Cauchyn jono

Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:

jokaista positiivista reaalilukua  kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen kokonais­luku n, että   kaikilla epänegatiivisilla kokonais­luvuilla p (eli ).

Tätä kutsutaan  Cauchyn yleiseksi suppenemisehdoksiHarjulehto et al. 2023, 55 ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono  suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon. 

Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen  jono, , jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.

Cauchyn jonon alkioille  pätee 
, 
missä  on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).

Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen. 

Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus
Oletetaan ensin Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän lukujonolle  ja osoitetaan sen suppenevan. 

Tiedetään, että jokaisella lukujonolla on olemassa monotoninen osajono. Olkoon osajono  lukujonon  monotoninen osajono. 

Cauchyn yleisen suppenemisehdon nojalla on olemassa  siten, että 

kun  ja . 

Kolmioepäyhtälön nojalla 

kun . Joukko 

on äärellinen, joten sillä on olemassa maksimi . Täten 

kaikilla . 

Osajono  on rajoitettu, joten Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla se suppenee: 

Olkoon  mielivaltainen. Koska Cauchyn yleinen suppenemisehto on voimassa ja osajono  suppenee, niin on olemassa  ja  siten, että 

Valitaan . Kolmioepäyhtälön nojalla

kun . 

Täten 

eli lukujono  suppenee. 

Oletetaan sitten lukujonon  suppenevan ja osoitetaan Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän. 

Olkoon  mielivaltainen ja olkoon , jolle pätee , kun . Tällöin on olemassa  siten, että 

Kolmioepäyhtälön nojalla

kun  ja , joten Cauchyn yleinen suppenemisehto pätee. 

Osoitettiin, että reaalilukujono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa Cauchyn yleisen suppenemisehdon.

Lähteet



Viitteet

Kirjallisuutta

   (pdf)

Luokka:Topologia