Positiivisesti definiitti matriisi

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla.  Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Yhtäpitäviä määritelmiä

Olkoon  kokoa  oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin  transpoosia :llä ja konjugaattista transpoosia :llä. Matriisin  sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

 1.  Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla  on voimassa
.
Huomaa, että  on aina reaalinen. 2.  Kaikki :n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.) 3.  Muoto

määrittää sisätulon :ssä. (Itse asiassa jokainen :n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.) 4.  Sylvesterin kriteerio: Kaikilla  matriisin  vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen -matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos  on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla  :llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.

 Lähteet 

Luokka:Matriisit

de:Definitheit#Definitheit von Matrizen