Peitekuvaus

Peitekuvauksella tarkoitetaan topologiassa kuvausta, jonka voidaan epämuodollisesti ajatella kuvaavan monta kopiota avaruudesta itseensä.

 Kansantajuinen selitys 
Peitekuvauksella tarkoitetaan kuvausta, jossa lähtöavaruus ”peittää” toisen avaruuden useita kertoja siten, että paikallisesti kaikki näyttää samalta. Jokaisen pisteen ympärillä maaliavaruudessa eli perusavaruudessa on pieni alue, jonka alkukuvassa peiteavaruudessa on useita erillisiä kopioita tästä alueesta. Näistä jokainen kopio kuvautuu takaisin täsmälleen samaan osaan perusavaruutta. Oheisessa kuvassa perusavaruudesta on valittu pieni osa, jota on merkitty punaisella. Sitä vastaava alkukuva muodostaa monta punaista ympäristöä lähtöavaruudessa.

Tyypillinen esimerkki on reaalisuoran ja ympyrän välinen kuvaus
, .
Tässä reaalisuora ”kiertyy” ympyrän ympärille äärettömän monta kertaa: jokainen ympyrän piste vastaa ääretöntä määrää reaalilukuja. Paikallisesti – kun katsotaan vain pientä osaa ympyrästä – peiteavaruus näyttää kuitenkin täsmälleen samalta kuin ympyrä itse.

Tällaista kuvausta käytetään usein, kun monimutkainen avaruus halutaan "avata" yksinkertaisempaan muotoon, esimerkiksi kun tutkitaan, kuinka monta kertaa jokin polku kiertää ympyrän ympäri.

 Määritelmä 

Olkoot  ja  topologisia avaruuksia ja olkoon  niiden välinen surjektio.

Kuvaus  on peitekuvaus, jos jokaiselle pisteelle  on olemassa ympäristö , jonka alkukuva  on sellaisten erillisten joukkojen  avoin peite, joille on olemassa upotus . Tällöin ympäristöä  kutsutaan peitekuvauksen  peiteympäristöksi.

Toisin sanoen kuvaukselle  pätee, että

Peiteavaruutta kutsutaan toisinaan myös peitteeksi. Peitekuvauksen  lähtöjoukkoa  sanotaan :n peiteavaruudeksi. Jokaista :n alkion  alkukuvaa kutsutaan säikeeksi. Yleensä vaihdannaisissa kaavioissa  asetetaan :n yläpuolelle, jolloin  osoittaa "alaspäin". Tätä sanotaan kuvauksen nostoksi, tai tarkemmin, p-nostoksi.

 Esimerkkejä 

Yksi klassisimmista esimerkeistä on peitekuvaus

Intuitiivisesti voidaan ajatella, että reaalisuora on kierretty spiraaliksi, joka "peittää" ympyrän äärettömän monta kertaa. Jokaisella ympyrän pisteellä on pieni avoin kaari, jonka alkukuva  koostuu äärettömästä määrästä erillisiä avoimia välejä reaalisuoralla, ja jokainen näistä väleistä kuvautuu homeomorfisesti kyseiselle kaarelle.

Toinen esimerkki saadaan avoimesta peitteestä, joka on peitekuvauksen erikoistapaus, kun lähtöavaruus on erillinen yhdiste joukkoja  ja kuvaus on identtinen kunkin osan rajoituksella.

 Nosto ja peitekuvaukset 

Peitekuvauksiin liittyy tärkeä käsite nimeltä nosto.
Jos peitekuvauksen  ja jatkuvan kuvauksen  välillä on olemassa jatkuva kuvaus  siten, että

sanotaan :n olevan kuvauksen  nosto peiteavaruuteen .
Nostot ovat topologiassa tärkeitä esimerkiksi perusryhmien tutkimuksessa, koska ne mahdollistavat polkujen ja homotopioiden yksikäsitteisen nostamisen peiteavaruuteen.

Nostojen yksikäsitteisyyttä käsittelee niin sanottu nostolause:

Jos  on peitekuvaus,  on yhtenäinen topologinen avaruus ja  jatkuva kuvaus, jolle ,
niin on olemassa yksikäsitteinen nosto , jolle .

Tämä ominaisuus tekee peitekuvauksista käyttökelpoisia erityisesti silloin, kun halutaan analysoida silmukoita ja niiden homotopisia ominaisuuksia perusavaruudessa .

 Yhteys perusryhmään 

Peitekuvaukset muodostavat keskeisen työkalun algebrallisessa topologiassa ja erityisesti perusryhmän määrittämisessä.

Esimerkiksi ympyrän  peitekuvauksen

avulla voidaan osoittaa, että ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukuryhmän  kanssa.

Jokainen silmukka  voidaan nostaa poluksi  siten, että  ja 
Noston päätepiste  kertoo, kuinka monta kertaa ja mihin suuntaan silmukka kiertää ympyrän ympäri:

 jos , silmukka kiertää  kertaa myötäpäivään,

 jos , se kiertää  kertaa vastapäivään,

 jos , silmukka on supistettavissa pisteeseen.

Näin muodostuva kuvaus

on bijektio, joten saadaan isomorfia

Tämä tulos on klassinen esimerkki siitä, kuinka peitekuvauksia ja nostojen yksikäsitteisyyttä voidaan käyttää topologisten avaruuksien algebralliseen luokitteluun.

 Lähteet 


 Viitteet 

Luokka:Topologia
Luokka:Algebrallinen topologia