Jatkuva funktio

Jatkuvuus on funktioon liittyvä  topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella. 

Yhden reaalimuuttujan tapaus

 Niin sanottu εδ-määritelmä 
Intuitiivisesti funktion  jatkuvuus tietyssä pisteessä  tarkoittaa sitä, että  on lähellä arvoa  aina, kun piste  on lähellä pistettä . Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden -määritelmä (kreikk. ''epsilon'' ja ''delta''), joka on seuraava:

Olkoon  väli,  ja . Funktio  on jatkuva pisteessä , jos kaikilla  on olemassa  siten, että

,

kun  ja .

Luku  riippuu tapauskohtaisesti joko :sta, :stä, :sta tai kaikista näistä. Luku  ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä kaikilla  (siis erityisesti hyvin pienillä :n arvoilla). Käytännössä -määritelmä tarkoittaa sitä, että :n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion  kuvaaja jää aina suorien  ja  väliin pisteen  lähellä.

 Jatkuvuus toispuoleisten raja-arvojen avulla 
Funktio  on jatkuva pisteessä , jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä ,  on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

Todistus: derivoituvuudesta seuraa jatkuvuus


 .
, joten funktio on jatkuva pisteessä a. 

Todistus εδ-menetelmällä

Olkoon  ja . 
Tällöin  siten, että , kun . 
 , kun . 
   , kun  ja kun . 
Valitaan . 
Siis , kun . 
, joten  on jatkuva :ssa. 

 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia 
Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenlaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos  on väli,  sekä  ja  jatkuvia funktioita pisteessä , niin:Kilpeläinen, s. 44
 summafunktio  on jatkuva pisteessä 
 tulofunktio  on jatkuva pisteessä 
 tulofunktio , missä  on vakio, on jatkuva pisteessä 
 rationaalifunktio  on jatkuva pisteessä , jos 
 itseisarvofunktio  on jatkuva pisteessä 

Esimerkkejä
 Vakiofunktio ,  on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
 Polynomifunktio , on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta .Kilpeläinen, s. 47
 Funktio  on määritelty, kun . Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
 Funktio  on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa .

Jatkuvuus metrisissä avaruuksissa
Olkoot  ja  metrisiä avaruuksia. Funktio 
on jatkuva pisteessä   (metriikoiden  ja  suhteen), jos jokaista positiivilukua  kohti on olemassa positiiviluku  siten, että  aina kun . Muodollisesti ilmaistuna funktio  on jatkuva pisteessä , jos

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon  pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja  ja   topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden  ja  indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät. 

Jatkuvuus topologisissa avaruuksissa
Funktio , missä  ja  ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä , jos ja vain jos jokaista pisteen  ympäristöä  kohti on olemassa pisteen  ympäristö  siten, että . Funktio  on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden  pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio  on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen  avoimen joukon  alkukuva  on avoin avaruudessa .  

Lähteet



Viitteet

Kirjallisuutta


Luokka:Analyysi