauseissa rajaus ”mahdollisesti yhtä arvoa lukuun ottamatta” on välttämätön: Eksponenttifunktio ez on kokonainen, mutta ei saa arvoa nolla, ja toisaalta e1/z:llä on oleellinen singulariteetti origossa, mutta se ei saa arvoa nolla.
 Picardin pieni lause seuraa suuresta, sillä kokonainen funktio on joko polynomi tai sillä on oleellinen singulariteetti äärettömyydessä.
 B. Elsner (Ann. Inst. Fourier 49-1 (1999) s. 330) on otaksunut samantapaisen konjektuurin kuin "Picardin suuri lause": Olkoon  punkteerattu yksikkökiekko kompleksitasossa ja olkoon  :n äärellinen avoin peite. Oletetaan, että jokaisella  on olemassa injektiivinen holomorfinen funktio , jolle  jokaisella leikkauksella n. Tällöin differentiaalit liimautuvat yhteen meromorfiseksi 1-differentiaalimuodoksi yksikkökiekossa . (Erikoistapaus, jossa residy on nolla, seuraa Picardin lauseesta.)

Lähteet

 Kirjallisuutta 
 Conway, John B.: Functions of One Complex Variable I, 2nd edition, Springer, 1978



Luokka:Kompleksianalyysi
Luokka:Matemaattiset teoreemat