Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jonka normaalimuoto on  kun .

Kun , on kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, ja negatiivisilla arvoilla vastaavasti alaspäin aukeava.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava on kaava, jolla toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista. Kaavan mukaan yhtälön ratkaisut ovat:
 .

Tämä kaava pätee, olivatpa kertoimet a, b ja c reaali- tai kompleksilukuja. Jos ne ovat reaalilukuja, juurten luonne riippuu diskriminantin  arvosta seuraavasti:

 jos , yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalista juurta  ja 

 jos , yhtälöllä on kaksoisjuuri  eli kaksi yhtäsuurta reaalilukujuurta

 jos , yhtälöllä ei ole yhtään reaalilukujuurta, mutta on kaksi kompleksista juurta , jotka ovat toistensa liittoluvut.

 Ratkaisukaavan johtaminen 
Ratkaisukaavan johtamisessa halutaan ratkaista yleinen toisen asteen yhtälö
.

Aloitetaan siirtämällä vakiotermi:
 .

Saadun yhtälön vasen puoli pyritään täydentämään neliöksi. Aluksi kerrotaan termillä .


Nyt lisäämällä yhtälön molemmille puolille  saadaan binomin neliön muistikaavaa soveltamalla



ja lopulta

 .
Ratkaisukaavan johtamisella on pyritty esittämään toisen asteen yhtälön ratkaisu helposti hallittavassa muodossa, vaikka sinänsä tarvittava matematiikka ei olekaan merkittävästi vaikeampaa kuin ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

 Suppea normaalimuoto 

 Juurien summa ja tulo 

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta voidaan yhtälön

juurten  ja  summalle ja tulolle johtaa lausekkeet (Vietan kaavat):


 .

Mikäli , saadaan juurten summa ja tulo suoraan yhtälöstä yksinkertaisesti:


 .

 Lähteet 

Luokka:Algebra
Luokka:Yhtälöt
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit