Neutraalialkio

Joukon  alkio  on neutraalialkio eli identiteetti  jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation  suhteen, jos  ja  kaikilla . Neutraalialkio ei siis "muuta" toista alkiota tässä operaatiossa. Neutraalialkio on yksikäsitteinen (jos se on olemassa).

Esimerkiksi reaalilukujen (samoin kokonaislukujen ja rationaalilukujen) yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun 1. Tietynkokoisten neliömatriisien matriisikertolaskun neutraalialkio on identiteettimatriisi. Jos S on parillisten lukujen joukko, sillä ei ole neutraalialkiota kertolaskun suhteen (ei edes oikeaa eikä vasenta).

Vasen neutraalialkio toteuttaa ehdon  ja oikea neutraalialkio ehdon  kaikilla . Jos binäärioperaatiolle on olemassa sekä vasen että oikea neutraalialkio, ne ovat yksikäsitteisiä ja samat (siis kaksipuolinen neutraalialkio eli neutraalialkio).

Kertolaskun neutraalialkiota kutsutaan joskus ykkösalkioksi ja yhteenlaskun neutraalialkiota nolla-alkioksi. 
Yksikkö saattaa tarkoittaa mitä tahansa kääntyvää alkiota (kertolaskun suhteen).

Kirjain  tulee saksankielisestä sanasta Einheit.

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä
Olkoon operaatio  joukossa  määritelty binäärioperaatio (eli ).

Joukon  alkio  on vasemmanpuoleinen neutraalialkio, jos  kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla . Samoin, jos  kaikilla joukkoon  kuuluvilla alkioilla , on  oikeanpuoleinen neutraalialkio. 

Jos  on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen neutraalialkio eli  kaikilla , sitä kutsutaan neutraalialkioksi. Tällöin pari  on monoidi, jos lisäksi  on assosiatiivinen.

Esimerkkejä
Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Määritelkäämme vallan erikoinen laskutoimitus  seuraavasti:  missä  Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan  Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä  on tilanne päinvastainen. 

Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista , ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille , kun laskutoimitus määritellään 

Määriteltäköön reaaliluvuille laskutoimitus , jossa  Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä  ja  

Vaikka e olisi joukon S operaation * neutraalialkio, voi olla olemassa S:n osajoukko T, johon e ei kuulu ja joka on silti suljettu operaation * suhteen neutraalialkionaan jokin toinen alkio f. Itse asiassa S ja T voivat olla jopa ykkösellisiä renkaita samoilla operaatioilla.

Muita esimerkkejä
joukkobinäärioperaattorineutraalialkioreaaliluvutyhteenlasku ( + )0 reaaliluvutkertolasku ( · )1  vektorityhteenlasku ( + )nollavektori  n x n neliömatriisiyhteenlasku ( + )nollamatriisi  n x n neliömatriisikertolasku ( · )yksikkömatriisi kaikki funktiot joukosta M itseensäyhdistetty funktio ( o )identiteettifunktiomerkkijonot yhdistäminen  tyhjä merkkijonovain kaksi alkiota {e, f}* määritelty niin että e * e = f * e = e ja  f * f = e * f = f e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota. 

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin v = v × o = o. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio
Luvun  käänteisalkio  ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion  eli . Jos parilla  on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.  

 Katso myös 
 Käänteisalkio
 Magma, Monoidi ja Ryhmä

Lähteet

Aiheesta muualla
 Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)
 PlanetMath: Grupoid
 Dr. Claire Wladis: The Identity Property
 Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets 

Luokka:Abstrakti algebra

fa:عمل دوتایی#عضو خنثی