Isomorfismi

Matematiikassa isomorfismi on algebrallisten rakenteiden välinen kuvaus, joka säilyttää laskutoimituksen tai -toimitukset. Epämuodollisesti kuvaten kaksi isomorfista rakennetta ovat sama asia eri tavalla nimettynä.

Matemaattisesti sanoen isomorfismi on bijektiivinen kuvaus f, jolle sekä f että f−1 ovat homomorfismeja. 

Esimerkkejä
Tyyppiesimerkki on reaalilukujen yhteenlaskun ja positiivisten reaalilukujen kertolaskun välinen yhteys eksponenttifunktiolla, "tulon logaritmi on tekijöiden logaritmien summa". Täsmällisesti määritellen  ja  ovat ryhmiä. Valitaan funktiota  varten jokin kantaluku, vaikkapa 10. Tällöin  ja . Nyt

ja

eli esimerkiksi . Ryhmät ovat sama asia sikäli, ettei niitä voi erottaa toisistaan näkemällä pelkästään millä tavalla laskutoimitus operoi ryhmän sisällä.

Äärellinen esimerkki: Olkoon joukko  kokonaisluvut väliltä 1-10 ja laskutoimitus , jonka arvo on luvuista suurempi. Olkoon joukko  kokonaisluvut väliltä 11-20 ja laskutoimitus , jonka arvo on luvuista pienempi. Nyt  ja  ovat algebrallisia rakenteita, tarkemmin sanoen vaihdannaisia monoideja. Olkoon funktio . Se on samalla itsensä käänteisfunktio. Tämä funktio on bijektio ja mainittujen monoidien välinen isomorfismi.

Määritellään ensin kolmen ja kahden alkion ryhmät  ja . Laskutoimitus  tarkoittaa yhteenlaskua, jonka tuloksesta otetaan jakojäännös ryhmän koolla. Taulukkomuodossa ryhmät näyttävät tältä:

+Kolmen alkion ryhmä +  0  1  2 0 0  1  2 1 1  2  0 2 2  0  1
+Kahden alkion ryhmä +  0  1 0 0  1 1 1  0

Laaditaan sitten pareittainen yhteenlaskutaulukko, jossa alkiot ovat pareja 3- ja 2-alkioisesta ryhmästä. Verrataan tätä ryhmään , mutta ei merkitä alkioita 0-5 järjestyksessä. Värjätään alkioiden (2,0) ja 2 tausta keltaiseksi, jolloin osa rakennetta tulee selvemmin esille.

+Alkioparien ryhmä +  (0,0)  (0,1)  (1,0)  (1,1)  (2,0)  (2,1) (0,0) (0,0) (0,1)  (1,0)  (1,1)  (2,0)  (2,1) (0,1) (0,1) (0,0)  (1,1)  (1,0)  (2,1)  (2,0) (1,0) (1,0) (1,1)  (2,0)  (2,1)  (0,0)  (0,1) (1,1) (1,1) (1,0)  (2,1)  (2,0)  (0,1)  (0,0) (2,0) (2,0) (2,1)  (0,0)  (0,1)  (1,0)  (1,1) (2,1) (2,1) (2,0)  (0,1)  (0,0)  (1,1)  (1,0)

+Kuuden alkion ryhmä +  0  3  4  1  2  5 0 0  3   4  1  2  5 3 3  0  1  4  5  2 4 4  1  2  5  0  3 1 1  4  5  2  3  0 2 2  5  0  3  4  1 5 5  2  3  0  1  4

Ryhmät ovat keskenään isomorfiset. Esimerkiksi lukuja 0, 1 ja 2 vastaavat parit (0,0), (1,1) ja (2,0).

Käyttö
Matemaatikot käyttävät isomorfismia usein säästääkseen työtä. Jos kahden ennestään tuntemattoman matemaattisten struktuurien välille löydetään sopiva isomorfismi, voidaan monet lauseet siirtää toista struktuuria koskevaksi. Samoin uudessa ympäristössä ongelmaan voidaan löytää uusia ratkaisukeinoja ja käyttää hyväksi alkuperäisen struktuurissa hyväksi havaittuja ratkaisukeinoja.

 Lähteet 

Luokka:Abstrakti algebra
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit