Weierstrassin lause

Weierstrassin lause (myös Weierstrassin min-max-lauseHarjulehto et al. 2023, 89) on matematiikassa lause, jonka mukaan jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon.

Olkoon  jatkuva funktio. Weierstrassin lause tarkoittaa sitä, että väliltä  löytyy luvut  ja  siten, että kaikilla pisteillä  funktion arvo pysyy arvojen  ja  välissä. Matemaattisesti

On olemassa luvut  ja  siten, että kaikilla  pätee .

Weierstrassin lause on merkittävä muun muassa siksi, että sen avulla voidaan todistaa Rollen lause, jota puolestaan käytetään differentiaalilaskennan keskeisimmän lauseen, differentiaalilaskennan väliarvolauseen todistuksessa.

 Todistus 

Todistetaan, että löydetään suurin arvo kuten edellä määritelty. Pienin arvo löydetään vastaavalla tavalla, kun tutkitaan funktiota . 

Merkitään  ja .  

Väite:  on rajoitettu välillä . 

Tehdään vastaoletus:  ei ole rajoitettu välillä . Tällöin kaikilla  on olemassa , jolla . Koska lukujono  on rajoitettu, niin Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla lukujonolla  on suppeneva osajono  eli  kun . Koska  kaikilla , niin . 

Koska  on jatkuva pisteessä , niin on olemassa  siten, että , kun . Koska , kun , niin on olemassa  siten, että , kun . Näillä  pätee . Mutta koska  ja koska , kun , niin saadaan ristiriita. Täten väite pätee. 

Koska  on rajoitettu välilä , joten on olemassa . Merkitään . Nyt on osoitettava vielä  jollakin . 

Pienimmän ylärajan määritelmän nojalla kaikilla  on olemassa , jolle . Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla lukujonolla  on olemassa suppeneva osajono , jolla , kun . Funktion  jatkuvuuden nojalla , kun . Tällöin , mistä seuraa kuristusperiaatteen nojalla . 

 Lähteet 



 Viitteet 

 Aiheesta muualla 
 Extreme value theorem (cut-the-knot) 

Luokka:Analyysi
Luokka:Matemaattiset teoreemat

de:Stetigkeit#Satz vom Minimum und Maximum