Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on tärkeä lause analyysissa. Bolzanon lause on sen erikoistapaus. 

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon  jatkuva funktio suljetulta väliltä  reaalilukujen joukolle . Olkoon  reaaliluku, joka toteuttaa ehdon  tai . Tällöin (avoimen) välin  jollekin pisteelle  pätee .

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi f on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat f(1) = 3 ja f(2) = 5, on f:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat y = 3 ja y = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora y = 4. 

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta u = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota
, jolloin  ja . Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa , jolla . 

 Todistus 

Todistetaan ensimmäinen tapaus f (a) < u < f (b). Tapauksen f (b) < u < f (a) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota g (x) = -f(x).

Olkoon S niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo f(x) on pienempi tai yhtä suuri kuin u eli S = {x  [a, b] : f(x) ≤ u}. Tällöin S on epätyhjä (koska a kuuluu siihen, f(a) < u) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa b. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla S on olemassa supremum eli pienin yläraja c = sup S. Väite: f (c) = u.

Oletetaan ensin, että f(c) > u. Silloin f(c) - u > 0. Koska funktio f on jatkuva eli , on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että
| f(x) - f(c) | < f(c) - u aina kun | x - c | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( f(c ) - u) < f(x) - f(c) < f(c) - u eli f(x) > f(c) - ( f(c) - u ) = u aina kun | x - c | < δ, siis f (x) > u kaikille x  ( c - δ, c + δ). Siten c - δ on joukon S yläraja, joka on pienempi kuin c, ristiriita (c ei nyt voi olla joukon S pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että f(c) < u. Nyt u - f(c) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että 
| f(x) - f(c) | < u - f(c) aina kun | x - c | < δ. Silloin -(u - f(c)) < f(x) - f(c) < u - f(c) eli f(x) < f(c) + (u - f (c)) = u kaikille x  ( c - δ, c + δ). Siten on olemassa x > c, jolle f(x) < u, taas ristiriita c:n määritelmän kanssa (c ei nyt voikaan olla joukon S yläraja).

Koska ei voi olla f(c) < u eikä f(c) > u, tulee olla f(c) = u. □

Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella

Lemma

Jos funktio  on jatkuva pisteessä  ja , niin on olemassa  siten, että , kun . 

Jos funktio  on jatkuva pisteessä  ja , niin on olemassa  siten, että , kun . 

Lemman todistus

Todistetaan tapaus . Tapaus  todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota . 

Koska  on jatkuva pisteessä  ja , niin on olemassa  siten, että 

kun

Tällöin

joten 

kun

Täten 

kun

Olkoot ,  ja . Tapaus, jossa  ja , todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota . 

Olkoon joukko . Koska , niin . Koska  ja  on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa . Koska  on jatkuva välillä  ja , niin lemman nojalla on olemassa  siten, että  ja , kun . Koska  on jatkuva välillä  ja , niin lemman nojalla on olemassa  siten, että  ja , kun . Täten . Olkoon . 

Väite: . 

Tehdään vastaoletus: . 

Koska  on jatkuva välillä , niin lemman nojalla on olemassa  siten, että  ja joko  tai , kun . 

Jos , kun , niin  on joukon  yläraja. Tällöin  ei ole joukon  pienin yläraja. Jos , kun , niin  ei ole joukon  yläraja. 

Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että . Täten alkuperäinen väite pätee eli  pätee. 

Siis todistettin, että jos  on jatkuva funktio välillä ,  ja , niin on olemassa  siten, että .  

Lähteet

 Kirjallisuutta 


Aiheesta muualla
 Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem 

Luokka:Analyysi