Äärellinen kunta

Äärellinen kunta tarkoittaa matematiikassa kuntaa, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois'n kunniksi ranskalaismatemaatikko Évariste Galois'n mukaan.

Äärellisen kunnan kertaluvulla tarkoitetaan kunnan alkioiden lukumäärää.
Kertalukua  olevaa kuntaa merkitään  tai
.

Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertaluku on aina
jonkin alkuluvun potenssi. Siis , missä  on
jokin alkuluku ja  jokin nollaa suurempi luonnollinen luku.
Toisaalta voidaan osoittaa, että on olemassa jokaista alkuluvun potenssia kertaluvultaan vastaava kunta, ja että samaa kertalukua olevat kunnat ovat isomorfisia eli olennaisesti samoja. Siis on olemassa esimerkiksi -alkioinen kunta, ja täsmälleen yksi tuollainen kunta.

Edellä olevaa alkulukua  kutsutaan kunnan  karakteristikaksi.

Yksinkertaisin esimerkki äärellisestä kunnasta on binäärikunta .
Tämä kunta voidaan muodostaa tarkastelemalla kokonaislukujen joukon  jäännösluokkarengasta modulo 2 tai määrittelemällä logiikassa totuusarvojen '0' (epätosi) ja '1' (tosi) joukossa operaatiot AND (kertolasku) ja XOR (yhteenlasku).

Kunnan  määrittelevät yhteen- ja kertolaskutaulut:

 +  0  1 0  0  1 1  1  0

 x  0  1 0  0  0 1  0  1

Alkulukukertalukua  on yleisemminkin helppo muodostaa tarkastelemalla jäännösluokkarengasta . Alkeislukuteorian avulla on 
helppo osoittaa, että  muodostaa kunnan.

Kertalukua , missä  on suurempi kuin ,
muodostaminen on jo hiukan vaikeampaa. Tällaisten kuntien muodostamiseen käytetään yleisesti polynomialgebraa. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että kaikki yhtä monta alkiota sisältävät äärelliset kunnat ovat keskenään rakenneyhtäläisiä eli isomorfisia. Polynomialgebran avulla voidaan siis muodostaa kaikki mahdolliset äärelliset kunnat.

Kertalukua  olevan kunnan muodostamiseksi on ensin löydettävä astetta  oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta .

Muodostetaan esimerkiksi kertalukua  oleva äärellinen kunta. Kunnan karakteristika , joten etsitään astetta  oleva jaoton polynomi polynomirenkaasta . Valitaan .
Merkitsemällä polynomeja lyhyemmin luettelemalla vain niiden kertoimet (esim. 110 vastaa polynomia ) saamme näin muodostuvat
yhteen- ja kertolaskutaulukot muotoon:

 +   00  01  10  11 00  00  01  10  11 01  01  00  11  10 10  10  11  00  01 11  11  10  01  00

 *   00  01  10  11 00  00  00  00  00 01  00  01  10  11 10  00  10  11  01 11  00  11  01  10

Matemaattisesti voidaan osoittaa, että äärellisen kunnan kertolaskuryhmä eli multiplikatiivinen ryhmä on aina syklinen. Toisin sanoen on aina olemassa sellainen nollasta eroava alkio , jonka eksponentit ,  ovat erisuuret ja kattavat koko multiplikatiivisen ryhmän. Jokainen multiplikatiivisen ryhmän alkio saadaan potenssiinkorotuksella tästä ns. primitiivisestä alkiosta .

Potenssiinkorotus on tehokkaasti laskettavissa. Päinvastainen operaatio, eksponentin laskeminen
annetulle multiplikatiivisen ryhmän alkiolle, on huomattavasti hankalampi operaatio. Tätä ongelmaa kutsutaan diskreetin logaritmin ongelmaksi äärellisessä kunnassa.

Jos kunnan alkioiden lukumäärä on , niin sen automorfismien muodostama ryhmä on niin ikään syklinen ja kertalukua n. Tämän ryhmän virittäjä on Frobeniuksen automorfismi 
Luokka:Kuntateoria