Poincarén otaksuma

Poincarén otaksuma eli Poincarén konjektuuri on puhtaasti matemaattinen otaksuma, joka käsittelee ominaisuuksia, jotka erottavat kolmiulotteiset pallopinnat muista kolmiulotteisista monistoista. Kolmiulotteinen pallopinta tarkoittaa neliulotteisen pallon kolmiulotteista pintaa. Otaksuman mukaan monisto, jolla on tiettyjä kolmiulotteisen pallopinnan ominaisuuksia, on aina käytännössä sama asia kuin kyseinen pallopinta. Konjektuuri on nimetty Henri Poincarén mukaan, joka muotoili väitteen vuonna 1904.

Poincarén konjektuuri oli yksi Clay-instituutin Millennium-ongelmista, joiden ratkaisijalle on luvassa miljoona dollaria. Se on ainoa Millennium-ongelma, joka on tähän mennessä ratkaistu. Todistuksen konjektuurin paikkansapitävyydestä teki vuonna 2002 Grigori Perelman, joka kuitenkin kieltäytyi palkinnosta.

 Tarkka väite 
Otaksuman tavallinen muotoilu on seuraava:

”Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen 3-monisto on homeomorfinen 3-pallon kanssa.”Matematiikasta 1900-luvulla PDF 

Monisto on topologinen avaruus, ”n-ulotteinen kappale”, joka paikallisesti näyttää kaikkialla euklidiselta avaruudelta, eli ”litteältä” avaruudelta. Esimerkiksi maapallon pinta näyttää pienellä matkalla litteältä tasolta, vaikka se ei sitä oikeasti ole. Sen sijaan, jos kahden pallon pinnat liimattaisiin yhteen, ei muodostuvan kappaleen pinta ole enää monisto, sillä liimauskohta ei läheltäkään katsottuna näytä litteältä tasolta, vaan siitä lähtee useita tasoja eri suuntiin.

Yhdesti yhtenäisyys tarkoittaa epämuodollisesti sitä, että monistossa ei ole reikiä. Homeomorfisuus taas tarkoittaa karkeasti sitä, että kaksi kappaletta voidaan muokata toisikseen venyttämällä ja kutistamalla tekemättä kappaleisiin reikiä ja liimaamatta osia yhteen.

Poincarén otaksuman väite siis tarkoittaa yksinkertaistetusti sitä, että mikä tahansa kolmiulotteinen reiätön pinta, joka täyttää moniston ehdot, on vain jollakin tavalla venytetty versio neliulotteisen pallon kolmiulotteisesta pinnasta.

 Poincarén otaksuma eri ulottuvuuksissa 

Sama kysymys voidaan kysyä missä tahansa muussakin kuin kolmessa ulottuvuudessa. Merkitään ulottuvuuksien määrää kirjaimella n. 

Tapaukset n=1 ja n=2 on tunnettu jo pitkään.

Tapaukset n>4 todistettiin 1960-luvulla. Työssä olivat mukana muun muassa Stephen Smale, John Stallings ja E. C. Zeeman.

Tapauksen n=4 todisti Michael Freedman vuonna 1982 ja hän sai todistuksestaan vuoden 1986 Fieldsin mitalin.

Tämän jälkeen ainut ulottuvuus, jossa teoreeman todenperäisyyttä ei tunnettu, oli n=3, jonka Perelman todisti vuonna 2002.

Millennium-ongelma ja sen ratkaisu
Poincarén otaksuma kuuluu Clay-instituutin niin sanottuihin Millennium-ongelmiin eli miljoonan dollarin ongelmiin. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai vastaesimerkistä miljoona Yhdysvaltain dollaria. Vuosina 2002 ja 2003 venäläinen Grigori Perelman julkaisi tieteellisten tutkimusten ennakkojulkaisupalvelussa Arxivissa kolme julkaisua, joissa hän hahmotteli Poincarén otaksuman ja myös yleisemmän Thurstonin geometrisointiotaksuman ratkaisun. Ratkaisu perustui pohjatyölle, jota oli tehnyt yhdysvaltalainen Richard S. Hamilton. Seuraavien vuosien aikana matemaatikot tutkivat Perelmanin työtä ja päätyivät lopulta siihen tulokseen, että todistus oli paikkansapitävä. Perelman sai aiheeseen liittyvästä työstään Fieldsin mitalin vuonna 2006, josta hän kuitenkin kieltäytyi. Vuonna 2010 Clay-instituutti julisti Perelmanin ratkaisseen ongelman ja palkitsi hänet Millennium-palkinnolla, josta Perelman myös kieltäytyi.

 Lähteet 

 Kirjallisuutta 



Luokka:Topologia
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit