Studentin t-jakauma

Studentin t-jakauma on todennäköisyysjakauma, jota hyödynnetään normaalijakautuneiden populaatioiden keskiarvon tarkastelussa kun otoskoko on pieni. Yleisesti käytetty t-testi perustuu t-jakaumaan.

Kun satunnaismuuttuja X noudattaa t-jakaumaa, sen tiheysfunktio on:

jonka parametria  kutsutaan vapausasteeksi, ja   on gammafunktio.

Jakauman kertymäfunktio on:

jossa  on epätäydellisen ja täydellisen beta-funktion suhde (engl. regularized beta function)

ja 

t-jakauma muistuttaa muodoltaan odotusarvolla 0 ja varianssilla 1 jakautunutta normaalijakaumaa, mutta sillä on paksummat hännät. Vapausasteiden kasvaessa se lähestyy kyseistä normaalijakaumaa. t-jakaumalla on myös yhteys F-jakaumaan:  noudattaa F-jakaumaa 1 ja  vapausasteella.

Historia

t-jakauman johdon t-testisuureen jakaumana julkaisi ensimmäisenä 1908 William Sealy Gosset. Hän työskenteli Guinnessin panimolla Dublinissa ja tutki parhaiden ohralajikkeiden valintaa. Hän ei saanut julkaista tuloksiaan omalla nimellään, koska panimolla pelättiin salaisen tiedon vuotamista. Tämän vuoksi hän käytti salanimeä Student, jotta työnantaja ei huomaisi julkaisua. t-testi ja siihen liittyvä teoria tuli tunnetuksi Ronald Fisherin työn kautta.

Taulukko jakauman arvoista

Seuraavassa on jakauman arvot muutamille kertymäfunktion prosenttipisteille ja muutamille vapausasteille . 

Esimerkiksi yksisuuntaisen testin kriittinen arvo 10 % riskitasolla ja 4 vapausasteella on 1,533. Se tarkoittaa, että Pr(X < 1,533) = 0,9.

Jakauman symmetrisyyden vuoksi 

Pr(T < −1,533) = Pr(T > 1,533) = 1 − 0,9 = 0,1,

jolloin raja-arvo vastaa kaksisuuntaisen testin 20 % riskitasoa:

Pr(−1,533 < T < 1,533) = 1 − 2(0,1) = 0,8.

  75% 80% 85% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.75% 99.9% 99.95%1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 50.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767 24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.6992.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 30 0.683 0.854 1.055 1.3101.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 600.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291

Lähteet

Aiheesta muualla

Luokka:Todennäköisyysjakaumat
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit