Analyysin peruslause

Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.

 Analyysin ensimmäinen peruslause 

Jos  on välillä   jatkuva funktio  ja  jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:

Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa

, missä .

 Analyysin toinen peruslause 

Olkoot  ja  funktion  primitiivejä (integraalifunktioita). Tällöin löytyy vakio  siten, että
 kaikille x.

 Geometrinen tarkastelu 

Merkitään kuvasta funktion  alueen, eli funktion alle jäävän pinta-alan, kokoa funktiolla  (kuvassa punainen alue). Olkoon sinisen alueen leveys . Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle: 

Toisaalta sininen alue on . Yhdistämällä saadaan:

Siis  on :n derivaatta, kun väli  lähestyy nollaa.

Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta  saadaan funktio  eli funktion alle jäävä pinta-ala.

Lähteet

Kirjallisuutta

   (pdf)

 Aiheesta muualla 
 MathWorld. Fundamental Theorems of Calculus

Luokka:Analyysi
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit