Normi (matematiikka)

Matematiikassa normi on itseisarvon käsitteen yleistys, "vektorin pituus". Normi on kuvaus, joka asettaa jokaista lineaariavaruuden alkiota vastaamaan reaaliluvun. Tietyssä mielessä normi määrittää vektorin etäisyyden origosta, jota voi intuitiivisesti hahmottaa vektorin pituutena. Esimerkiksi -tason vektoreille  käytetään yleensä Pythagoraan lausetta vastaavaa normia .

 Määritelmä 

Olkoon  lineaariavaruus kerroinkuntana . Tällöin kuvaus  on normi (joukossa X), jos se toteuttaa seuraavat ehdot

 kaikilla ,
 jos ja vain jos  (=nollavektori),
Kuvaus p on skaalautuva:  kaikilla  ja ,
Kuvaus p toteuttaa ns. kolmioepäyhtälön:  kaikilla .

Normia p merkitään usein kirjallisuudessa symbolilla  ja sen arvoa . Jos lineaariavaruuteen X on määrätty normi p, niin paria (X,p) kutsutaan normiavaruudeksi.

Seminormi on kuvaus, joka toteuttaa normin kaikki muut ehdot paitsi ehdon 2.

 Ominaisuuksia 
Jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus. Nimittäin jos  on normiavaruus, niin kuvaus ,  on metriikka. Kutsumme tämmöisen ns. normimetriikan virittämää topologiaa tavalliseksi topologiaksi.

Metrisenä avaruutena normiavaruuteen voidaan myös määritellä ns. yksikköympyrä. Normiavaruuden  x-keskinen yksikköympyrä on joukko . Vaihtamalla siis normia avaruudessa X saamme aina mahdollisesti erilaisia yksikköympyröitä. Oheisissa kuvissa on joukon  erilaisten normien määräämiä yksikköympyröitä.

Esimerkkejä normeista
 Euklidinen normi joukossa : 
 - ja -normit:
- Jonoavaruuden  osajoukon -äärellisten jonojen joukon ns. -normi  saadaan kaavasta 
- Funktioavaruuden  ns. -normi  saadaan kaavasta 
 Maksiminormit rajoitettujen jonojen avaruudessa  ja oleellisesti rajoitettujen funktioiden avaruudessa :  ja

Lähteet

Kirjallisuutta


Luokka:Lineaarialgebra