Bijektio

Bijektio on funktio, jossa jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. 

Bijektio on siis yhtä aikaa sekä injektio että surjektio:
Injektio: mitkään kaksi lähtöjoukon alkiota eivät kuvaudu samalle maalijoukon alkiolle. 
Surjektio: jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu jokin lähtöjoukon alkio. 

Bijektiossa jokainen maalijoukon alkio on täsmälleen yhden alkion kuva. Jokaista funktion parametria vastaa yksi tulosarvo ja kääntäen.

Kaksi joukkoa X ja Y ovat bijektiivisiä, jos on olemassa bijektiivinen kartoitus X:stä Y:hyn.

Käänteisfunktio
Jos funktio f on bijektio
,
voidaan sille määrittää käänteisfunktio

jolloin käänteisen kuvauksen kaikki joukon  alkiot saavat arvon maalijoukossa . Myös käänteisfunktio on bijektio.

Esimerkkejä
Funktio f: R → R, f (x)  = 2x + 1, on bijektio, koska jokaista reaalilukua y kohden voidaan ratkaista yhtälö y = 2x + 1 ja saadaan tasan yksi reaalinen vastaus x = (y − 1)/2.

Funktio g: R → R, g(x) = x2, ei ole bijektio. Tämä funktio ei ole injektio, koska funktio saa saman arvon kahdella eri muuttujan arvolla: esimerkiksi g(1) = 1 = g(−1). Toisaalta funktio ei ole surjektio, koska havaitaan esimerkiksi, ettei ole reaalilukua x, jolle x2 = −1. Kumpi tahansa näistä seikoista riittää osoittamaan, että funktio g ei ole bijektio. Jos kuitenkin muutetaan funktion g lähtö- ja maalijoukko siten, että pätee g: [0, ∞) → [0, ∞), funktio g on bijektio.

Katso myös
Surjektio
Injektio

Lähteet
 Finan, Dr. Marcel B.: The Concept of a Mapping , Arkansas Tech University.

 Viitteet 

Kirjallisuutta


Luokka:Joukko-oppi