Sivuluokka

Sivuluokka on matematiikan osa-alueen ryhmäteorian käsite. Jos  on ryhmän  aliryhmä ja , niin ryhmän  osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän  vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän  oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin . Aliryhmää , jolla pätee  kaikilla  sanotaan ryhmän  normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja. 

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

Ominaisuuksia
Olkoon  on ryhmän  aliryhmä ja . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä
alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän  vasempaan sivuluokkaan,
 eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän  vasemmat sivuluokat ovat samat,
 eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän  oikeat sivuluokat ovat samat ja

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio  kaikilla  on joukon  ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän  vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

eli ryhmä  voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä  on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

on bijektio kaikilla , niin aliryhmällä  on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli  on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän  kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän  vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän  vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän  oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän  indeksiksi ryhmässä .

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli  ja aliryhmän indeksi ryhmässä  on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot , että lista  sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista  sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

Muuta huomionarvoista
Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä  ja , additiivisessa  ja . Tässä merkinnässä :n paikalle ajatellaan sijoitetuksi jokainen :n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.

 Lähteet 

Luokka:Ryhmäteoria