Täydellisyys

Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee kohti pistettä, joka kuuluu kyseiseen metriseen avaruuteen. Esimerkiksi avaruus  on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu. 

Tärkeä tulos on myös Banachin kiintopistelause, jonka mukaan täydellisen avaruuden X kontraktiolla itselleen on täsmälleen yksi kiintopiste a. Jono f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) ... suppenee kohti tätä pistettä kaikilla . 

Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, sillä on olemassa metrisiä avaruuksia, jotka ovat homeo­morfiset, mutta joista toinen on täydellinen, toinen ei. Esimerkiksi reaalilukujen joukko  on täydellinen, mutta avoin väli ]0, 1[ ei, vaikka ne ovat homeo­morfiset. Esimerkiksi lukujono , jolla  ja jolla siis pätee  kaikilla , suppenee kohti pistettä , joka taas ei kuulu avoimeen väliin . 

Bairen lauseen mukaan täydellisten metristen avaruuksien  tiheiden avointen osajoukkojen leikkaus on tiheä.

Topologiassa metrisen avaruuden (X,d) täydellistymällä tarkoitetaan paria (,(Y,e)), missä (Y,e) on täydellinen metrinen avaruus ja  on isometria Y:n tiheälle osajoukolle. Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä.

 Lähteet 

Luokka:Topologia
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit